1. Автоколебаниями называются вынуэденные незатухающие колебания в реальных системах, период и амплитуда которых не зависят от характера внешнего воздействия, а определяются свойствами самой автоколебательной системы. Автоколебания поддерживаются за счет поступления энергии из внешнего источника, причем количество поступающей энергии регулируется самой системой. В отличие от незатухающих собственных колебаний гармонического осциллятора и аналогичных систем, амплитуды которых определяются начальными условиями, амплитуды автоколебаний от начальных условий не завиcяm. Собственные незатухающие колебания относятся к идеализированному типу колебаний, который в реальных системах никогда не реализуется точно, – реальные собственные колебания всегда затухают. Напротив, автоколебания в реальных системах могут продолюаться сколь угодно долго, пока не израсходуется энергия источника, поддерживающего эти колебания.
Примерами автоколебательных систем могут служить часы, духовые и смычковые музыкальные инструменты и пр. В часах автоколебания возбуждаются и поддерживаются силой закрученной пружины или весом гири, в духовых музыкальных инструментах – воздушной струей, в скрипке силами трения, возникающими при равномерном движении смычка, и т. д. Гудение телеграфных проводов под действием ветра, «пение» водопроводных труб, звучание человеческого голоса или трель соловья – все это примеры автоколебаний, вызываемых непериодическими силами.
Рис. 312
Автоколебания могут возбуждаться и поддерживаться также и периодическими силами. Однако период последних не имеет никакого отношения к периоду возбуждаемых автоколебаний. Хорошим примером может служить демонстрационный опыт, предложенный и осуществленный М. И. Маклаковым, лекционным ассистентом Московского физико-технического института. Катушка $L$ колебательного контура помещается над столом в вертикальном положении (рис. 312). Снизу в нее входит железная трубка $A$, нижний конец которой стоит на столе. В трубке сделана вертикальная прорезь для уменьшения токов Фуко. Параметры колебательного контура подбираются так, чтобы его собственная частота совпадала с частотой переменного городского тока (50 герц). После включения тока через некоторое время наступает резонанс токов, и железная трубка втягивается в катушку. Индуктивность катушки увеличивается, колебательный контур выходит из резонанса, а амплитуда колебаний тока в катушке уменьшается. Благодаря этому трубка возвращается в исходное положение под действием силы тяжести. После этого колебания тока в колебательном контуре начинают нарастать, и снова наступает резонанс. Трубка опять втягивается в катушку. Трубка совершает автоколебания, т. е. периодические движения вверх и вниз, и при этом громко стучит по столу, подобно молотку. Период этих механических автоколебаний в десятки раз превосходит период переменного тока, поддерживающего их. Прибор получил название молотка Маклакова. Вместо параллельного включения катушку самоиндукции и конденсатор можно включить также последовательно.

Строгая теория автоколебаний весьма сложна. Это связано с тем, что автоколебания нелинейны, т. е. описываются нелинейными уравнениями. Принцип суперпозиции в этих случаях не имеет места, что затрудняет получение и исследование решений самих уравнений.
2. Важнейшей автоколебательной системой является ламповый генератор, нашедший широкое применение в радиотехнике. Простейшая схема такого генератора представлена на рис. 313. В цепь сетки лампы включен колебательный контур, в котором возбуждаются автоколебания. В цепь анода введена катушка, индуктивно связанная с катушкой колебательного контура. Она называется $к a$ тушкой обратной связи. В использовании такой катушки заключена основная идея генератора. При наличии катушки обратной связи ток в колебательном контуре может индукционно воздействовать на ток в анодной цепи, и обратно. В реальных генераторах применяются многосеточные лампы. Однако для выяснения принципа действия генератора мы ограничимся простейшим случаем, когда в качестве лампы взят триод, имеющий всего одну сетку.

В реальных условиях в колебательном контуре всегда совершаются колебания, возникающие в результате внешних влияний или тепловых флуктуаций. Обозначим через I
Рис. 313
ток в колебательном контуре, а через $I_{a}$ – в анодной цепи. Некоторая часть тока $i$ из колебательного контура ответвляется и идет на сетку.

