1. Основные уравнения электромагнитного поля в неподвижных средах, применимые не только к постоянным, но и к переменным электромагнитным полям, были установлены Максвеллом. К уравнениям Максвелла можно прийти путем последовательного обобщения опытных фактов. Надо решить, какие из полученных ранее уравнений могут быть сохранены, какие должны быть отброшены и какие надо обобщить. Есть один руководящий принцип, который позволяет продвинуться в этом направлении. Следует исключить из числа основных такие уравнения, в основе которых лежит представление о непосредственном действии на расстоянии. К ним относятся законы Кулона, Био и Савара и пр. Эти законы несовместимы с экспериментально подтвержденным представлением о конечной скорости распространения взаимодействий, а потому не могут оставаться верными во всех случаях. Можно сохранить только такие уравнения, которые не противоречат представлениям теории поля. Так мы и поступали во всем предшествовавшем изложении. Мы выдвинули в качестве гипотезы, что теорема Гаусса (13.4), уравнение (58.1) и закон электромагнитной индукции (66.1) являются общими законами электродинамики. То обстоятельство, что они удовлетворяют требованиям теории поля, следует из того, что их можно представить в дифференциальной форме $(13.5),(58.2)$ и (66.4). К основным уравнениям электродинамики мы присоединим и закон сохранения электрического заряда. В дифференциальной форме он имеет вид
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \mathbf{j}=0
\]

Если электромагнитное поле стационарно, то это уравнение переходит в
\[
\operatorname{div} \mathbf{j}=0 .
\]
2. Теорема о циркуляции
\[
\oint_{L} \mathbf{H} d \mathbf{l}=\frac{4 \pi}{c} \mathbf{I}
\]

также может быть преобразована в дифференциальную форму:
\[
\operatorname{rot} \mathbf{H}=\frac{4 \pi}{c} \mathbf{j},
\]

а потому удовлетворяет требованиям теории поля. Однако она не может входить в число основных уравнений электродинамики. Действительно, дивергенция всякого ротора тождественно равна нулю. Поэтому, взяв дивергенцию от обеих частей уравнения (81.4), получим $\operatorname{div} \mathbf{j}=$ $=0$. Но это соотношение справедливо только для стационарных токов. В общем случае оно противоречит уравнению (81.1). Сомневаться в справедливости уравнения (81.1) нет оснований, так как оно выражает закон сохранения электрического заряда. Отсюда следует, что уравнения (81.3) и (81.4) могут быть верны только для стационарных токов. Для переменных электромагнитных полей они должны быть обобщены.

Чтобы прийти к обобщенным уравнениям, воспользуемся следующим наводящим рассуждением. Поскольку дивергенция левой части уравнения (81.4) тождественно равна нулю, в правой части этого уравнения должен стоять вектор, дивергенция которого также всегда равна нулю. В случае стационарных электромагнитных полей этот вектор должен переходить в ј. Легко указать вектор, удовлетворяющий этим условиям. Дифференцируя по времени соотношение $\operatorname{div} \mathbf{D}=4 \pi \rho$, получаем
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}-\frac{1}{4 \pi} \operatorname{div} \dot{\mathbf{D}}=0
\]

или ввиду уравнения (81.1)
\[
\operatorname{div}\left(\mathbf{j}+\frac{1}{4 \pi} \dot{\mathbf{D}}\right)=0
\]

Величину
\[
\mathbf{j}_{\mathrm{cM}}=\frac{1}{4 \pi} \dot{\mathbf{D}}
\]

Максвелл назвал током (точнее, плотностью тока) смещения, а сумму $\mathbf{j}+\mathbf{j}_{\text {см }}-$ полным током. Таким образом,
\[
\operatorname{div}\left(\mathbf{j}+\mathbf{j}_{\mathrm{cm}}\right)=0,
\]
т. е. полный ток всегда соленоидален. Поэтому противоречие с уравнением (81.1) устранится, если в уравнении (81.4) ток проводимости $\mathbf{j}$ заменить полным током, т. е. написать
\[
\operatorname{rot} \mathbf{H}=\frac{4 \pi}{c}\left(\mathbf{j}+\mathbf{j}_{\mathrm{cm}}\right) .
\]

Так и поступил Максвелл.
Приведенные рассуждения ни в какой мере не могут служить доказательством уравнения (81.8). На них следует смотреть только как на один из бесконечного множества способов устранения математического противоречия между уравнениями (81.1) и (81.4). А что таких способов бесконечно много, видно уже из того, что не возникает новых математических противоречий, если в правой части уравнения (81.8) добавить произвольный вектор, дивергенция которого равна нулю. Настоящим доказательством уравнения (81.8) могут служить только опытные факты, подтверждающие это уравнение.

3. $\mathrm{K}$ необходимости обобщения уравнений (81.3) и (81.4) можно прийти также с помощью других соображений. Приведем два примера.

