1. В предыдущем параграфе работу по электризации диэлектрика и его электрическую энергию мы выразили через заряды и потенциалы наэлектризованных тел. Но те же величины (работу и энергию) можно выразить через векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$, что более адекватно соответствует духу теории поля.

Начнем с вычисления элементарной работы $\delta^{*} A^{\text {внеш }}$, которую производят внешние силы при квазистатическом процессе электризации диэлектрика. При этом мы будем предполагать, что во время электризации объем диэлектрика остается неизменным, а сам диэлектрик неподвижным. Это освобождает нас от необходимости учета работы упругих и вязких сил. Вся работа внешних сил затрачивается на отделение положительного электричества от отрицательного, и эта работа в конечном результате приводит к определенному распределению электричества в пространстве.

Возьмем в изотропном диэлектрике две бесконечно малые плоские площадки $A B$ и $C D$, перпендикулярные к электрическому полю $E$ (рис. 83). Расстояние между ними $l$ предполагается бесконечно малым высшего порядка по сравнению с их линейными размерами. При этом условии площадки $A B$ и $C D$ могут рассматриваться как бесконечные плоскости, и краевые эффекты на них можно не учитывать. Пусть внешние силы, направленные против поля $\mathbf{E}$, переносят с площадки $A B$ на площадку $C D$ электрический заряд $\delta q=S \delta \sigma$, где $S$ – площадь одной площадки, а $\delta \sigma$ – приращение поверхностной плотности электричества на площадке $C D$. Работа внешних сил против поля $E$ при таком переносе равна
\[
\delta^{*} A^{\text {внеш }}=\delta q E l=S l E \delta \sigma=V E \delta \sigma,
\]

где $V$ – бесконечно малый объем между $A B$ и $C D$. В результате такого переноса, как это следует из теоремы Гаусса, электрическое поле изменяется только между площадками, а вне их всюду остается неизменным. Длина вектора $\mathbf{D}$ между площадками изменяется на величину $d D=4 \pi \delta \sigma$, так что для $\delta^{*} A^{\text {внеш }}$ получается
\[
\delta^{*} A^{\text {внеш }}=\frac{1}{4 \pi} E d D .
\]

При выводе этой формулы было использовано предположение об одинаковой направленности векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$, что в общем случае имеет место только для изотропных сред. В анизотропных диэлектриках (кристаллах) направления векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$, вообще говоря, различны. Но легко видеть, что в этом случае роль величины $D$ играет проекция вектора $\mathbf{D}$ на направление поля $\mathbf{E}$. Поэтому формула (29.1) обобщается и принимает вид
\[
\delta^{*} A^{\text {внеш }}=\frac{1}{4 \pi} \mathbf{E} d \mathbf{D} .
\]
2. Формула (29.2) справедлива для бесконечно малого объема $V$ любой формы. Для доказательства достаточно разбить произвольный объем $V$ бесконечно близкими параллельными плоскостями, заменить поверхность, ограничивающую объем $V$ ступенчатой поверхностью, как это изображено на рис. 83 , а затем перейти к пределу, неограниченно уменьшая расстояние между соседними плоскостями. Для каждого объемчика между такими плоскостями справедлива формула (29.2). Суммируя выражение (29.2) по всем объемчикам, мы получим выражение того же типа, в котором, однако, под $V$ следует понимать уже полный объем выделенной бесконечно малой части диэлектрика. Существенно, что при указанном способе переноса зарядов, как это следует из теоремы Гаусса, электрическое поле меняется только внутри объема $V$, но остается неизменным вне этого объема.

Заметим еще, что заряды, переносимые с одной плоскости на другую, соседнюю, не обязательно должны быть одинаковы. Если они различны, то, вообще говоря, на рассматриваемых плоскостях будет происходить накопление (или убыль) электричества. При переходе к пределу, когда расстояние между соседними плоскостями беспредельно уменьшается, поверхностное распределение электричества на плоскостях перейдет в объемное. Отсюда следует, что формула (29.2) справедлива не только при отсутствии, но и при наличии в диэлектрике объемных зарядов. Впрочем, это и так очевидно, так как при выводе этой формулы никаких ограничений на распределение электричества по объему пространства не накладывалось.

