1. Рассмотрим сначала частный случай. Пусть параллельные провода $A B$ и $C D$ (рис. 156) помещены в однородное постоянное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка и направленное к читателю. Слева находится источник тока, не показанный на рисунке. По проводам может свободно перемещаться проводящий мостик $K L$, замыкающий ток $I$, текущий по проводам левее мостика. Если $l$ — длина мостика, то на него магнитное поле действует с силой $F=$ $=(I / c) l B$. При перемещении мостика на $d x$ эта сила совершает работу
\[
\delta A=\frac{I}{c} l B d x=\frac{I}{c} d(B S),
\]

Рис. 156
где $S$ — площадь прямоугольника $A K L C$.
Величина $B S$ есть магнитный поток через тот же прямоугольник. Обозначив его через $\Phi$, получим для элементарной работы
\[
\delta A=\frac{I}{c} d \Phi
\]

а для конечной работы
\[
A_{12}=\frac{I}{c}\left(\Phi_{2}-\Phi_{1}\right)
\]

Таким образом, работа, совершаемая магнитным полем над током, равна приращению магнитного потока, умноженному на $I / c$. При выводе предполагалось, что ток $I$ при перемещении мостика $K L$ поддерживался постоянным.
2. Результат справедлив и в том случае, когда магнитное поле направлено произвольно. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор В на три составляющие: $\mathbf{B}=\mathbf{B}_{n}+\mathbf{B}_{l}+\mathbf{B}_{x}$. Составляющая $\mathbf{B}_{l}$ вдоль мостика параллельна току в нем, а потому не оказывает на мостик силового действия. Составляющая $\mathbf{B}_{x}$ вдоль перемещения дает силу, перпендикулярную к перемещению, и работы не производит. Работа производится лишь составляющей $\mathbf{B}_{n}$, перпендикулярной к плоскости рисунка, в которой перемещается мостик $K L$. Эта работа представляется выражениями (62.1) и (62.2).
3. Докажем, наконец, что формулы (62.1) и (62.2) справедливы для любого витка с током при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле. Виток может не только перемещаться как целое, но и произвольно деформироваться. Для доказательства достаточно мысленно разбить виток на бесконечно малые элементы тока и рассмотреть бесконечно малые перемещения их. При бесконечно малом перемещении элемента тока магнитное поле, в котором он перемещается, может считаться однородным. К такому перемещению применимо выражение (62.1) для элементарной работы. Сложением таких элементарных работ для всех элементов тока, на которые разбит виток, снова получается выражение (62.1), в котором $d \Phi$ означает приращение магнитного потока через весь виток. После этого переход от формулы (62.1) к формуле (62.2) совершается простым интегрированием. Подчеркнем еще раз, что при перемещении витка сила тока в нем должна поддерживаться постоянной. Это достигается путем надлежащего увеличения электродвижущей силы источника.