1. Дополнив основные факты из области электромагнетизма установлением магнитных действий токов смещения, Максвелл смог написать систему фундаментальных уравнений электродинамики. Таких уравнений четыре. В интегральной форме они имеют вид
$$\begin{array}{c}{\oint }_L\mathbf{H}d\mathbf{l}=\frac{4\pi }{c}{\int }_S(\mathbf{j}+\frac{1}{4\pi }\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t})d\mathbf{S},\\ {\oint }_L\mathbf{E}d\mathbf{l}=-\frac{1}{c}{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}d\mathbf{S},\\ {\oint }_S(\mathbf{D}d\mathbf{S})=4\pi \int \rho dV,\\ {\oint }_S(\mathbf{B}d\mathbf{S})=0.\end{array}$$

В дифференциальной форме:
$$\mathrm{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi }{c}\mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},$$

$$\begin{array}{c}\mathrm{rot}\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\\ \mathrm{div}\mathbf{D}=4\pi \rho ,\\ \mathrm{div}\mathbf{B}=0.\end{array}$$

В число фундаментальных не включено уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда, так как это уравнение является следствием уравнений (82.1) и (82.3). Действительно, возьмем бесконечно малый контур $L$, натянем на него произвольную конечную поверхность $S$, а затем стянем этот контур в точку, оставляя поверхность $S$ конечной. В пределе циркуляция $\oint \mathbf{H}d\mathbf{l}$ обратится в нуль, $S$ превратится в замкнутую поверхность, а уравнение (82.1) перейдет в
$$\oint (\mathbf{j}+\frac{1}{4\pi }\dot{\mathbf{D}})d\mathbf{S}=0.$$

Интеграл $\oint (\mathbf{j}d\mathbf{S})$ есть ток $I$, вытекающий из объема $V$, ограниченного поверхностью $S$. Кроме того, записав уравнение (82.3) в виде
$$\oint (\mathbf{D}d\mathbf{S})=4\pi q$$

и дифференцируя его по времени, получим
$$\frac{\partial q}{\partial t}=\frac{1}{4\pi }\oint (\dot{\mathbf{D}}d\mathbf{S})$$

В результате получится уравнение
$$\frac{\partial q}{\partial t}=-I$$

выражающее закон сохранения электрического заряда. Тот же закон можно получить из дифференциальных уравнений (82.1a) и (82.3a). Достаточно взять дивергенцию от обеих частей уравнения (82.2a) и воспользоваться уравнением (82.3а). Тогда получится уравнение (81.1).

Уравнения Максвелла показывают, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо магнитные поля, меняющиеся во времени. Магнитные же поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но, насколько известно в настоящее время, нет зарядов магнитных. Стремление достигнуть симметрии уравнений электродинамики заставило Дирака выдвинуть гипотезу о существовании магнитных зарядов — единичных магнитных полюсов, или монополей. Логических возражений против такой гипотезы нет. Если бы она оправдалась, то потребовалось бы обобщение уравнений Максвелла. К источникам магнитного поля добавились бы магнитные заряды, а к источникам электрического поля — магнитные токи, обусловленные движением таких зарядов. Справедливость же самих уравнений Максвелла была бы ограничена теми областями пространства, в которых нет магнитных зарядов и магнитных токов. Однако многочисленные попытки экспериментально обнаружить магнитные монополи не привели к положительному результату.
2. Уравнения Максвелла в интегральной форме справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва, на которых свойства среды или напряженности электрического и магнитного полей меняются скачкообразно. Поэтому в этой форме уравнения Максвелла обладают большей общностью, чем в дифференциальной форме, которая предполагает, что все величины в пространстве и во времени меняются непрерывно. Можно, однако, достигнуть полной математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла. Для этого надо дифференциальные уравнения дополнить граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия содержатся в интегральной форме уравнений Максвелла. Они были выведены в соответствующих местах курса и имеют вид
$$\begin{array}{c}{D}_{2n}-D_{1n}=4\pi \sigma ,\\ B_{1n}=B_{2n},\\ E_{1t}=E_{2t},\\ \left[{\mathbf{n}\mathbf{H}}_2\right]-\left[{\mathbf{n}\mathbf{H}}_1\right]=\frac{4\pi }{c}\mathbf{i}.\end{array}$$

