1. Сформулируем теперь закон, определяющий магнитное поле движущегося точечного заряда $q$, ограничиваясь при этом равномерными движениями с малыми скоростями. (Точное определение медленности движения будет приведено ниже.) Такой закон был получен обобщением опытных фактов и выражается формулой
\[
\mathbf{B}=\frac{q}{c^{\prime} r^{3}}[\mathbf{v r}]
\]
где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор, проведенный от заряда $q$ к точке наблюдения, а $c^{\prime}$ – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц. Электрическое поле неподвижного заряда той же величины $q$ в той же точке наблюдения определяется выражением
\[
\mathbf{E}=\frac{q}{r^{3}} \mathbf{r} .
\]
(Такое же выражение годится и для медленно движущихся зарядов.) С использованием этого выражения предыдущая формула может быть записана в виде $\mathbf{B}=\left(1 / c^{\prime}\right)[\mathbf{v E}]$. В гауссовой системе единиц величины $\mathbf{B}$ и $\mathbf{E}$ имеют одинаковую размерность. Поэтому постоянная $c^{\prime}$ должна в этой системе иметь размерность скорости. Для простоты она выбирается равной постоянной $c$, введенной в предыдущем параграфе.
Условием $c^{\prime}=c$, как будет видно из дальнейшего изложения, однозначно определяется и числовое значение $c$. Так определенная скорость $c$ называется электродинамической постоянной. Измерения показали, что она совпадает со скоростью света в вакууме. Медленность движения, о которой говорилось выше, надо понимать в том смысле, что скорость $v$ должна быть очень мала по сравнению с величиной $c$ ( $v \ll$ $\ll c$ ).
Таким образом,
\[
\mathbf{B}=\frac{q}{c r^{3}}[\mathbf{v r}],
\]
или
\[
\mathbf{B}=\frac{1}{c}[\mathbf{v E}] .
\]
2. Используем приведенные формулы для вычисления сил взаимодействия двух движущихся точечных зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$. Это взаимодействие складывается из электрического (по закону Кулона) и магнитного. Ниже речь идет только о магнитном взаимодействии. Пусть $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ означают скорости движущихся зарядов. Магнитное поле, создаваемое зарядом $q_{1}$ в точке нахождения заряда $q_{2}$, будет
\[
\mathbf{B}_{1}=\frac{q_{1}}{c r_{12}^{3}}\left[\mathbf{v}_{1} \mathbf{r}_{12}\right],
\]
где $\mathbf{r}_{12}$ – радиус-вектор, проведенный от первого заряда ко второму. На заряд $q_{2}$ это поле действует с силой
\[
\mathbf{F}_{12}=\frac{q_{2}}{c}\left[\mathbf{v}_{2} \mathbf{B}_{1}\right]=\frac{q_{1} q_{2}}{c^{2} r_{12}^{3}}\left[\mathbf{v}_{2}\left[\mathbf{v}_{1} \mathbf{r}_{12}\right]\right] .
\]
Аналогично, заряд $q_{2}$ действует на заряд $q_{1}$ с силой
\[
\mathbf{F}_{21}=\frac{q_{2} q_{1}}{c^{2} r_{21}^{3}}\left[\mathbf{v}_{1}\left[\mathbf{v}_{2} \mathbf{r}_{21}\right]\right]
\]
где радиус-вектор $\mathbf{r}_{21}$ проведен от заряда 2 к заряду 1.
Если скорости $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ параллельны, одинаково направлены и перпендикулярны к вектору $\mathbf{r}_{12}$ (рис. 124), то в случае одноименных зарядов $\mathbf{F}_{12}$ и $\mathbf{F}_{21}$ будут силами притяжения, а в случае разноименных силами отталкивания. Эти силы определяются выражением
\[
F_{12}=F_{21}=F=\frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}^{2}}\left(\frac{v_{1} v_{2}}{c^{2}}\right) .
\]
Рис. 124
В частности, когда скорости одинаковы,
\[
F=\frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}^{2}}\left(\frac{v}{c}\right)^{2} .
\]
Если скорости антипараллельны, то при тех же условиях одноименные заряды будут отталкиваться, а разноименные – притягиваться.
В формулы (50.6) и (50.7) магнитное поле не входит. Этими формулами, как уже говорилось выше, электродинамическая постоянная $c$ определяется однозначно, так как все прочие величины, входящие в указанные формулы, определены и могут быть экспериментально измерены. Впрочем, формулы (50.6) и (50.7) указывают лишь на принципиальную возможность измерения постоянной $c$. Для практических измерений они не пригодны. Практический метод измерения постоянной $c$ будет указан в $\S 51$.
В общем случае силы магнитного взаимодействия $\mathbf{F}_{12}$ и $\mathbf{F}_{21}$ не удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия.
