Главная > Общий курс физики. Т. III. Электричество (Сивухин Д. В.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Существует наглядный геометрический способ представления гармонических колебаний, о котором уже говорилось в первом томе. Допустим, что геометрическая точка M равномерно вращается по окружности радиуса r (рис. 279) с угловой скоростью ω0. Положение точки на окружности можно задать центральным углом φ между радиусом OM и положительным направлением оси X. Он равен φ= =ω0t+δ, где δ значение угла φ в начальный момент t=0. При вращении точки M ее проекция N на ось X движется по диаметру AB
туда и обратно, совершая колебания между точками A и B с периодом T0=2π/ω0. Абсцисса точки N
x=acosφ=acos(ω0t+δ),

как и сама точка N, совершает незатухающее гармоническое колебание. Этим способом можно представлять гармонические колебания любых
Рис. 279
Рис. 280

величин. Надо только условиться изображать колеблющуюся величину абсциссой точки M, равномерно вращающейся по окружности. Вместо абсциссы можно, конечно, брать ординату y=asin(ω0t+δ)= =acos[ω0t+(δπ/2)], но во избежание недоразумений условимся всюду пользоваться абсциссой.

Для представления затухающих колебаний вместо окружности надо взять логарифмическую спираль, асимптотически приближающуюся к фокусу O (рис. 280). Если точка M движется по спирали с постоянной угловой скоростью ω0, приближаясь к фокусу, то ее проекция N на ось X будет совершать затухающее гармоническое колебание.
2. Вместо точки M можно взять радиус-вектор r=OM, равномерно вращающийся вокруг начала координат O. Гармонически колеблющаяся величина изобразится проекцией x этого радиуса-вектора на ось X. При этом во многих задачах оказывается удобным математические операции над величиной x заменить соответствующими операциями над самим радиусом-вектором r. Например, если нужно вычислить сумму слагаемых
x1=a1eγ1tcos(ω1t+δ1),x2=a2eγ2tcos(ω2t+δ2),

то можно сначала сложить по правилу параллелограмма векторы r1 и r2, проекциями которых являются эти слагаемые, а затем спроецировать полученный вектор r=r1+r2 на ось абсцисс. Результат этих операций, очевидно, будет равен x=x1+x2. Операция проецирования производится в самом конце вычисления. При известном навыке можно совсем отвлечься от проекций, а изображать колеблющуюся величину непосредственно самим вектором r, равномерно вращающимся вокруг своего начала. Его проецирование на ось X подразумевается, но не выполняется фактически. Такой метод называется методом векторных диаграмм. Рисунок 279 можно поэтому назвать векторной диаграммой незатухающего, а рис. 280 — затухающего гармонического колебания. Метод векторных диаграмм широко применяется в электротехнике при изучении переменных токов.
3. В физике более широкое распространение получил другой метод, отличающийся от метода векторных диаграмм только по форме. В этом методе колеблющаяся величина представляется комплексным числом. Положение точки на плоскости (рис. 279) можно однозначно задать комплексным числом z=x+iy. Если точка M вращается, то
x=acos(ω0t+δ),y=asin(ω0t+δ).

Поэтому, используя известную формулу Эйлера
eiφ=cosφ+isinφ

величину z можно представить в виде
z=aei(ω0t+δ).

Вещественная часть этого выражения
Re(z)=acos(ω0t+δ)=x

представляет гармонические колебания величины x. Условимся опускать знак взятия вещественной части Re и писать просто
x=aei(ω0t+δ).

Это символическое равенство не следует понимать буквально. Его надо понимать в том смысле, что физическая величина x равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа. Модуль этого комплексного выражения a равен амплитуде колебания, а его аргумент ω0t+δ фазе. Можно формально упростить запись (126.2). Введем комплексную величину A=aeiδ, называемую комплексной амплитудой колебания. Тогда
x=Aeiω0t.

Комплексность амплитуды A означает, следовательно, что колебание происходит с началъной фазой, отличной от нуля.

Наконец, можно формально рассматривать выражения типа (126.3) при комплексных значениях величины ω0. Для раскрытия физического смысла таких выражений полагаем ω0=ω1+iω2. Тогда
x=Aei(ω1+iω2)t=aeω2tei(ω1t+δ)=aeω2tcos(ω1t+δ).

Если ω2>0, то это выражение представляет затухающее гармоническое колебание с круговой частотой ω1 и показателем затухания ω2. Если ω2<0, то получится колебание с неограниченно нарастающей амплитудой. Таким образом, если частота комплексна, то это означает, что амплитуда колебания экспоненциально затухает или нарастает во времени.

Очень важно научиться понимать физический смысл уравнений, записанных в комплексной форме, не переходя к вещественной форме записи. Комплексная форма позволяет часто избежать громоздкости формул и делает сами формулы более общими и легче обозримыми. Особенно широко комплексная форма применяется при изучении распространения волн.
4. Над комплексными величинами можно производить многие математические операции, как если бы эти величины были вещественными. Так можно поступать не всегда. Это можно делать только тогда, когда операции вещественны и линейны. К ним относятся, например, сложение, вычитание, умножение и деление на вещественное число, дифференцирование и интегрирование по вещественной переменной и пр. Вообще, операция L называется линейной, если результат действия ее на величину α1z1+α2z2 представляется в виде
L(α1z1+α2z2)=α1L(z1)+α2L(z2),

где z1 и z2 — какие угодно (вообще говоря, комплексные) величины, а α1 и α2 — любые постоянные. При этом в физике нас, в конце концов, интересуют лишь вещественные операции, т. е. такие, результаты действия которых на вещественные величины сами вещественны.

Комплексные выражения сами по себе не соответствуют никаким физическим величинам. Последние всегда вещественны и только из соображений удобства иногда представляются вещественными частями комплексных выражений. И математические операции в физике должны, в конце концов, определяться как операции над вещественными физическими величинами. Допустим, однако, что над вещественной величиной x надо выполнить линейную вещественную операцию L. Результат будет L(x). Но тот же результат можно получить иначе. Возьмем комплексную величину x+iy и применим к ней операцию L. Получим
L(x+iy)=L(x)+iL(y).

Отбросив мнимую часть, снова найдем L(x). Если вычисление по второму методу окажется проще, то его применение оправдано.

Например, вместо того, чтобы дифференцировать по t функцию x=acos(ω0t+δ), можно продифференцировать по тому же аргументу комплексное выражение (126.2) или (126.3), а затем взять вещественную часть результата. В обоих случаях получится одно и то же.

Но было бы грубой ошибкой переносить этот прием на нелинейные операции. Пусть, например, требуется возвести в квадрат вещественную величину x. Правильный результат будет x2. Попробуем, однако, формально применить комплексный метод. Заменим x на x+iy и возведем в квадрат, получим (x2y2)+i2xy. Вещественная часть этого выражения равна x2y2. Она зависит не только от вещественной части выражения x+iy, но и от мнимой. Ошибка получилась потому, что возведение в квадрат — нелинейная операция.

1
Оглавление
email@scask.ru