1. Пусть точечные заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ находятся в вакууме на бесконечном расстоянии друг от друга. Чтобы их сблизить до расстояния $r_{12}$, надо затратить работу $q_{1} q_{2} / r_{12}$. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов будет
\[
U=\frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}} .
\]

Для нескольких точечных зарядов
\[
U=\frac{1}{2} \sum_{i
eq k} \sum_{i} \frac{q_{i} q_{k}}{r_{i k}} .
\]

Коэффициент $1 / 2$ поставлен потому, что при суммировании потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды: в виде слагаемого $q_{i} q_{k} / r_{i k}$ и в виде равного ему слагаемого $q_{k} q_{i} / r_{k i}$. Формулу (30.2) можно представить в виде
\[
U=\frac{1}{2} \sum \varphi_{i} q_{i}
\]

где $\varphi_{i}$ – потенциал в точке нахождения $i$-го заряда, создаваемый всеми остальными зарядами:
\[
\varphi_{i}=\sum_{k
eq i} \frac{q_{k}}{r_{i k}} .
\]
2. По внешнему виду формула (30.3) совпадает с аналогичной формулой (28.4) для электрической энергии заряженных проводников. На самом деле между обеими формулами имеется глубокое различие. Это видно уже из того, что выражение (28.4) может быть преобразовано в объемный интеграл (29.9), который всегда положителен. Выражение (30.3) не допускает такого преобразования, так как оно может быть и положительным и отрицательным. Например, оно отрицательно для двух точечных зарядов противоположных знаков. Каждый заряд $q_{i}$, взятый в отдельности, обладает электрической энергией. Она называется собственной энергией заряда $q_{i}$, и представляет собой энергию взаимного отталкивания бесконечно малых частей, на которые его можно мысленно разбить. Эта энергия учитывалась при выводе формулы (28.4), но не учитывалась при выводе формулы (30.3). При получении формулы (30.3) каждый заряд $q_{i}$ рассматривался как нечто целое и неизменное. Учитывалась только работа, затрачиваемая на сближение таких неизменных зарядов, но не на их образование. Напротив, при выводе формулы (28.4) учитывалась также работа, затрачиваемая на образование зарядов $q_{i}$ путем конденсации их из бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. В соответствии с этим формула (28.4) определяет полную электрическую энергию системы зарядов, а формула (30.3) – только их взаимную потенциальную энергию. В формуле (28.4) $\varphi_{i}$ означает потенциал проводника, создаваемый всеми зарядами, а в формуле (30.3) – всеми зарядами, за исключением $i$-го.
3. Для лучшего уяснения вопроса рассмотрим два бесконечно малых шарика неизменных размеров. Пусть сначала шарики не заряжены, бесконечно далеко находятся друг от друга, а электричество распределено по всему бесконечному пространству с бесконечно малой плотностью. Соберем все электричество на шариках. Так как расстояние между ними бесконечно велико, то они не будут оказывать никакого влияния друг на друга. Вся работа пойдет на увеличение собственных энергий шариков. Эти энергии будут равны соответственно
\[
W_{1}=\frac{1}{8 \pi} \int E_{1}^{2} d V, \quad W_{2}=\frac{1}{8 \pi} \int E_{2}^{2} d V .
\]

Затем сблизим заряженные шарики, для чего потребуется совершить работу $U=q_{1} q_{2} / r_{12}$ (расстояние между шариками $r_{12}$ должно быть очень велико по сравнению с их размерами). Полная электрическая энергия шариков будет
\[
W=\frac{1}{8 \pi} \int E_{1}^{2} d V+\frac{1}{8 \pi} \int E_{2}^{2} d V+U .
\]

Но ту же энергию можно выразить иначе. Пока шарики не заряжены, сблизим их до расстояния $r_{12}$, а затем будем собирать на них электричество. Потребуется работа
\[
W=\frac{1}{8 \pi} \int\left(\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}\right)^{2} d V=\frac{1}{8 \pi} \int \mathbf{E}_{1}^{2} d V+\frac{1}{8 \pi} \int \mathbf{E}_{2}^{2} d V+\frac{1}{4 \pi} \int\left(\mathbf{E}_{1} \mathbf{E}_{2}\right) d V .
\]

Сравнивая оба выражения, находим
\[
U=\frac{1}{4 \pi} \int\left(\mathbf{E}_{1} \mathbf{E}_{2}\right) d V .
\]