Работа внешних сил, отнесенная к единице объема, найдется делением выражения (29.2) на $V$. Для указания на бесконечную малость этой величины мы будем пользоваться символом $\delta$, в отличие от символа $\delta^{*}$, который применялся для аналогичной работы в бесконечно малом объеме $V$. Таким образом, для работы, производимой внешними силами в единице объема неподвижного диэлектрика при бесконечно малом смещении электрических зарядов, мы получаем выражение
\[
\delta A^{\text {внеш }}=\frac{1}{4 \pi} \mathbf{E} d \mathbf{D} .
\]

Существенно отметить универсалъность формулы (29.3), т. е. ее применимость для любых диэлектриков, поскольку никакая конкретная связь между векторами $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$ при ее выводе не использовалась.
3. Допустим теперь, что кроме работы по электризации диэлектрика никаких других работ над диэлектриком не производится. При этом, как уже указывалось в предыдущем параграфе, может выделяться тепло. Но мы пока отвлечемся от этого осложняющего обстоятельства и учтем его только в следующем параграфе. Тогда формула (29.3) будет определять элементарное приращение электрической энергии в единице объема пространства $W$ :
\[
d W=\frac{1}{4 \pi} \mathbf{E} d \mathbf{D} .
\]

Если известна зависимость вектора $\mathbf{D}$ от вектора $\mathbf{E}$, то сама электрическая энергия $W$ в единице объема найдется интегрированием этого выражения по всему процессу:
\[
W=\int d W=\frac{1}{4 \pi} \int \mathbf{E} d \mathbf{D} .
\]

В частности, если $\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}$ и во время процесса электризации $\varepsilon$ остается постоянной, то
\[
W=\frac{\varepsilon}{4 \pi} \int \mathbf{E} d \mathbf{E}=\frac{\varepsilon}{8 \pi} \mathbf{E}^{2}=\frac{1}{8 \pi} \mathbf{E D} .
\]

Если при этом $\varepsilon$ не зависит от температуры, то эта формула определяет внутреннюю электрическую энергию. Если же $\varepsilon$ зависит от температуры, то при выводе формулы (29.6) надо предполагать, что температура диэлектрика постоянна. В этом случае формулой (29.6) определяется свободная электрическая энергия в единице объема. Все это находится в соответствии с тем, что было сказано по поводу формулы (28.5) в п. 4 предыдущего параграфа.
4. Аналогичное вычисление энергии можно провести и для кристаллов. В этом случае вместо скаляра $\varepsilon$ надо пользоваться тензором диэлектрической проницаемости $\varepsilon_{i j}$ : зависимость между компонентами векторов $\mathbf{D}$ и $\mathbf{E}$ определяется формулой (15.5). При этом надо воспользоваться симметрией тензора $\varepsilon_{i j}$, т. е. соотношением $\varepsilon_{i j}=\varepsilon_{j i}(i, j=$ $=x, y, z)$. Об этой симметрии упоминалось в § 15 без доказательства. Приведем теперь это доказательство.

В кристаллах выражение (29.4) определяет дифференциал внутренней электрической энергии (когда тензор $\varepsilon_{i j}$ не зависит от температуры) в единице объема. Когда $\varepsilon_{i j}$ является функцией температуры, то то же выражение есть дифференциал свободной электрической энергии. Какой из этих двух случаев осуществляется – безразлично. Существенно только то, что величина $W$ является функцией состояния, а следовательно, дифференциал $d W$ – полным дифференциалом. Для него можно написать
\[
4 \pi d W=\mathbf{E} d \mathbf{D}=\sum_{i} E_{i} d D_{i}=\sum_{i} E_{i} d \sum_{j} \varepsilon_{i j} E_{j}=\sum_{i} \sum_{j} \varepsilon_{i j} E_{i} d E_{j} .
\]