Однако ток $i$ мал и им можно пренебречь. Дело в том, что емкость конденсатора $C$ очень велика по сравнению с емкостью между нитью и сеткой лампы. Поэтому емкостное сопротивление конденсатора много меньше сопротивления, оказываемого лампой, присоединенной параллельно конденсатору. В этих условиях основной ток устремляется через конденсатор. Однако, несмотря на свою малость, сеточный ток $i$ играет принципиальную роль, так как он меняет заряд и потенциал сетки. Анодный ток $I_{a}$ можно представить в виде функции сеточного $V_{g}$ и анодного $V_{a}$ напряжений. Так как сетка расположена значительно ближе к катоду, то изменение потенциала сетки значительно сильнее сказывается на силе анодного тока, чем равное изменение потенциала анода. Влиянием изменений анодного напряжения на анодный ток $I_{a}$ можно пренебречь. В этом приближении
\[
\frac{d I_{a}}{d t}=\left(\frac{d I_{a}}{d V_{g}}\right)_{V_{a}} \frac{d V_{g}}{d t}=S \frac{d V_{g}}{d t},
\]

где $S$ – крутизна сеточной характеристики. При изменении анодного тока в колебательном контуре индуцируется ЭДС
\[
\mathscr{E}^{\text {инд }}=-M \frac{d I_{a}}{d t}=-M S \frac{d V_{g}}{d t},
\]

где $M$ – коэффициент взаимной индукции между катушкой колебательного контура и катушкой обратной связи. Напряжение на сетке равно напряжению на конденсаторе, т. е. $V_{g}=q / C$, где $q$ – заряд на верхней пластине конденсатора (при положительном обходе по контуру конденсатор проходится сверху вниз). Таким образом, $d V_{g} / d t=\dot{q} / C=$ $=I / C$, и, следовательно,
\[
\mathscr{E}^{\text {инд }}=-\frac{M S}{C} I .
\]

Если $M<0$, то $\mathscr{E}^{\text {инд }}$ и $I$ имеют одинаковые знаки. В этом случае при отсутствии сопротивления колебания в контуре будут нарастать произойдет самовозбуждение колебаний. Если же $M>0$, то под действием электродвижущей силы $\mathscr{E}^{\text {инд }}$ колебания в контуре прекратятся. Пересоединив концы катушки обратной связи или повернув на $180^{\circ}$ саму катушку, можно изменить знак $M$ и таким образом перейти от одного случая к другому.

Для получения более точного условия самовозбуждения колебательного контура надо учесть его омическое сопротивление $R$. При наличии электродвижущей силы $\mathscr{E}^{\text {инд }}$ уравнение колебаний в колебательном контуре имеет вид
\[
L \ddot{q}+R \dot{q}+\frac{q}{C}=-\frac{M S}{C} \dot{q},
\]

где $L$ – индуктивность колебательного контура. Разделив на $L$ и введя обозначения
\[
\omega_{0}^{2}=\frac{1}{L C}, \quad 2 \delta=\frac{R}{L}+\frac{M S}{L C},
\]

получим
\[
\ddot{q}+2 \delta \dot{q}+\omega_{0}^{2} q=0 .
\]

Допустим, что лампа работает на прямолинейном участке сеточной характеристики. Тогда $S$ и $\delta$ можно считать величинами постоянными. В этом случае формально уравнение (133.4) описывает свободные колебания в контуре:
\[
q=q_{0} e^{-\delta t}(A \cos \omega t+B \sin \omega t),
\]

где $A$ и $B$ – постоянные, а $\omega^{2}=\omega_{0}^{2}-\delta^{2}$. Однако эти колебания могут не только затухать $(\delta>0)$, но и нарастать $(\delta<0)$. Условие нарастания колебаний $\delta<0$ можно привести к виду
\[
M<-C R / S .
\]

