1. Возьмем сферический слой между двумя концентрическими сферами, равномерно заряженный по всем объему. Электрическое поле в полости, ограниченной таким слоем, как известно, равно нулю. Хотя этот результат является непосредственным следствием теоремы Гаусса (см. § 6), для последующего важно получить его непосредственно из закона Кулона. С этой целью через произвольную точку $M$ (рис. 71) внутри сферической полости, ограниченной рассматриваемым слоем, проведем бесконечно узкий конус прямых. Он вырежет из слоя два бесконечно малых элемента объема $d V_{1}$ и $d V_{2}$, заштрихованных на рисунке. Проведем далее через точки $A, B, A^{\prime}, B^{\prime}$ участки сферических поверхностей с общим центром в точке $M$, изображенные на рисунке штриховыми линиями. Между ними тот же конус прямых вырежет элементы объема $d \tau_{1}$ и $d \tau_{2}$ (не обозначенные на рисунке). Очевидно, $d \tau_{1} / d \tau_{2}=r_{1}^{2} / r_{2}^{2}$, где $r_{1}$ и $r_{2}-$ Рис. 71 расстояния рассматриваемых элементов объема от точки $M$. Кроме того, $d \tau_{1}=d V_{1}, d \tau_{2}=d V_{2}$, а потому $d q_{1} / d q_{2}=r_{1}^{2} / r_{2}^{2}$, где $d q_{1}$ и $d q_{2}$ – заряды элементов объема $d V_{1}$ и $d V_{2}$ соответственно. На основании закона Кулона можно утверждать, что поля зарядов $d q_{1}$ и $d q_{2}$ в точке $M$ равны и противоположно направлены. Проведя через точку $M$ конусы прямых во всевозможных направлениях, можно разделить весь заряженный сферический слой на пары аналогичных бесконечно малых зарядов, электрические поля которых в точке $M$ взаимно уничтожают друг друга. Отсюда следует, что электрическое поле будет равно нулю во всех точках полости, так как точку $M$ можно взять произвольно.
2. Предполагая, что электрические заряды в сферическом слое неподвижно закреплены, будем равномерно сжимать или растягивать всю фигуру
на рис. 71 последовательно вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. При такой деформации сферический слой перейдет в равномерно заряженный эллипсоидальный слой, ограниченный двумя подобными и подобно расположенными концентрическими эллипсоидами. Каждая прямая перейдет в прямую, равномерно сжатую или растянутую. Величины зарядов $d q_{1}$ и $d q_{2}$, разумеется, останутся без изменения. Элементы объема $d V_{1}$ и $d V_{2}$, а также расстояния $r_{1}$ и $r_{2}$ изменятся, но их отношения останутся прежними. В частности, $d q_{1} / d q_{2}=r_{1}^{2} / r_{2}^{2}$. Значит, сохранится и компенсация полей в каждой точке внутри полученной эллипсоидальной полости. Отсюда следует, что электрическое поле в полости, ограниченной равномерно заряэенным эллипсоидальным слоем между двумя подобными и подобно расположенными концентрическими эллипсоидами, равно нулю.
3. Будем теперь уменьшать толщину эллипсоидального слоя беспредельно, сохраняя его общий заряд $q$ неизменным. В пределе получится повер $x$ ностное распределение электричества, при котором поле внутри эллипсоидальной полости всюду равно нулю. Если поверхность полости сделать проводящей, то равновесие электричества на ней не нарушится. Значит, в результате такого предельного перехода получится равновесное распределение электричества по поверхности проводящего эллипсоида. Выполним теперь указанный предельный переход и найдем величину поверхностной плотности электричества $\sigma$ на поверхности эллипсоида. Проведем из центра эллипсоидального слоя $O$ бесконечно узкий конус прямых, вырезающий из этого слоя объем $d V$, а из его поверхности – элементарную площадку $d S$ (рис. 72). Очевидно, $d V=d S d N$, где $d N$ – толщина