Чтобы это выражение было полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы
\[
\frac{\partial\left(\varepsilon_{i j} E_{i}\right)}{\partial E_{i}}=\frac{\partial\left(\varepsilon_{j i} E_{j}\right)}{\partial E_{j}} .
\]

Так как тензор $\varepsilon_{i j}$ не зависит от напряженности поля, то отсюда получается
\[
\varepsilon_{i j}=\varepsilon_{j i} .
\]

Распространим теперь формулу (29.6) на случай кристаллических сред. Для этого следует проинтегрировать выражение (29.4). Прежде всего заметим, что значение суммы не зависит от того, какими буквами обозначены индексы суммирования. Пользуясь этим, в выражении (29.7) заменим индекс $i$ на $j$, а индекс $j$ – на $i$ :
\[
4 \pi d W=\sum_{j} \sum_{i} \varepsilon_{i j} E_{j} d E_{i},
\]

или в силу (29.8)
\[
4 \pi d W=\sum_{j} \sum_{i} \varepsilon_{i j} E_{j} d E_{i}=\sum_{i} \sum_{j} \varepsilon_{i j} E_{j} d E_{i} .
\]

Сложив это с (29.7), получим
\[
8 \pi d W=\sum_{i} \sum_{j} \varepsilon_{i j}\left(E_{i} d E_{j}+E_{j} d E_{i}\right)=\sum_{i} \sum_{j} \varepsilon_{i j} d\left(E_{i} E_{j}\right) .
\]

Ввиду независимости тензора $\varepsilon_{i j}$ от напряженности поля, интегрирование легко выполняется и дает
\[
W=\frac{1}{8 \pi} \sum_{i} \sum_{j} \varepsilon_{i j} d E_{j}=\frac{1}{8 \pi} \sum_{i} E_{i} D_{i}=\frac{1}{8 \pi}(\mathbf{E D}) .
\]

Таким образом, и для кристаллов мы приходим к прежней формуле $(29.6)$.
5. Полная электрическая энергия (внутренняя или свободная) выражается формулой
\[
W=\frac{1}{8 \pi} \int \mathbf{E D} d V=\frac{1}{8 \pi} \int \varepsilon \mathbf{E}^{2} d V=\frac{1}{8 \pi} \int \frac{\mathbf{D}^{2}}{\varepsilon} d V,
\]

где интегрирование распространяется по всему бесконечному пространству. Для той же величины ранее была получена формула (28.5). С чисто математической точки зрения формулы (28.5) и (28.9) эквивалентны и отличаются одна от другой только по форме.

Однако за формальным различием этих формул стоит и различие в физической интерпретации электрической энергии. Уравнение (29.9) выражает электрическую энергию в виде предела бесконечного множества слагаемых, каждое из которых равно $(\varepsilon / 8 \pi) \mathbf{E}^{2} d V$ и относится к определенному элементу объема $d V$. Это можно понимать в том смысле, что носителем электрической энергии является электрическое поле, причем энергия поля локализована в пространстве так, что в каждой единице объема содержится энергия $W$, определяемая формулой (29.8), в которой $\mathbf{E}$ означает напряженность электрического поля в данном элементе объема. Величина $W$ называется объемной плотностъю электрической энергии. Напротив, выражение (28.5) может быть формально истолковано как потенциалъная энергия взаимодействия электрических зарядов, и притом взаимодействия на расстоянии. Такое истолкование исключает представление о локализации энергии в определенных участках пространства. В нем акцент ставится на электрические заряды, в частности на заряды проводников, находящихся в диэлектрике. При первой же интерпретации центр тяжести переносится в диэлектрики, окружающие эти проводники. Внутри проводников $\mathbf{E}=0$, и в них совсем не локализована электрическая энергия. Она целиком локализована в диэлектриках.