Это и есть условие самовозбуждения колебаний. Из него видно, что для самовозбуждения колебаний необходимо выполнение неравенства $M<0$, которое было получено выше для частного случая $R=0$.
3. Изложенная теория «линейна», т. е. она основана на линейных дифференциальных уравнениях. Она не полна и годится только на начальной стадии процесса, когда колебания малы и поэтому с достаточным приближением крутизна характеристики $S$ может считаться постоянной. Линейная теория приводит к правильному условию самовозбуждения колебаний (133.6), но она неприменима на более поздних стадиях процесса, когда амплитуда колебаний сделается достаточно большой. В частности, она не может ответить на вопрос, каковы будут установившиеся колебания. Если $\delta<0$, то по линейной теории амплитуда колебаний должна возрастать неограниченно, а при $\delta=$ $=0$ колебания должны быть незатухающими с амплитудой и фазой, определяемыми начальными условиями. Эти выводы не согласуются с опытом. Причина расхождения состоит в том, что при сильных колебаниях крутизна характеристики $S$ даже приближенно перестает быть постоянной, а потому уравнения, описывающие колебания, становятся нелинейными. Полная теория автоколебаний вообще и колебаний в ламповом генераторе в частности должна исходить из нелинейных уравнений, справедливых на всех стадиях процесса.
Запишем уравнение колебаний в колебательном контуре в виде
\[
L \dot{I}+R I+\frac{q}{C}=-M \frac{d I_{a}}{d t} .
\]

Для упрощения предположим, что анодный ток $I_{a}$ зависит только от знака сеточного напряжения $V_{g}$. Когда $V_{g}>0$, через лампу идет максимально возможный ток, равный току насыщения $I_{s}$. Когда $V_{g}<$ $<0$, анодный ток $I_{a}$ равен нулю. Соответствующая идеализированная сеточная характеристика представлена на рис. 314 жирной ломаной линией (ср. с рис. 227). В этом случае уравнение (133.7) становится нелинейным. Введенная схематизация, конечно, не годится в точных расчетах. Но она достаточна, чтобы качественно передать основные особенности автоколебаний. На рис. 315 изображена кривая сеточного напряжения $V_{g}$. Под ней приведена ступенчатая кривая $I_{a}(t)$ для анодного тока $I_{a}$. Производная $\dot{I}_{a}$ всюду равна нулю, за исключением отдельных точек, в которых ток $I_{a}$ испытывает скачки. Формально
Рис. 314
Рис. 315

в этих точках производная $\dot{I}_{a}$ обращается в бесконечность. В действительности функция $I_{a}(t)$ всюду непрерывна и дифференцируема. Точки разрыва должны быть заменены малыми интервалами времени $\tau$, в течение которых происходят резкие изменения анодного тока на величину $\Delta I_{a}= \pm I_{s}$, а производная $\dot{I}_{a}$ по абсолютной величине очень велика. Такие изменения вызывают скачки тока $\Delta I$ и в колебательном контуре. Для нахождения $\Delta I$ проинтегрируем выражение (133.7) по одному из интервалов времени $\tau$. Поскольку величины $I$ и $q$ остаются конечными, при таком интегрировании они в пределе не вносят никакого вклада, и мы получаем
\[
L \Delta I=-M \Delta I_{a} .
\]

Скачки $\Delta I$ аналогичны кратковременным толчкам, действующим на колебательную систему. Если $M<0$, то такие толчки усиливают колебания; если $M>0$, то ослабляют. Между двумя последовательными толчками система совершает затухающие свободные колебания. Допустим, что $M<0$. Пусть перед некоторым толчком амплитуда колебаний тока в колебательном контуре равна $I_{0}$. После толчка она получает приращение $|\Delta I|=\left|M \Delta I_{a} / L\right|=\left|M I_{s} / L\right|$ и становится равной $I_{1}=I_{0}+\left|M I_{s} / L\right|$. K следующему толчку колебания приходят с амплитудой
\[
I_{2}=I_{1} e^{-\gamma T / 2}=\left(I_{0}+\left|\frac{M I_{s}}{L}\right|\right) e^{-\gamma T / 2},
\]

где $\gamma=R /(2 L)$, а $T$ – период колебания. Колебания будут нарастать, если $I_{2}>I_{0}$. Амплитуда колебаний установится, когда $I_{2}=I_{0}$. Таким образом, амплитуда установившихся колебаний будет
\[
I_{0}=\frac{\left|M I_{s} / L\right|}{e^{\gamma T / 2}-1} .
\]

