1. Неподвижный точечный заряд $q$ возбуждает в вакууме электрическое поле $\mathbf{E}=\frac{Q}{r^{3}} \mathbf{r}$. Пусть в этом поле перемещается другой точечный заряд $q$, переходя из начального положения 1 в конечное положение 2 вдоль произвольной кривой 12 (рис. 53). Работа, совершаемая силами поля при таком перемещении, выражается криволинейным интегралом
\[
A_{12}=\int_{12} q(\mathbf{E} d \mathbf{r})=q Q \int_{12} \frac{\mathbf{r} d \mathbf{r}}{r^{3}} .
\]

Но $\mathbf{r} d \mathbf{r}=r d r$, в чем легко убедиться, дифференцируя тождество $\mathbf{r}^{2}=r^{2}$. Поэтому криволинейный интеграл сводится к определенному:
\[
A_{12}=q Q \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{d r}{r^{2}}=q Q\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right) .
\]

Рис. 53
Таким образом, при любом выборе начальной и конечной точек 1 и 2 работа $A_{12}$ не зависит от формы пути, а определяется только положениями этих точек. Силовые поля, удовлетворяющие такому условию, называются потенциальными или консервативными (см. т. I, § 24). Следовательно, электростатическое поле точечного заряда есть поле потенциальное.

Доказанное справедливо для электрического поля любой системы неподвижных точечных зарядов. Это непосредственно следует из принципа суперпозиции электрических полей и из известной теоремы механики, согласно которой работа результирующей силы равна сумме работ составляющих сил.

В общем случае любую систему зарядов можно мысленно разделить на достаточно малые части, каждая из которых может рассматриваться как точечный заряд. В число таких зарядов должны быть включены и индукционные заряды на проводниках и диэлектриках. Поэтому всякое электростатическое поле, независимо от того, создается оно в вакууме или в веществе, является полем потенциальным. Это было бы очевидно для микрополя $\mathbf{E}_{\text {микро }}$, если бы возбуждающие его заряды были неподвижны. Макроскопическое поле $\mathbf{E}_{\text {макро }}$ было бы также потенциально, так как оно получается из потенциального поля $\mathbf{E}_{\text {микро }}$ путем его усреднения. Однако электроны и атомные ядра движутся, а электрические микрополя не потенциальны. Поэтому уравнения макроскопической электростатики в общем случае нельзя получить из уравнений электростатики для микрополей. Нужны уравнения микрополей для движущихся зарядов. Таковыми являются уравнения электронной теории Лоренца. Но мы не будем обосновывать электростатику с помощью уравнений электронной теории Лоренца. В конце концов, макроскопические уравнения Максвелла устанавливаются постулативно. А из этих уравнений, как будет видно из дальнейшего, непосредственно следует, что электростатическое макрополе потенциально.
2. Допустим, что в электростатическом поле заряд переносится из точки 1 в точку 2 сначала по пути 132, а затем по пути 142 (рис. 54).
Рис. 54 В обоих случаях работы сил поля одинаковы: $A_{132}=A_{142}$. Если заряд переносится по замкнутому пути 13241 , то на участке 241 работа изменит знак: $A_{241}=-A_{142}$, а потому $A_{132}+A_{241}=A_{13241}=0$. Значит, при перемещении заряда по любому замкнутому пути работа в электростатическом поле равна нулю. Если перемещаемый заряд единичный, то работа сводится к криволинейному интегралу $\oint \mathbf{E} d \mathbf{s}$. Такой интеграл называется циркуляцией вектора $\mathbf{E}$ по соответствующему замкнутому контуру. Таким образом, для любого замкнутого контура
\[
\oint \mathbf{E} d \mathbf{s}=0 .
\]

Это приводит к другому определению потенциальности поля, эквивалентному данному выше. Векторное поле $\mathbf{E}$ называется потенциальным, если циркуляция вектора $\mathbf{E}$ по любому замкнутому контуру равна нулю.

Уравнение (17.2) есть второе из фундаментальных уравнений электростатики, о которых говорилось в § 15.

3. Из уравнения (17.2) следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. Для доказательства допустим противное. Пусть силовая линия замкнута. Возьмем ее в качестве контура интегрирования $C$. При обходе этого контура в положительном направлении силовой линии подынтегральное выражение в интеграле $\oint \mathbf{E} d \mathbf{s}$, а с ним и самый интеграл существенно положительны. Это противоречит уравнению (17.2), что и доказывает наше утверждение.

Невозможны также квазизамкнутые линии потенциального поля. Так мы называем силовые линии, обладающие следующим свойством. Силовая линия, выйдя из любой точки $A$, извивается и возвращается в сколь угодно малую окрестность той же точки, никогда, однако, не проходя точно через $A$. Для доказательства опять предположим противное. Пусть $A$ и $B$ – бесконечно близкие точки, через которые проходит силовая линия. Замкнем ее бесконечно малым отрезком, соединяющим эти точки. Так как интеграл $\int \mathbf{E} d \mathbf{s}$ вдоль этого отрезка также бесконечно мал, то для циркуляции $\oint \mathbf{E} d \mathbf{s}$ вдоль образовавшегося замкнутого контура получилась бы величина, отличная от нуля. А это невозможно.
4. С помощью формулы (17.2) можно строго доказать граничное условие (14.5) для вектора Е. Пусть $A B C D$ – бесконечно малый прямоугольный контур, стороны которого $A D$ и $B C$ проходят по разные стороны границы раздела двух сред (рис. 55). Применим к нему формулу (17.2). Боковые стороны $A B$ и $C D$ возьмем бесконечно короткими по сравнению с $A D$ и $B C$. Тогда можно прене-

Рис. 55 бречь вкладом в циркуляцию, вносимым этими сторонами, и написать
\[
\oint_{A B C D} \mathbf{E} d \mathbf{s}=\left(E_{2 t}-E_{1 t}\right) l,
\]

где $l$ – длина стороны $B C$ или равной ей стороны $A D$. Из обращения в нуль этой циркуляции получаем
\[
E_{1 t}=E_{2 t} .
\]