Рис. 72 слоя в рассматриваемом месте. Если $\rho$ – объемная плотность электричества в слое, то заряд элемента объема $d V$ будет $d q=\rho d S d N$. Если $d N \rightarrow 0$, а общий заряд эллипсоидального слоя сохраняется неизменным, то получается поверхностное распределение электричества с поверхностной плотностью
\[
\sigma=\frac{d q}{d S}=\rho d N
\]

Проведем в рассматриваемом месте эллипсоидальной поверхности касательную плоскость $A B$ и опустим на нее перпендикуляр $O A$, длину которого обозначим через $N$. При неизменном направлении перпендикуляра $O A$ объемы подобных и подобно расположенных эллипсоидов, очевидно, пропорциональны $N^{3}$. Если $V-$ объем эллипсоида, то $V \sim N^{3}$, а потому
\[
\frac{\Delta V}{V}=\frac{3 d N}{N},
\]

где $\Delta V$ – объем эллипсоидального слоя. Исключив $d N$ и воспользовавшись соотношением $q=\rho \Delta V$, получим
\[
\sigma=\frac{q N}{3 V} .
\]

Пусть уравнение поверхности эллипсоида имеет вид
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 .
\]

Тогда, как известно из аналитической геометрии,
\[
N=\left(\frac{x^{2}}{a^{4}}+\frac{y^{2}}{b^{4}}+\frac{z^{2}}{c^{4}}\right)^{-1 / 2} .
\]

Кроме того, $V=(4 \pi / 3) a b c$. Поэтому формула (25.1) переходит в
\[
\sigma=\frac{q}{4 \pi a b c}\left(\frac{x^{2}}{a^{4}}+\frac{y^{2}}{b^{4}}+\frac{z^{2}}{c^{4}}\right)^{-1 / 2} .
\]

Из рассуждений настоящего параграфа непосредственно следует, что равновесное распределение электричества на поверхности проводящего эллипсоида остается равновесным при любом равномерном растяжении или сәатии его. Пользуясь этим, можно было бы найти равновесное распределение электричества по поверхности эллипсоида путем равномерного растяжения или сжатия заряженного проводящего шара. Такой путь является наиболее коротким. Разумеется, он также приводит к формуле (25.3).

Зная распределение электричества по поверхности эллипсоида, можно путем интегрирования по этой поверхности найти потенциал, а затем и напряженность электрического поля в любой точке пространства. Такой путь, однако, приводит к громоздким вычислениям. Значительно проще другой, искусственный прием (см. задачи 3 и 4 к этому параграфу).
ЗАДАЧИ
1. Найти поверхностную плотность электричества на бесконечно тонкой проводящей эллиптической пластинке, получающейся равномерным сжатием трехосного эллипсоида в направлении оси $Z$.

Решение. Пренебрегая в (25.3) первыми двумя членами в скобках, а затем воспользовавшись формулой (25.2), получаем
\[
\sigma=\frac{q}{4 \pi a b}\left(\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)^{-1 / 2}=\frac{q}{4 \pi a b}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{-1 / 2} .
\]
2. Заряженный проводящий эллипсоид мысленно разделен на части равноотстоящими плоскостями, перпендикулярными к одной из его главных осей. Показать, что, каково бы ни было число таких частей, величины их зарядов будут всегда одинаковы. В частности, если эллипсоид является вытянутым и бесконечно тонким, то электричество распределится по его длине равномерно.
3. Найти условие, при выполнении которого поверхности семейства $\lambda(x, y, z)=$ const могут быть эквипотенциальными.

Решение. По условию потенциал $\varphi$ постоянен, если постоянна функция $\lambda$. Значит, он должен быть функцией только $\lambda: \varphi=\varphi(\lambda)$. Дифференцируя $\varphi$ по координате $x$, получаем
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\varphi^{\prime} \frac{\partial \lambda}{\partial x}, \quad \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}=\varphi^{\prime \prime}\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^{2}+\varphi^{\prime} \frac{\partial^{2} \lambda}{\partial x^{2}} .
\]

Написав аналогичные соотношения для $y$ и $z$ и складывая их, найдем
\[
\Delta \varphi=\varphi^{\prime \prime}(\operatorname{grad} \lambda)^{2}+\varphi^{\prime} \Delta \lambda .
\]

