1. Максвеллом теоретически было показано, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление. Это давление есть результат воздействия магнитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полем той же волны, а иногда также воздействия электрического поля на заряды, индуцируемые в веществе тем же полем. Рассмотрим, например, бегущую плоскую электромагнитную волну в однородной среде. Если среда поглощающая, т. е. обладает проводимостью, то электрическое поле волны возбуждает в ней электрический ток с плотностью $\mathbf{j}=\lambda \mathbf{E}$. Вследствие этого на единицу объема среды действует сила $\mathbf{f}=(1 / c)[\mathbf{j B}]=(\lambda / c)[\mathbf{E B}]$, направленная в сторону распространения волны. Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны. При отсутствии поглощения $(\lambda=0) \mathbf{f}=0$, т. е. распространение электромагнитной волны в этом случае не связано ни с каким давлением на среду.
2. Для вычисления давления электромагнитных волн и уяснения его происхождения рассмотрим сначала частный случай. Пусть плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, падает на плоскую границу идеально проводящего металла (рис. 355). При отражении волна изменяет направление. При этом должно измениться на противоположное направление одного из векторов $\mathbf{E}$ или Н. Легко видеть, что это произойдет с вектором Е. Действительно, так как вторая среда идеально проводящая ( $\lambda=\infty$ ), в ней электрическое поле должно обращаться в нуль. Иначе, в силу закона Ома $\mathbf{j}=\lambda \mathbf{E}$, в среде возникли бы электрические токи с бесконечной плотностью, что физически невозможно. Так как тангенциальные составляющие элек-
Рис. 355
Рис. 356

трического поля непрерывны, то на границе раздела электрический вектор должен обращаться в нуль и в первой среде. Но поле в первой среде складывается из поля $\mathbf{E}$ падающей и поля $\mathbf{E}_{r}$ отраженной волн. Поэтому на границе должно быть $\mathbf{E}+\mathbf{E}_{r}=0$, т. е. $\mathbf{E}_{r}=-\mathbf{E}$, что и требовалось доказать. Напротив, на той же границе магнитный вектор отраженной волны будет $\mathbf{H}_{r}=\mathbf{H}$, а результирующее магнитное поле в первой среде $\mathbf{H}+\mathbf{H}_{r}=2 \mathbf{H}$. Таким образом, магнитный вектор при переходе через границу раздела претерпевает скачок, равный $2 \mathbf{H}$. Это означает, что по поверхности металла в направлении электрического вектора $\mathbf{E}$ течет поверхностный ток с линейной плотностью і (рис. 356). Величина этой плотности найдется по теореме о циркуляции, если применить последнюю к контуру $M N N^{\prime} M^{\prime}$. Это дает $2 H=4 \pi i / c$, откуда $i=c H / 2 \pi$.

При вычислении силы, действующей на элементарную площадку $d S$ поверхности тела с током $i d S$, надо соблюдать осторожность. Дело в том, что эта сила определяется магнитным полем $\mathbf{H}_{\text {внеш, }}$, внешним по отношению $\kappa$ самому току i $d S$. Внешнее поле на поверхности площадки $d S$, очевидно, одинаково по обе ее стороны; оно непрерывно. Собственное же магнитное поле тока і $d S$ претерпевает разрыв. Если со стороны вакуума его обозначить через $\mathbf{H}_{\text {соб }}$, то со стороны металла, ввиду симметрии, оно будет $-\mathbf{H}_{\text {соб }}$. Применение теоремы о циркуляции к контуру $M N N^{\prime} M^{\prime}$ дает $H_{\text {соб }}=2 \pi i / c=H$. Вычитая это значение из полного поля $2 H$ вне металла, получим $\mathbf{H}_{\text {внеш }}=\mathbf{H}$. (Тот же результат можно получить из условия, что внутри металла внешнее поле должно уничтожать собственное поле.) Сила, действующая со стороны внешнего поля на ток $\mathbf{i} d S$, направлена внутрь металла, т. е. это есть сила давления. Давление на единицу поверхности металла будет
\[
\mathscr{P}=\frac{1}{c} \overline{i H}_{\text {внеш }}=\frac{1}{2} \overline{H^{2}},
\]

где черта означает усреднение по времени. Ввиду равенства $E=H$ можно также написать
\[
\mathscr{P}=\frac{1}{2 \pi} \overline{E H}=\frac{1}{4 \pi}\left(\overline{E^{2}}+\overline{H^{2}}\right)=2 \bar{w},
\]