Пример 1. Пусть в неограниченную однородную среду помещен металлический шар, которому сообщен электрический заряд $Q$ (рис. 188). Если среда проводящая, то появятся электрические токи, текущие в радиальных направлениях. Они будут возбуждать магнитное поле. При попытке указать его направление возникает следующая трудность. Вектор В не может иметь радиальной составляющей. Система сферически симметрична. Если бы радиальная составляющая вектора В существовала, то она была бы одной и той же во всех точках всякой сферы $S$, концентрической с поверхностью шара. Радиальная составляющая В на сфере $S$ была бы всюду направлена либо от центра, либо
Рис. 188
к центру шара. В обоих случаях поток вектора В через сферу $S$ был бы отличен от нуля, что противоречит уравнению (58.1). Следовательно, вектор В должен быть перпендикулярен к радиусу, проведенному из центра шара к рассматриваемой точке. А это также невозможно, так как все направления, перпендикулярные к радиусу, ничем не выделены – все они совершенно равноправны. Единственная возможность, допускаемая симметрией шара, состоит в том, что векторы В и Н всюду должны равняться нулю. Но в таком случае должен равняться нулю и ток $\mathbf{j}$, как это непосредственно следует из уравнения (81.4). Значит, уравнение (81.4) и эквивалентное ему уравнение (81.3) в рассматриваемом случае не могут быть верными.

Для устранения возникшего противоречия необходимо допустить, что магнитные поля возбуждаются не только токами проводимости, а еще чем-то. К току проводимости $I$ надо что-то добавить, чтобы уничтожить возбуждаемое им магнитное поле. Эта добавка и есть ток смещения. Его значение $I_{\text {см }}$ определится из условия $I+I_{\mathrm{cm}}=0$. Полный ток проводимости, текущий от заряженного шара, связан с зарядом $Q$ соотношением $I=-d Q / d t$, а потому $I_{\text {см }}=d Q / d t$. По закону Кулона $Q=r^{2} D$. Дифференцируя это выражение и разделив результат на поверхность сферы $4 \pi r^{2}$, найдем плотность тока смещения:
\[
\mathrm{j}_{\mathrm{cM}}=\frac{\dot{\mathbf{Q}}}{4 \pi r^{2}}=\frac{1}{4 \pi} \dot{\mathbf{D}} \text {. }
\]

Это выражение совпадает с (81.6).
4. Пример 2. Соединим проводом обкладки плоского заряженного конденсатора (рис. 189). По проводу потечет электрический ток. Допущение, что в этом случае применима формула (81.3), снова приводит к трудностям. Циркуляция вектора $\mathbf{H}$, стоящего в левой части уравнения (81.3), зависит только от формы и расположения контура $L$. Она – величина вполне определенная. Между тем ток $I$, стоящий в правой части того же уравнения, таким свойством не обладает. Для определения $I$ надо мысленно натянуть на контур $L$ какую-то поверхность $S$ и найти пронизывающий ее ток. Однако сила переменного
Рис. 189 тока может меняться вдоль провода. В этих случаях величина I будет зависеть от того, в каком месте поверхность $S$ пересекается с проводом. С особой отчетливостью указанная неопределенность проявится, если поверхность $S$ провести между обкладками конденсатора, нигде не пересекая провода. Тогда $I=0$. Для устранения неопределенности к току $I$ в уравнении (81.3) надо добавить какое-то слагаемое $I_{\text {см }}$, чтобы сумма $I+I_{\text {см }}$ не зависела от выбора вспомогательной поверхности $S$. Это слагаемое и есть ток смещения.
Независимость полного тока $I+I_{\mathrm{cm}}$ от формы поверхности, натянутой на один и тот же контур $L$, эквивалентна утверждению, что полный ток через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Токи, удовлетворяющие этому условию, не совсем удачно называются замкнутыми. Замкнутость токов не следует понимать в смысле замкнутости линий тока. Если линии тока замкнуты, то и сами токи также замкнуты. Обратное справедливо не всегда: линии тока в случае замкнутых токов не обязательно должны быть сами замкнутыми. Таким образом, формальное содержание гипотезы Максвелла сводится к утверждению, что полные токи всегда замкнуты. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.

