Главная > Общий курс физики. Т. III. Электричество (Сивухин Д. В.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Возьмем сферический слой между двумя концентрическими сферами, равномерно заряженный по всем объему. Электрическое поле в полости, ограниченной таким слоем, как известно, равно нулю. Хотя этот результат является непосредственным следствием теоремы Гаусса (см. § 6), для последующего важно получить его непосредственно из закона Кулона. С этой целью через произвольную точку M (рис. 71) внутри сферической полости, ограниченной рассматриваемым слоем, проведем бесконечно узкий конус прямых. Он вырежет из слоя два бесконечно малых элемента объема dV1 и dV2, заштрихованных на рисунке. Проведем далее через точки A,B,A,B участки сферических поверхностей с общим центром в точке M, изображенные на рисунке штриховыми линиями. Между ними тот же конус прямых вырежет элементы объема dτ1 и dτ2 (не обозначенные на рисунке). Очевидно, dτ1/dτ2=r12/r22, где r1 и r2 Рис. 71 расстояния рассматриваемых элементов объема от точки M. Кроме того, dτ1=dV1,dτ2=dV2, а потому dq1/dq2=r12/r22, где dq1 и dq2 — заряды элементов объема dV1 и dV2 соответственно. На основании закона Кулона можно утверждать, что поля зарядов dq1 и dq2 в точке M равны и противоположно направлены. Проведя через точку M конусы прямых во всевозможных направлениях, можно разделить весь заряженный сферический слой на пары аналогичных бесконечно малых зарядов, электрические поля которых в точке M взаимно уничтожают друг друга. Отсюда следует, что электрическое поле будет равно нулю во всех точках полости, так как точку M можно взять произвольно.
2. Предполагая, что электрические заряды в сферическом слое неподвижно закреплены, будем равномерно сжимать или растягивать всю фигуру
на рис. 71 последовательно вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. При такой деформации сферический слой перейдет в равномерно заряженный эллипсоидальный слой, ограниченный двумя подобными и подобно расположенными концентрическими эллипсоидами. Каждая прямая перейдет в прямую, равномерно сжатую или растянутую. Величины зарядов dq1 и dq2, разумеется, останутся без изменения. Элементы объема dV1 и dV2, а также расстояния r1 и r2 изменятся, но их отношения останутся прежними. В частности, dq1/dq2=r12/r22. Значит, сохранится и компенсация полей в каждой точке внутри полученной эллипсоидальной полости. Отсюда следует, что электрическое поле в полости, ограниченной равномерно заряэенным эллипсоидальным слоем между двумя подобными и подобно расположенными концентрическими эллипсоидами, равно нулю.
3. Будем теперь уменьшать толщину эллипсоидального слоя беспредельно, сохраняя его общий заряд q неизменным. В пределе получится повер x ностное распределение электричества, при котором поле внутри эллипсоидальной полости всюду равно нулю. Если поверхность полости сделать проводящей, то равновесие электричества на ней не нарушится. Значит, в результате такого предельного перехода получится равновесное распределение электричества по поверхности проводящего эллипсоида. Выполним теперь указанный предельный переход и найдем величину поверхностной плотности электричества σ на поверхности эллипсоида. Проведем из центра эллипсоидального слоя O бесконечно узкий конус прямых, вырезающий из этого слоя объем dV, а из его поверхности — элементарную площадку dS (рис. 72). Очевидно, dV=dSdN, где dN — толщина

Рис. 72 слоя в рассматриваемом месте. Если ρ — объемная плотность электричества в слое, то заряд элемента объема dV будет dq=ρdSdN. Если dN0, а общий заряд эллипсоидального слоя сохраняется неизменным, то получается поверхностное распределение электричества с поверхностной плотностью
σ=dqdS=ρdN

Проведем в рассматриваемом месте эллипсоидальной поверхности касательную плоскость AB и опустим на нее перпендикуляр OA, длину которого обозначим через N. При неизменном направлении перпендикуляра OA объемы подобных и подобно расположенных эллипсоидов, очевидно, пропорциональны N3. Если V объем эллипсоида, то VN3, а потому
ΔVV=3dNN,

где ΔV — объем эллипсоидального слоя. Исключив dN и воспользовавшись соотношением q=ρΔV, получим
σ=qN3V.

