Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Существует наглядный геометрический способ представления гармонических колебаний, о котором уже говорилось в первом томе. Допустим, что геометрическая точка $M$ равномерно вращается по окружности радиуса $r$ (рис. 279) с угловой скоростью $\omega_{0}$. Положение точки на окружности можно задать центральным углом $\varphi$ между радиусом $O M$ и положительным направлением оси $X$. Он равен $\varphi=$ $=\omega_{0} t+\delta$, где $\delta-$ значение угла $\varphi$ в начальный момент $t=0$. При вращении точки $M$ ее проекция $N$ на ось $X$ движется по диаметру $A B$ как и сама точка $N$, совершает незатухающее гармоническое колебание. Этим способом можно представлять гармонические колебания любых величин. Надо только условиться изображать колеблющуюся величину абсциссой точки $M$, равномерно вращающейся по окружности. Вместо абсциссы можно, конечно, брать ординату $y=a \sin \left(\omega_{0} t+\delta\right)=$ $=a \cos \left[\omega_{0} t+(\delta-\pi / 2)\right]$, но во избежание недоразумений условимся всюду пользоваться абсциссой. Для представления затухающих колебаний вместо окружности надо взять логарифмическую спираль, асимптотически приближающуюся к фокусу $O$ (рис. 280). Если точка $M$ движется по спирали с постоянной угловой скоростью $\omega_{0}$, приближаясь к фокусу, то ее проекция $N$ на ось $X$ будет совершать затухающее гармоническое колебание. то можно сначала сложить по правилу параллелограмма векторы $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$, проекциями которых являются эти слагаемые, а затем спроецировать полученный вектор $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}+\mathbf{r}_{2}$ на ось абсцисс. Результат этих операций, очевидно, будет равен $x=x_{1}+x_{2}$. Операция проецирования производится в самом конце вычисления. При известном навыке можно совсем отвлечься от проекций, а изображать колеблющуюся величину непосредственно самим вектором $\mathbf{r}$, равномерно вращающимся вокруг своего начала. Его проецирование на ось $X$ подразумевается, но не выполняется фактически. Такой метод называется методом векторных диаграмм. Рисунок 279 можно поэтому назвать векторной диаграммой незатухающего, а рис. 280 — затухающего гармонического колебания. Метод векторных диаграмм широко применяется в электротехнике при изучении переменных токов. Поэтому, используя известную формулу Эйлера величину $z$ можно представить в виде Вещественная часть этого выражения представляет гармонические колебания величины $x$. Условимся опускать знак взятия вещественной части Re и писать просто Это символическое равенство не следует понимать буквально. Его надо понимать в том смысле, что физическая величина $x$ равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа. Модуль этого комплексного выражения $a$ равен амплитуде колебания, а его аргумент $\omega_{0} t+\delta-$ фазе. Можно формально упростить запись (126.2). Введем комплексную величину $A=a e^{i \delta}$, называемую комплексной амплитудой колебания. Тогда Комплексность амплитуды $A$ означает, следовательно, что колебание происходит с началъной фазой, отличной от нуля. Наконец, можно формально рассматривать выражения типа (126.3) при комплексных значениях величины $\omega_{0}$. Для раскрытия физического смысла таких выражений полагаем $\omega_{0}=\omega_{1}+i \omega_{2}$. Тогда Если $\omega_{2}>0$, то это выражение представляет затухающее гармоническое колебание с круговой частотой $\omega_{1}$ и показателем затухания $\omega_{2}$. Если $\omega_{2}<0$, то получится колебание с неограниченно нарастающей амплитудой. Таким образом, если частота комплексна, то это означает, что амплитуда колебания экспоненциально затухает или нарастает во времени. Очень важно научиться понимать физический смысл уравнений, записанных в комплексной форме, не переходя к вещественной форме записи. Комплексная форма позволяет часто избежать громоздкости формул и делает сами формулы более общими и легче обозримыми. Особенно широко комплексная форма применяется при изучении распространения волн. где $z_{1}$ и $z_{2}$ — какие угодно (вообще говоря, комплексные) величины, а $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ — любые постоянные. При этом в физике нас, в конце концов, интересуют лишь вещественные операции, т. е. такие, результаты действия которых на вещественные величины сами вещественны. Комплексные выражения сами по себе не соответствуют никаким физическим величинам. Последние всегда вещественны и только из соображений удобства иногда представляются вещественными частями комплексных выражений. И математические операции в физике должны, в конце концов, определяться как операции над вещественными физическими величинами. Допустим, однако, что над вещественной величиной $x$ надо выполнить линейную вещественную операцию $L$. Результат будет $L(x)$. Но тот же результат можно получить иначе. Возьмем комплексную величину $x+i y$ и применим к ней операцию $L$. Получим Отбросив мнимую часть, снова найдем $L(x)$. Если вычисление по второму методу окажется проще, то его применение оправдано. Например, вместо того, чтобы дифференцировать по $t$ функцию $x=a \cos \left(\omega_{0} t+\delta\right)$, можно продифференцировать по тому же аргументу комплексное выражение (126.2) или (126.3), а затем взять вещественную часть результата. В обоих случаях получится одно и то же. Но было бы грубой ошибкой переносить этот прием на нелинейные операции. Пусть, например, требуется возвести в квадрат вещественную величину $x$. Правильный результат будет $x^{2}$. Попробуем, однако, формально применить комплексный метод. Заменим $x$ на $x+i y$ и возведем в квадрат, получим $\left(x^{2}-y^{2}\right)+i 2 x y$. Вещественная часть этого выражения равна $x^{2}-y^{2}$. Она зависит не только от вещественной части выражения $x+i y$, но и от мнимой. Ошибка получилась потому, что возведение в квадрат — нелинейная операция.
|
1 |
Оглавление
|