С учетом уравнения Лапласа $\Delta \varphi=0$ отсюда следует
\[
\frac{\Delta \lambda}{(\operatorname{grad} \lambda)^{2}}=-\frac{\varphi^{\prime \prime}(\lambda)}{\varphi^{\prime}(\lambda)} .
\]

Таким образом, чтобы уравнение $\lambda(x, y, z)=$ const представляло семейство эквипотенциальных поверхностей, необходимо, чтобы левая часть последнего соотношения была функцией только $\lambda$ :
\[
\Delta \lambda \frac{\Delta \lambda}{(\operatorname{grad} \lambda)^{2}}=\Phi(\lambda) .
\]

Если функция $\Phi(\lambda)$ известна, то потенциал $\varphi$ можно найти интегрированием уравнения
\[
\frac{\varphi^{\prime \prime}(\lambda)}{\varphi^{\prime}(\lambda)}=-\Phi(\lambda)
\]

что сводится к выполнению двух квадратур.
4. Найти потенциал электрического поля заряженного проводящего эллипсоида.

Решение. Пусть $\lambda(x, y, z)$ – неявная функция, определяемая уравнением
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}+\lambda}+\frac{y^{2}}{b^{2}+\lambda}+\frac{z^{2}}{c^{2}+\lambda}=1
\]
$(a \geqslant b \geqslant c>0)$. Уравнение $\lambda(x, y, z)=$ const представляет семейство софокусных поверхностей второго порядка. При $c^{2}+\lambda>0$ это есть семейство эллипсоидов; при $b^{2}+\lambda>0, c^{2}+\lambda<0$ – однополостных гиперболоидов; при $a^{2}+\lambda>0, b^{2}+\lambda<0, c^{2}+\lambda<0$ – двухполостных гиперболоидов. Во всех случаях уравнение $\lambda(x, y, z)=$ const может быть семейством эквипотенциальных поверхностей. Для доказательства достаточно убедиться, что выполняется условие (25.5). Введем обозначение
\[
F_{n}=\frac{x^{2}}{\left(a^{2}+\lambda\right)^{n}}+\frac{y^{2}}{\left(b^{2}+\lambda\right)^{n}}+\frac{z^{2}}{\left(c^{2}+\lambda\right)^{n}} .
\]

Тогда дифференцированием (25.7) по $x$ получим
\[
\frac{2 x}{a^{2}+\lambda}-F_{2} \frac{\partial \lambda}{\partial x}=0,
\]

откуда
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial x}=\frac{2 x}{\left(a^{2}+\lambda\right) F_{2}} .
\]

Вторичное дифференцирование дает
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial^{2} \lambda}{\partial x^{2}}=\frac{2}{\left(a^{2}+\lambda\right) F_{2}}-\frac{2 x}{\left(a^{2}+\lambda\right)^{2} F_{2}} \frac{\partial \lambda}{\partial x}-\frac{2 x}{\left(a^{2}+\lambda\right) F_{2}^{2}}\left[\frac{2 x}{\left(a^{2}+\lambda\right)^{2}}-2 F_{3} \frac{\partial \lambda}{\partial x}\right]= \\
=\frac{2}{\left(a^{2}+\lambda\right) F_{2}}-\frac{8 x^{2}}{\left(a^{2}+\lambda\right)^{3} F_{2}^{2}}+\frac{8 F_{3} x^{2}}{\left(a^{2}+\lambda\right)^{2} F_{2}^{3}} .
\end{array}
\]

Написав аналогичные выражения для производных по $y$ и $z$ и складывая их, находим
\[
\begin{array}{c}
(\operatorname{grad} \lambda)^{2}=\frac{4}{F_{2}} \\
\Delta \lambda=\frac{2}{F_{2}}\left(\frac{1}{a^{2}+\lambda}+\frac{1}{b^{2}+\lambda}+\frac{1}{c^{2}+\lambda}\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, условие (25.5) выполняется, причем
\[
\Phi(\lambda)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^{2}+\lambda}+\frac{1}{b^{2}+\lambda}+\frac{1}{c^{2}+\lambda}\right) .
\]