где $\bar{w}-$ средняя плотность электромагнитной энергии падающей волны. Таким образом, при нормальном падении электромагнитной волны на идеально отражающую поверхность металла металл испытывает давление, равное удвоенной средней плотности энергии падающей волнын.
3. Совершенно так же может быть разобран случай наклонного падения волны. Вычисления здесь будут несколько сложнее. Появится разрыв не только тангенциальных составляющих магнитного поля, но и нормальных составляющих электрического поля. Последний разрыв означает, что на поверхности металла возникнут электрические заряды, и надо принимать во внимание силы, действующие на эти заряды со стороны электрического поля. Таким образом, давление электромагнитной волны в этом случае имеет двойное происхождение. Оно складывается из «магнитной силы», с которой магнитное поле действует на поверхностные токи металла, и из «электрической силы», с которой на поверхностные заряды того же металла действует электрическое поле. Мы не будем производить эти вычисления, а воспользуемся более общим подходом к вопросу о давлении электромагнитных волн.
4. Будем предполагать опять, что волна падает нормально на поверхность идеального металла. Допустим, что поле волны заполняет цилиндр высотой $c$ с площадью основания, равной единице. Ось цилиндра совпадает с направлением распространения волны. Такая волна будет падать на металл в течение секунды. Поскольку она оказывает давление $\mathscr{P}$ на поверхность металла, последний за это время приобретет импульс $\mathbf{I}_{\text {вещ }}=\mathscr{P}=\overline{E H} / 2 \pi$, или в векторной форме $I_{\text {вещ }}=\overline{[\mathbf{E H}]} / 2 \pi$. В замкнутой системе, состоящей из металла и электромагнитного поля, получилось бы нарушение закона сохранения импульса, если бы импульсом обладало только вещество. Импульс указанной системы может сохраняться только при условии, что электромагнитная волна также обладает импульсом: металл приобретает импульс за счет импульса, передаваемого ему электромагнитной волной. Для вычисления импульса падающей электромагнитной волны $\mathbf{I}_{\text {эл }}$ замечаем, что при отражении ее импульс не меняется по модулю, но меняет направление на противоположное, т. е. изменение электромагнитного импульса в этом процессе равно $\Delta \mathbf{I}_{\text {эл }}=-\mathbf{I}_{э л}-\left(+\mathbf{I}_{э л}\right)=-2 I_{\text {эл}}$, тогда как для вещества $\Delta \mathbf{I}_{\text {вещ }}=\mathbf{I}_{\text {вещ }}$. Закон сохранения импульса требует $\Delta \mathbf{I}_{э л}+$ $+\Delta \mathbf{I}_{\text {вещ }}=0$, откуда $\mathbf{I}_{\text {эл }}=\mathbf{I}_{\text {вещ }} / 2=\overline{[\mathbf{E H}]} / 4 \pi$. Разделив это выражение на длину $c$ цилиндра, получим средний электромагнитный импульс единицы объема, т. е. среднюю плотность электромагнитного импульса
\[
\overline{\mathbf{g}}_{\text {эл }}=\frac{1}{4 \pi c} \overline{[\mathbf{E H}]}=\frac{1}{c^{2}} \overline{\mathbf{S}},
\]

где $\mathbf{S}$ — вектор Пойнтинга. При выводе предполагалось, что волна падает нормально на поверхность металла. Однако это обстоятельство не может отразиться на окончательном результате (145.3), так как плотность импульса $\mathbf{g}_{\text {эл }}$ есть характеристика только самой электромагнитной волны и не может зависеть от тел, с которыми она взаимодействует. Полученные результаты согласуются с тем, что было сказано об электромагнитном количестве движения в $\S 84$.
5. Покажем на примере, как следует пользоваться формулой (145.3) для вычисления сил, с которыми излучение действует на тело. Пусть электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении единичной нормали $\mathbf{N}$, частично отражается в направлении нормали $\mathbf{N}^{\prime}$, а частично проходит во вторую среду и там поглощается (рис. 357). Если площадь $A B$, на которую падает волна, равна единице, а угол падения $\varphi$, то поперечные сечения падающего и отраженного пучков будут равны $\cos \varphi$ каждый. Возьмем длины пучков равными $c$. Тогда импульс, передаваемый излучением телу в одну секунду, будет $\mathbf{I}=\cos \varphi(\bar{w} \mathbf{N}-$ — $\left.\bar{w}^{\prime} \mathbf{N}^{\prime}\right)=\bar{w} \cos \varphi\left(\mathbf{N}-\rho \mathbf{N}^{\prime}\right)$, где $\bar{w}$ Рис. 357 и $\bar{w}^{\prime}$ — средние плотности энергии падающей и отраженной волн, а $\rho-\kappa о э ф ф и u и-~$ ент отражения. Излучение действует на единичную площадку $A B$ на границе тела с силой $\mathbf{f}=\mathbf{I}$. Проецируя ее на нормаль и к поверхности тела, находим давление излучения
\[
\mathscr{P}=\bar{w} \cos ^{2} \varphi(1+\rho),
\]

а проецируя на ось $X$ — среднюю касательную силу, действующую на площадку $A B$ :
\[
\tau=\bar{w} \sin \varphi \cos \varphi(1-\rho) .
\]

При $\rho=1$ и при нормальном падении получаем прежний результат $\mathscr{P}=2 \bar{w}$. Если же среда полностью поглощает падающее излучение $(\rho=0)$, то $\mathscr{P}=\bar{w}$, т. е. в этом случае давление вдвое меньше.

6. Чтобы составить представление о давлении излучения, рассчитаем его для солнечного излучения вблизи земной поверхности. Как показали измерения, средняя плотность потока энергии в этом случае $\bar{S}=2$ кал $/\left(\mathrm{cm}^{2} \cdot\right.$ мин $)=1,4 \cdot 10^{3} \mathrm{~B} / \mathrm{m}^{2}$. Для давления излучения на полностью поглощающую поверхность, перпендикулярную к излучению, находим $\mathscr{P}=\bar{S} / c=4,7 \cdot 10^{-6}$ Па, а на полностью отражающую $9,4 \cdot 10^{-6}$ Па. Несмотря на ничтожные значения этих величин, экспериментальное доказательство существования давления электромагнитных волн было впервые получено на волнах света в классических опытах П.Н.Лебедева. Лебедев в 1900 г. доказал существование светового давления на твердые тела, а в 1910 г. — и на газы. Результаты этих опытов оказались в согласии с электромагнитной теорией света. Впрочем, давление излучения не всегда столь мало. Если с помощью линзы сфокусировать на поверхности монеты пучок света от лазера, то световое давление пробивает монету, оставляя в ней маленькую дырочку (диаметром в несколько десятых миллиметра). Давление излучения громадно внутри горячих звезд и играет существенную роль при их взрывах. Когда температура в звезде достигает $10^{8}$ кэВ (такие температуры достигаются также при взрывах атомных и водородных бомб), давление излучения становится того же порядка, что и давление плазмы, из которой состоит звезда.