Характер установившихся колебаний (т. е. автоколебаний) представлен на рис. 316. Благодаря наличию скачков и затуханию колебания не (а)
Рис. 316

гармонические. Допустим, однако, что добротность $Q$ колебательного контура очень велика, т. е. $\gamma T \ll 1$. Тогда скачки тока $I$ станут малозаметными, а автоколебания – практически гармоническими с амплитудой
\[
I_{0}=\frac{2\left|M I_{s} / L\right|}{\gamma T}=\frac{2 Q}{\pi}\left|\frac{M}{L} I_{s}\right| .
\]

Конечно, в реальных ламповых генераторах, характеристики которых – плавные кривые, никаких резких скачков не возникает, колебания непрерывны, хотя и не совсем синусоидалъны.
4. В настоящее время для генерации синусоидальных и несинусоидальных колебаний и их усиления, наряду с электронными лампами, успешно применяются полупроводниковые приборы, обладающие рядом преимуществ по сравнению с электронными лампами. Полупроводниковые приборы не имеют накаливаемого катода и потому потребляют относительно меньшую мощность. Они не требуют вакуума, который может портиться при работе лампы. По этой причине они более долговечны и надежны в работе, чем электронные лампы. Благодаря своим малым габаритам полупроводниковые приборы незаменимы во многих радиотехнических схемах, например в счетно-решающих устройствах. Однако полупроводниковые приборы обладают и рядом недостатков (изменение свойств полупроводников с температурой, усложнения схем из-за малости входных сопротивлений, шумы, вызываемые случайными изменениями путей токов внутри сопротивлений). По этой причине, когда габариты и вес не являются определяющими, в технике эксперимента пока отдается предпочтение схемам на электровакуумных и газонаполненных приборах. Не останавливаясь на всех этих вопросах, относящихся к области радиотехники, ограничимся краткими замечаниями.

Для усиления и генерации колебаний применяются полупроводниковые приборы не с двумя (как в выпрямителях), а с тремя и более электродами. Рассмотрим полупроводниковый триод (транзистор), содержащий три электрода. Он представляет собой кристалл германия или кремния, в котором введением донорной и акцепторной примесей созданы три области с чередующимися типами проводимости: электронной и дырочной. Существуют два типа транзисторов. В транзистоpax $n-p-n$-типа (рис. 317 a) крайние области обладают электронной, а средняя (база, или основание) – дырочной проводимостью. В транзи-
Рис. 317

сторах $p-n-p$-типа (рис. 317 б), наоборот, электронной проводимостью обладает база, а дырочной – крайние области. Кристалл снабжен соответствующими металлическими электродами, с помощью которых транзистор включается в цепь.

Контактное поле $\mathbf{E}_{\text {к }}$ в обоих $n-p$-переходах направлено от электронного к дырочному полупроводнику (см. § 108). Направление $\mathbf{E}_{\mathrm{\kappa}}-$ запорное, противоположное направление – пропускное. Включим транзистор в схему согласно рис. $317 a$. Половина, включенная в проходном направлении, называется эмиттером, а включенная в запорном направлении – коллектором. Ширина базы, разделяющей эти половины, всегда мала и измеряется десятками (или даже единицами) микрометров. Электрический ток внутри эмиттера (рис. $317 a$ ) создается главным образом движением электронов, являющихся основными носителями зарлда. Эти электроны проходят через левый $n-p$-переход в область базы и там под действием электрического поля $\mathbf{E}$ движутся по направлению к коллектору. Толщина базы должна быть такова, чтобы значительная часть электронов прошла через нее. Пройдя через правый $p-n$-переход, электроны попадают в коллектор уже в качестве основных носителей заряда. Тем самым они меняют ток в коллекторе. Те же рассуждения относятся и к рис. 317 б (только роль электронов будут выполнять положительные дырки). Таким образом, всякое изменение тока в цепи эмиттера будет вызывать изменение тока и в цепи коллектора. В этом отношении транзистор действует аналогично электронной лампе. Роль катода играет эмиттер, анода – коллектор, сетки – база.