Из условия замкнутости полного тока можно получить и выражения для тока смещения и его плотности. Обратимся снова к примеру с конденсатором. Идеализируя систему, можно сказать, что по проводу течет только ток проводимости, а через конденсатор – только ток смещения. Ток смещения дополняет ток проводимости до замкнутого тока. Поэтому ток проводимости в проводе должен быть равен току смещения в конденсаторе: $I_{\text {см }}=\dot{Q}$, где $Q$ – заряд на той пластине конденсатора, к которой течет ток. Очевидно, $Q=S \sigma=S D /(4 \pi)$. Дифференцируя по времени и разделив на $S$, снова получаем
\[
\mathbf{j}_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{4 \pi} \dot{\mathbf{D}} .
\]

Таким образом, тремя различными способами мы приходим к одному и тому же выражению для плотности тока смещения.
5. Токи смещения существуют только там, где меняется электрическое поле (точнее, электрическое смещение D). Поэтому физическое содержание гипотезы Максвелла о токах смещения сводится к утверждению, что переменные электрические поля являются источниками магнитных полей. Это открытие принадлежит всецело Максвеллу.

Оно вполне аналогично открытию электромагнитной индукции, согласно которому переменные магнитные поля возбуждают поля электрические.
6. Ток смещения в диэлектрике состоит из двух существенно различных слагаемых. По определению вектора электрической индукции $\mathbf{D}=\mathbf{E}+4 \pi \mathbf{P}$, а потому
\[
\mathbf{j}_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{4 \pi} \dot{\mathbf{E}}+\dot{\mathbf{P}} .
\]

Величина $\dot{\mathbf{P}}$ называется плотностью тока поляризации. Вектор поляризации определяется выражением $\mathbf{P}=\sum e_{i} \mathbf{r}_{i}$. Суммирование ведется по всем связанным зарядам, находящимся в единице объема вещества. Дифференцируя это выражение по времени, получим
\[
\mathbf{j}_{\text {пол }} \equiv \dot{\mathbf{P}}=\sum e_{i} \mathbf{v}_{i},
\]

где $\mathbf{v}_{i}$ – скорость движения $i$-го заряда. Таким образом, ток поляризации есть электрический ток, обусловленный движением свлзанных зарядов. Последние принципиально ничем не отличаются от свободных зарядов. Поэтому нет ничего неожиданного в том, что токи поляризации возбуждают магнитное поле. Принципиально новое содержится в утверждении, что и вторая часть тока смещения $(1 / 4 \pi) \dot{\mathbf{E}}$, которая не связана ни с каким движением зарядов, а обусловлена только изменениями электрического поля по времени, также является источником магнитного поля. Даже в вакууме всякое изменение электрического поля во времени возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле. Открытие этого обстоятельства – наиболее существенный и решающий шаг, сделанный Максвеллом при построении своей электродинамики.
ЗАДАЧИ
1. Пространство между обкладками длинного цилиндрического конденсатора заполнено однородным диэлектриком со слабой электрической проводимостью. Когда конденсатор заряжен, в диэлектрике от одной обкладки к другой течет электрический ток. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля между обкладками.
Ответ. $H=0$.
2. Заряженный и отключенный от источника электричества плоский конденсатор медленно разряжается объемными токами проводимости, возникающими в диэлектрике между обкладками из-за наличия слабой электрической проводимости. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить напряженность магнитного поля внутри конденсатора.

Решение. Если $\sigma$ – поверхностная плотность электричества на положительной обкладке, то $D=4 \pi \sigma$ и, следовательно, $j_{\text {см }}=(1 / 4 \pi) \dot{D}=\dot{\sigma}$. По закону сохранения электрического заряда $j=-\dot{\sigma}$. Следовательно, $j+j_{\text {см }}=$ $=j_{\text {полн }}=0$. Магнитное поле в конденсаторе равно нулю.
3. Заряженный и отключенный от источника электричества плоский конденсатор, состоящий из двух одинаковых дисков радиуса $R$, пробивается электрической искрой вдоль своей оси. Считая разряд квазистационарным и пренебрегая краевыми эффектами, вычислить мгновенное значение напряженности магнитного поля внутри конденсатора (в зависимости от расстояния $r$ до его оси), если сила тока в электрической искре в рассматриваемый момент времени равна $I$.

Решение. В силу симметрии магнитные силовые линии будут коаксиальными окружностями с общей осью, совпадающей с осью конденсатора. Поле $H$ найдется по формуле
\[
\oint H d l=2 \pi r H=\frac{4 \pi}{c}\left(I+i_{\text {см }}\right),
\]

где $i_{\text {см }}=I r^{2} / R^{2}$ – ток смещения, пронизывающий круг радиуса $r$. В результате получим
\[
H=\frac{2 I}{c r}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right) .
\]
4. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых металлических дисков, пространство между которыми заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Расстояние между внутренними поверхностями дисков равно $d$. Между обкладками конденсатора поддерживается переменное напряжение $V=V_{0} \sin \omega t$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти магнитное поле в пространстве между обкладками конденсатора.

Ответ. $H=\frac{\varepsilon \omega r}{2 c d} V_{0} \cos \omega t$, где $r$ – расстояние от оси конденсатора. Магнитные силовые линии имеют форму коаксиальных окружностей с общей осью, совпадающей с осью конденсатора.