Пусть уравнение поверхности эллипсоида имеет вид
x2a2+y2b2+z2c2=1.

Тогда, как известно из аналитической геометрии,
N=(x2a4+y2b4+z2c4)1/2.

Кроме того, V=(4π/3)abc. Поэтому формула (25.1) переходит в
σ=q4πabc(x2a4+y2b4+z2c4)1/2.

Из рассуждений настоящего параграфа непосредственно следует, что равновесное распределение электричества на поверхности проводящего эллипсоида остается равновесным при любом равномерном растяжении или сәатии его. Пользуясь этим, можно было бы найти равновесное распределение электричества по поверхности эллипсоида путем равномерного растяжения или сжатия заряженного проводящего шара. Такой путь является наиболее коротким. Разумеется, он также приводит к формуле (25.3).

Зная распределение электричества по поверхности эллипсоида, можно путем интегрирования по этой поверхности найти потенциал, а затем и напряженность электрического поля в любой точке пространства. Такой путь, однако, приводит к громоздким вычислениям. Значительно проще другой, искусственный прием (см. задачи 3 и 4 к этому параграфу).
ЗАДАЧИ
1. Найти поверхностную плотность электричества на бесконечно тонкой проводящей эллиптической пластинке, получающейся равномерным сжатием трехосного эллипсоида в направлении оси Z.

Решение. Пренебрегая в (25.3) первыми двумя членами в скобках, а затем воспользовавшись формулой (25.2), получаем
σ=q4πab(z2c2)1/2=q4πab(1x2a2y2b2)1/2.
2. Заряженный проводящий эллипсоид мысленно разделен на части равноотстоящими плоскостями, перпендикулярными к одной из его главных осей. Показать, что, каково бы ни было число таких частей, величины их зарядов будут всегда одинаковы. В частности, если эллипсоид является вытянутым и бесконечно тонким, то электричество распределится по его длине равномерно.
3. Найти условие, при выполнении которого поверхности семейства λ(x,y,z)= const могут быть эквипотенциальными.

Решение. По условию потенциал φ постоянен, если постоянна функция λ. Значит, он должен быть функцией только λ:φ=φ(λ). Дифференцируя φ по координате x, получаем
φx=φλx,2φx2=φ(λx)2+φ2λx2.

Написав аналогичные соотношения для y и z и складывая их, найдем
Δφ=φ(gradλ)2+φΔλ.

С учетом уравнения Лапласа Δφ=0 отсюда следует
Δλ(gradλ)2=φ(λ)φ(λ).

Таким образом, чтобы уравнение λ(x,y,z)= const представляло семейство эквипотенциальных поверхностей, необходимо, чтобы левая часть последнего соотношения была функцией только λ :
ΔλΔλ(gradλ)2=Φ(λ).

Если функция Φ(λ) известна, то потенциал φ можно найти интегрированием уравнения
φ(λ)φ(λ)=Φ(λ)

что сводится к выполнению двух квадратур.
4. Найти потенциал электрического поля заряженного проводящего эллипсоида.

Решение. Пусть λ(x,y,z) — неявная функция, определяемая уравнением
x2a2+λ+y2b2+λ+z2c2+λ=1
(abc>0). Уравнение λ(x,y,z)= const представляет семейство софокусных поверхностей второго порядка. При c2+λ>0 это есть семейство эллипсоидов; при b2+λ>0,c2+λ<0 — однополостных гиперболоидов; при a2+λ>0,b2+λ<0,c2+λ<0 — двухполостных гиперболоидов. Во всех случаях уравнение λ(x,y,z)= const может быть семейством эквипотенциальных поверхностей. Для доказательства достаточно убедиться, что выполняется условие (25.5). Введем обозначение
Fn=x2(a2+λ)n+y2(b2+λ)n+z2(c2+λ)n.