Задача свелась к интегрированию уравнения
\[
\frac{\varphi^{\prime \prime}(\lambda)}{\varphi^{\prime}(\lambda)}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^{2}+\lambda}+\frac{1}{b^{2}+\lambda}+\frac{1}{c^{2}+\lambda}\right) .
\]

Допустим теперь, что все знаменатели в правой части уравнения (25.9) положительны. Тогда эквипотенциальными поверхностями (25.7) будут софокусные эллипсоиды. При $\lambda=0$ получается эллипсоид (25.2). Таким образом, если потенциал $\varphi(x, y, z)$ найти из уравнения (25.9), то на поверхности эллипсоида (25.2) он обратится в постоянную и, следовательно, будет давать решение рассматриваемой задачи. Интегрируя уравнение (25.9), получаем
\[
\varphi^{\prime}(\lambda)=A\left[\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)\right]^{-1 / 2},
\]

где $A$ – постоянная интегрирования. Интегрируя вторично и принимая за нуль потенциал бесконечно удаленной точки, находим
\[
\varphi(\lambda)=A \int_{\infty}^{\lambda}\left[\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)\right]^{-1 / 2} d \lambda .
\]

Постоянная $A$ определится из условия, что на больших расстояниях функция $\varphi$ должна переходить в потенциал точечного заряда $\varphi=q / r$. При больших $\lambda$ эллипсоид (25.7) переходит в шар радиуса $r=\sqrt{\lambda}$, а предыдущий интеграл – в
\[
\varphi(\lambda)=A \int_{\infty}^{\lambda} \lambda^{-3 / 2} d \lambda=-2 A \lambda^{-1 / 2}=-\frac{2 A}{r} .
\]

Значит,
\[
\varphi=\frac{q}{2} \int_{\lambda}^{\infty}\left[\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)\right]^{-1 / 2} d \lambda .
\]

Входящий сюда интеграл является эллиптическим. Если эллипсоид является эллипсоидом вращения, то интегрирование выполняется в элементарных функциях. Для вытянутого эллипсоида вращения ( $b=c$ )
\[
\varphi=\frac{q}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \ln \frac{\sqrt{b^{2}+\lambda}}{\sqrt{a^{2}+\lambda}-\sqrt{a^{2}-b^{2}}} .
\]

Введем обозначения: $A=\sqrt{a^{2}+\lambda}, f=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$. Величина $2 A$ есть большая осъ эквипотенциального эллипсоида, проходящего через точку наблюдения, a $2 f$ – расстояние между фокусами рассматриваемого семейства софокусных эллипсоидов. Выражение (25.11) можно преобразовать к виду
\[
\varphi=\frac{q}{2 f} \ln \frac{A+f}{A-f} .
\]

Для сплюснутого эллипсоида вращения ( $a=b$ )
\[
\varphi=\frac{q}{\sqrt{a^{2}-c^{2}}} \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{a^{2}-c^{2}}}{\sqrt{\lambda+c^{2}}} .
\]

Введем длину малой оси эквипотенциального эллипсоида, проходящего через точку наблюдения: $2 B=2 \sqrt{c^{2}+\lambda}$, а также расстояние между фокусами

$2 f=2 \sqrt{a^{2}-c^{2}}$. Тогда
\[
\varphi=\frac{q}{f} \operatorname{arctg} \frac{f}{B} .
\]
5. Бесконечно тонкая диэлектрическая палочка равномерно заряжена электричеством с постоянной линейной плотностью. Показать, что эквипотенциальными поверхностями поля такой палочки будут софокусные эллипсоиды, фокусы которых находятся на ее концах.
6. Бесконечно тонкая круглая диэлектрическая пластинка радиуса $a$ заряжена электричеством с поверхностной плотностью
\[
\sigma=\frac{q}{2 \pi a \sqrt{a^{2}-r^{2}}},
\]

где $r$ – расстояние от центра пластинки. Показать, что эквипотенциальными поверхностями поля пластинки будут софокусные сплюснутые эллипсоиды вращения с фокальной линией, расположенной по окружности пластинки.