Какому же из этих двух представлений об электрической энергии следует отдать предпочтение? В рамках электростатики принципиально невозможно указать ни одного опыта, который позволил бы сделать выбор между ними. Дело в том, что в электростатике электрическое поле неотделимо от зарядов, являющихся его источниками. Величиной и расположением зарядов однозначно определяется электростатическое поле. Обратно, заданием поля во всем пространстве также однозначно определяется плотность электрических зарядов. Не так обстоит дело в случае переменных полей. Переменные электромагнитные поля могут существовать самостоятельно, независимо от возбудивших их электрических зарядов. Заряды могут нейтрализоваться, а поле, которое они возбудили, может продолжать существовать в виде электромагнитных волн, которым присущ определенный запас энергии. Эта энергия не может быть представлена как потенциальная энергия зарядов, взаимодействующих на расстоянии, поскольку самих зарядов уже нет. Формула (28.5) теряет смысл. Но формула (29.9), а также выражения (29.6) сохраняют смысл и для переменных электромагнитных полей.

Представляют ли они в этом случае электрическую энергию и ее плотность – этот вопрос требует особого исследования. Во всяком случае нельзя выдвинуть каких-либо возражений против возможности представления электромагнитной энергии через напряженности электрического и магнитного полей. Сомнения могут относиться только к конкретным формулам, с помощью которых производится такое представление. Следовательно, если электростатику рассматривать как предельный случай электродинамики, то даже в электростатике следует отдать предпочтение теории поля с ее представлением о локализации электрической энергии в пространстве.
6. Заметим в заключение, что математическая эквивалентность выражений (28.5) и (29.9) для статических полей может быть использована для доказательства единственности решения электростатической задачи, сформулированной в п. 1 § 22. Действительно, предположим, что задача допускает несколько решений. Возьмем два из них: 1) $\mathbf{E}_{1}=$ $\left.=-\operatorname{grad} \varphi_{i}, \mathbf{D}_{1}=\varepsilon \mathbf{E}_{1} ; 2\right) \mathbf{E}_{2}=-\operatorname{grad} \varphi_{2}, \mathbf{D}_{2}=\varepsilon \mathbf{E}_{2}$. Оба решения могут отличаться значениями плотности связанных электрических зарядов. Но плотности свободных электрических зарядов $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ должны быть одинаковы, так как они заданы. Если во втором решении изменить знаки всех свободных и поляризационных зарядов, то очевидно возникшее при этом поле будет равно $\mathbf{E}_{2}^{\prime}=-\mathbf{E}_{2}$, так как свободными и поляризационными зарядами электростатическое поле определяется однозначно. В силу принципа суперпозиции вектор
\[
\mathbf{E} \equiv \mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}^{\prime}=\mathbf{E}_{1}-\mathbf{E}_{2}
\]

будет представлять также какое-то электростатическое поле. Этому полю соответствует объемная плотность свободных зарядов $\rho=\rho_{1}-\rho_{2}$ и потенциал $\varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}$. Потенциал $\varphi$ не может обращаться в тождественный нуль, так как по нашему предположению соответствующее поле $\mathbf{E}$ во всех точках пространства не обращается в нуль. Ввиду эквивалентности формул (28.5) и (29.9) можно написать
\[
\int \frac{\varepsilon \mathbf{E}^{2}}{8 \pi} d V=\frac{1}{2} \int \varphi \rho d V+\frac{1}{2} \int \varphi \sigma d S .
\]

Первый интеграл в правой части равен нулю, так как $\rho=0$. Поверхностный интеграл достаточно взять только по поверхностям проводников, так как на всякой поверхности, проходящей в диэлектрике, $\sigma \equiv \sigma_{1}-\sigma_{2}=0$. Поскольку потенциал каждого проводника $\varphi^{(i)}$ постоянен, поверхностный интеграл можно представить в виде
\[
\int \varphi \sigma d S=\sum_{i} \varphi_{i} \oint_{S^{(i)}} \sigma d S=\sum_{i} \varphi^{(i)} q^{(i)},
\]