Здесь $\sigma$ — поверхностная плотность электрических зарядов, а $\mathbf{i}-$ поверхностная плотность тока проводимости на рассматриваемой границе раздела. В частном случае, когда поверхностных токов нет, последнее условие переходит в
$$H_{1t}=H_{2t}.$$

Подчеркнем еще раз, что рассуждения, с помощью которых мы пришли к уравнениям Максвелла, ни в коей мере не могут служить их доказательством. Существенно новые принципы никогда не содержатся в старой теории и не могут быть выведены из нее логически. В этом смысле нельзя вывести и уравнения Максвелла. На них следует смотреть как на основные аксиомы электродинамики, полученные путем обобщения опытных фактов.
3. Фундаментальные уравнения Максвелла в форме (82.1)-(82.4) или (82.1a)-(82.4a) не составляют еще полной системы уравнений электромагнитного поля. Среди них два уравнения векторных и два скалярных. Если их записать в координатной форме, то получится всего восемь уравнений, связывающих 16 величин: пятнадцать составляющих векторов $\mathbf{E},\mathbf{D},\mathbf{B},\mathbf{H},\mathbf{j}$ и скаляр $\rho$. Ясно, что для 16 величин восьми уравнений недостаточно. Фундаментальные уравнения Максвелла не содержат никаких постоянных, характеризующих свойства среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Необходимо дополнить эти уравнения такими соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называются материальными уравнениями.

Принципиальный способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагничивания и электрической проводимости среды. В основе таких теорий лежат какие-то идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами $\mathbf{P},\mathbf{I},\mathbf{j}$, с одной стороны, и векторами $\mathbf{E}$ и B — с другой. Таким путем, в зависимости от характера среды и электромагнитного поля, получаются более или менее сложные соотношения, которые и дополняют фундаментальные уравнения Максвелла до полной системы уравнений электродинамики.

Наиболее просты материальные уравнения в случае слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения могут быть записаны в виде
$$\begin{array}{rl}\mathbf{D}& =\epsilon \mathbf{E},\\ \mathbf{B}& =\mu \mathbf{H},\\ \mathbf{j}& =\lambda \mathbf{E},\end{array}$$

где $\epsilon ,\mu ,\lambda$ — постоянные, характеризующие электромагнитные свойства среды. Они называются диэлектрической и магнитной проницаемостъю и электрической проводимостъю среды. Такими материальными уравнениями пользовался сам Максвелл. Разумеется, он не связывал величины $\epsilon ,\mu ,\lambda$ с атомными и молекулярными константами вещества, а рассматривал их как постоянные, вводимые в теорию феноменологически. Электронная теория показала, что справедливость таких материальных уравнений связана с выполнением двух условий. Во-первых, за времена порядка собственных периодов внутриатомных и внутримолекулярных колебаний электромагнитное поле должно меняться мало. Во-вторых, поле должно меняться мало на протяжении межатомных и межмолекулярных расстояний. Это и есть та «медленность» изменения полей, о которой говорилось выше.

Иногда уравнения (82.10)-(82.12) также включают в систему уравнений Максвелла. Мы не будем этого делать, так как эти уравнения не обладают той общностью и фундаментальностью, которая свойственна уравнениям Максвелла. Под уравнениями Максвелла мы будем понимать только четыре уравнения: (82.1)-(82.4) или (82.1a)-(82.4a).

Когда поля стационарны ( $\partial \mathbf{D}/\partial t=\partial \mathbf{B}/\partial t=0$ ), уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений. Первую группу составляют уравнения электростатики
$$\mathrm{rot}\mathbf{E}=0,\mathrm{div}\mathbf{D}=4\pi \rho ,$$

вторую — уравнения магнитостатики
$$\mathrm{rot}\mathbf{H}=\frac{4\pi }{c}\mathbf{j},\mathrm{div}\mathbf{B}=0.$$

В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от друга. Источниками электрического поля будут только электрические заряды, источниками магнитного поля — только токи проводимости.