Рис. 125 Особенно резко нарушение этого принципа проявляется тогда, когда скорости $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ взаимно перпендикулярны, причем скорость $\mathbf{v}_{2}$ направлена вдоль вектора $\mathbf{r}_{12}$ (рис. 125). Тогда $\mathbf{B}_{2} \sim\left[\mathbf{v}_{2} \mathbf{r}_{21}\right]=0$, так что $\mathbf{F}_{21}=0$. Между тем, как видно из рисунка, $\mathbf{F}_{12}
eq 0$. Но мы уже неоднократно подчеркивали, что для взаимодействий, осуществляющихся посредством полей, соблюдение принципа равенства действия и противодействия не обязательно.
3. Формула (50.7) показывает, что отношение силы магнитного взаимодействия движущихся зарядов к силе их кулоновского притяжения или отталкивания порядка $(v / c)^{2}$. Скорости установившегося движения электронов в металлах при прохождении электрического тока не превышают нескольких сантиметров в секунду, а в электролитах они еще меньше. Таким образом, отношение $(v / c)^{2}$ ничтожно и не превышает примерно $10^{-20}$. Почему же электродвигатели приводят в движение именно магнитные (амперовы) силы, по сравнению с которыми силы электростатического взаимодействия не играют никакой роли? Все дело в том, что в переносе тока участвует громадное количество заряженных частии, и это обстоятельство компенсирует малость множителя $(v / c)^{2}$. При этом существенно, что действие магнитного поля на движущийся заряд $q$ определяется не $q$ и $\mathbf{v}$ в отдельности, а произведением этих величин $q \mathbf{v}$. Когда течет ток, то заряды противоположных знаков движутся в противоположных направлениях, так что произведение $q \mathbf{v}$ имеет для них один и тот же знак. Силы, действующие в магнитном поле на частицы противоположных знаков, арифметически складываются, а не вычитаются. Точно так же магнитные поля, возбуждаемые движущимися зарядами, зависят от произведения $q \mathbf{v}$, а потому поля противоположных зарядов также арифметически складываются. Coвсем иначе ведут себя электрические заряды по отношению к электрическим полям. С одной стороны, в выражения для напряженностей электрических полей и сил, действующих на заряды в таких полях, скорость $\mathbf{v}$ не входит. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды, направлены противоположно, а потому арифметически вычитаются. С другой стороны, даже в электрически заряженном теле зарлды определенного знака в высокой степени скомпенсированы зарядами противоположного знака. Как бы ни был велик электрический заряд тела, все же он ничтожно мал по сравнению с суммарным зарядом входящих в него частиц одного знака (см. § 10, п.4). Вот почему магнитные силы намного превосходят электрические силы, действующие на нескомпенсированные заряды тел.
4. Получим теперь закон, определяющий магнитное поле отдельного элемента тока. Как и в электростатике, будем исходить из принципа суперпозиции как обобщения опытных фактов. Согласно этому принципу магнитные поля отдельных движущихся зарядов векторно складываются, причем каждый заряд возбуждает поле, совершенно не зависящее от наличия других зарядов. С использованием формулы (50.2) принцип суперпозиции приводит к следующему выражению для магнитного поля объемного элемента тока:
\[
d \mathbf{B}=\frac{1}{c} \frac{[\mathbf{j} \mathbf{r}]}{r^{3}} d V .
\]
Аналогично, для линейного элемента тока:
\[
d \mathbf{B}=\frac{I}{c} \frac{[d \mathbf{l} \mathbf{r}]}{r^{3}} .
\]
Эти формулы выражают так называемый закон Био (1774-1862) и Савара (1791-1841). Полное поле найдется интегрированием выражений (50.8) и (50.9) по всем токам, т. е.
\[
\mathbf{B}=\frac{1}{c} \int \frac{[\mathbf{j} \mathbf{r}]}{r^{3}} d V
\]
или
\[
\mathbf{B}=\oint \frac{I}{c} \frac{[d \mathbf{l} \mathbf{r}]}{r^{3}} .
\]
Оба эти выражения применимы лишь для постоянных токов. А постоянные токи всегда замкнуты. Все наблюдаемые величины не изменились бы, если бы в правой части формулы (50.9) было добавлено произвольное слагаемое, интеграл от которого по любому замкнутому контуру обращается в нуль. Поэтому в рамках учения о постоянных токах элементарный закон Био и Савара в форме (50.8) или (50.9) принципиально недоступен опытной проверке, так как невозможно изолировать отдельные элементы постоянных токов и экспериментировать с ними. Опытной проверке доступна только интегральная форма закона Био и Савара (50.10) или (50.11). По этой причине в основу учения о магнитном поле постоянных токов мы положили не элементарный закон Био и Савара, как это обычно принято, а закон, определяющий магнитное поле движущегося заряда. Поле движущегося заряда принципиально всегда может быть измерено на опыте, хотя практически это и весьма трудная задача. И действительно, установление того факта, что движущиеся макроскопические заряды создают магнитные поля, было получено с большим трудом. Впервые это удалось сделать в 1877 г. Роуланду (1848-1901) в лаборатории Гельмгольца. Его работа была продолжена многими учеными и завершилась фундаментальными исследованиями А. А. Эйхенвальда (1863-1944), выполненными в Москве в 1901-1904 гг. Из формул (50.4) и (50.5) следует, что параллельные токи должны притягиваться, а антипараллельные – отталкиваться.