Тогда дифференцированием (25.7) по x получим
2xa2+λF2λx=0,

откуда
λx=2x(a2+λ)F2.

Вторичное дифференцирование дает
2λx2=2(a2+λ)F22x(a2+λ)2F2λx2x(a2+λ)F22[2x(a2+λ)22F3λx]==2(a2+λ)F28x2(a2+λ)3F22+8F3x2(a2+λ)2F23.

Написав аналогичные выражения для производных по y и z и складывая их, находим
(gradλ)2=4F2Δλ=2F2(1a2+λ+1b2+λ+1c2+λ).

Следовательно, условие (25.5) выполняется, причем
Φ(λ)=12(1a2+λ+1b2+λ+1c2+λ).

Задача свелась к интегрированию уравнения
φ(λ)φ(λ)=12(1a2+λ+1b2+λ+1c2+λ).

Допустим теперь, что все знаменатели в правой части уравнения (25.9) положительны. Тогда эквипотенциальными поверхностями (25.7) будут софокусные эллипсоиды. При λ=0 получается эллипсоид (25.2). Таким образом, если потенциал φ(x,y,z) найти из уравнения (25.9), то на поверхности эллипсоида (25.2) он обратится в постоянную и, следовательно, будет давать решение рассматриваемой задачи. Интегрируя уравнение (25.9), получаем
φ(λ)=A[(a2+λ)(b2+λ)(c2+λ)]1/2,

где A — постоянная интегрирования. Интегрируя вторично и принимая за нуль потенциал бесконечно удаленной точки, находим
φ(λ)=Aλ[(a2+λ)(b2+λ)(c2+λ)]1/2dλ.

Постоянная A определится из условия, что на больших расстояниях функция φ должна переходить в потенциал точечного заряда φ=q/r. При больших λ эллипсоид (25.7) переходит в шар радиуса r=λ, а предыдущий интеграл — в
φ(λ)=Aλλ3/2dλ=2Aλ1/2=2Ar.

Значит,
φ=q2λ[(a2+λ)(b2+λ)(c2+λ)]1/2dλ.

Входящий сюда интеграл является эллиптическим. Если эллипсоид является эллипсоидом вращения, то интегрирование выполняется в элементарных функциях. Для вытянутого эллипсоида вращения ( b=c )
φ=qa2b2lnb2+λa2+λa2b2.

Введем обозначения: A=a2+λ,f=a2b2. Величина 2A есть большая осъ эквипотенциального эллипсоида, проходящего через точку наблюдения, a 2f — расстояние между фокусами рассматриваемого семейства софокусных эллипсоидов. Выражение (25.11) можно преобразовать к виду
φ=q2flnA+fAf.

Для сплюснутого эллипсоида вращения ( a=b )
φ=qa2c2arctga2c2λ+c2.

Введем длину малой оси эквипотенциального эллипсоида, проходящего через точку наблюдения: 2B=2c2+λ, а также расстояние между фокусами

2f=2a2c2. Тогда
φ=qfarctgfB.
5. Бесконечно тонкая диэлектрическая палочка равномерно заряжена электричеством с постоянной линейной плотностью. Показать, что эквипотенциальными поверхностями поля такой палочки будут софокусные эллипсоиды, фокусы которых находятся на ее концах.
6. Бесконечно тонкая круглая диэлектрическая пластинка радиуса a заряжена электричеством с поверхностной плотностью
σ=q2πaa2r2,

где r — расстояние от центра пластинки. Показать, что эквипотенциальными поверхностями поля пластинки будут софокусные сплюснутые эллипсоиды вращения с фокальной линией, расположенной по окружности пластинки.

1
Оглавление
email@scask.ru