где $q_{i}=q_{1}^{(i)}-q_{2}^{(i)}-$ полный заряд $i$-то проводника. Если задан потенциал $i$-го проводника, то $\varphi^{(i)}=0$, а если задан заряд, то $q^{(i)}=0$. В обоих случаях $\varphi^{(i)} q^{(i)}=0$. Таким образом,
\[
\int \frac{\varepsilon \mathbf{E}^{2}}{8 \pi} d V=0 .
\]

Ввиду положительности $\varepsilon$ отсюда следует, что $\mathbf{E}^{2}=0$. Следовательно, $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}-\mathbf{E}_{2}=0$, т. е. введенное нами предположение неверно. Это и доказывает единственность решения электростатической задачи.
ЗАДАЧИ
1. Вычислить электрическую энергию шара радиуса $a$, заряд которого $q$ равномерно распределен по его поверхности.
Ответ. $W=q^{2} /(2 a)$.
2. То же для шара, заряд которого равномерно распределен по его объему. Ответ. $W=3 q^{2} /(5 a)$.
3. Доказать математическую эквивалентность выражений (28.5) и (29.9), используя математическую теорему Гаусса-Остроградского.

Решение. Не нарушая общности, можно сначала считать, что поверхностных зарядов нет. Тогда векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$ можно дифференцировать. Подставляя в формулу $(29.9) \mathbf{E}=-\operatorname{grad} \varphi$ и воспользовавшись тождеством $\operatorname{div}(\varphi \mathbf{D})=\varphi \operatorname{div} \mathbf{D}+\mathbf{D} \operatorname{grad} \varphi$, а также соотношением (13.5), получим
\[
W=-\frac{1}{8 \pi} \int \operatorname{div}(\varphi \mathbf{D}) d V+\frac{1}{2} \int \varphi \rho d V,
\]

где интегрирование производится по всему бесконечному пространству. Первый интеграл в правой части этого равенства равен нулю. Действительно, предполагая, что все заряды находятся в конечной области пространства, окружим ее сферой $S$ большого радиуса $r$ и воспользуемся формулой ГауссаОстроградского
\[
\int_{V} \operatorname{div}(\varphi \mathbf{D}) d V=\oint_{S} \varphi(\mathbf{D} d \mathbf{S}),
\]

где $V$ означает объем, ограниченный сферой $S$. Асимптотически при $r \rightarrow \infty$ вектор $\mathbf{D}$ на сфере $S$ меняется с радиусом $r$ так же, как в случае точечного заряда, т. е. пропорционально $1 / r^{2}$, а потенциал убывает пропорционально $1 / r$. Следовательно, $\varphi \mathbf{D}$ будет убывать асимптотически как $1 / r^{3}$. Поверхность же $S$ возрастает пропорционально $r^{2}$. Значит, поверхностный интеграл в правой части предыдущего равенства асимптотически убывает как $1 / r$ и в пределе при $r \rightarrow 0$ (т. е. при переходе к бесконечному пространству) обратится в нуль. Итак,
\[
W=\frac{1}{2} \int \varphi \rho d V .
\]

Введя элемент заряда $d q=\rho d V$, перепишем это равенство в виде
\[
W=\frac{1}{2} \int \varphi d q .
\]

После этого отпадает необходимость в специальном исследовании поверхностных зарядов. Достаточно заметить, что заряженную поверхность можно рассматривать как предельный случай тонкого слоя, заряженного по объему. K такому слою последнее выражение применимо. Разделив элементы заряда на объемные $\rho d V$ и поверхностные $\sigma d S$, получим
\[
W=\frac{1}{2} \int \varphi \rho d V+\frac{1}{2} \int \varphi \sigma d S,
\]
т. е. формулу (28.5).