1. В современной радиотехнике и ее приложениях большое значение имеют волноводы, вдоль которых могут распространяться электромагнитные волны. Волновод представляет собой трубу, обычно с металлическими стенками и постоянного поперечного сечения. Труба может быть и криволинейной, но мы ограничимся рассмотрением случая $n р я$ молинейных волноводов. Внутри волновода обычно находится воздух, который практически можно рассматривать как вакуум. Однако в целях общности мы будем предполагать, что волновод заполнен изотропной однородной средой с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и магнитной проницаемостью $\mu$. Также в целях общности будем считать, что эти величины зависят от частоты электромагнитного поля $\omega$ (дисперсия). Частный случай вакуума получится из общих формул при $\varepsilon=\mu=1$.

В нашем рассмотрении волновод будет считаться бесконечно длинным. Это допустимо, когда длина волновода велика по сравнению с длиной волны в той среде, которой он заполнен, а также по сравнению с поперечным сечением самого волновода.

При рассмотрении теории волновода нам придется ссылаться на некоторые элементарные понятия и результаты, изложенные в следующих томах курса. Эти ссылки будут указаны в соответствующих местах.
2. Направим координатную ось $z$ вдоль волновода. Если она проходит внутри волновода, то ее условно можно назвать осъю самого волновода. Для волновода правильной геометрической формы (например, цилиндрической) за ось волновода естественно принять его геометрическую ось, т.е. ось симметрии волновода. Координатные оси $x$ и $y$ выберем перпендикулярно к оси $z$.

Если вдоль волновода может распространяться бегущая электромагнитная волна частоты $\omega$, то ввиду полной эквивалентности всех поперечных сечений волновода фаза волны не должна зависеть от координат $x$ и $y$, а должна быть лишь функцией координаты $z$. Это значит, что электромагнитное поле в волноводе должно иметь вид
\[
E=E_{0}(x, y) e^{i\left(\omega t-k_{z} z\right)}, \quad H=H_{0}(x, y) e^{i\left(\omega t-k_{z} z\right)},
\]

где для незатухающей волны $k_{z}$ – вещественная постоянная. Амплитуды колебаний $E_{0}$ и $H_{0}$, разумеется, могут меняться от точки к точке в каждом поперечном сечении волновода. Это и отмечено в формулах (147.1). всех прямых, параллельных оси волновода. Она определяется формулой
\[
v_{\phi}=\omega / k_{z}
\]
(см. т. IV, §8).
Операция дифференцирования по времени выражения типа (147.1) сводится к умножению уравнений на $i \omega$. Поэтому уравнения Максвелла запишутся в виде
\[
\operatorname{rot} \mathbf{H}=i \frac{\omega \varepsilon}{c} \mathbf{E}, \quad \operatorname{rot} \mathbf{E}=-i \frac{\omega \mu}{c} \mathbf{H} .
\]

Ввиду независимости $\varepsilon$ и $\mu$ от координат уравнения
\[
\operatorname{div} \mathbf{E}=\operatorname{div} \mathbf{H}=0
\]

следуют из этих двух уравнений, а потому они автоматически принимаются во внимание. Пользуясь затем формулами
\[
\operatorname{rot} \mathbf{H}=\operatorname{rot} \mathbf{H}_{0} \cdot e^{i\left(\omega t-k_{z} z\right)}-i\left[\mathbf{k}_{z} \mathbf{H}\right], \quad \operatorname{rot} \mathbf{E}=\ldots,
\]

запишем уравнения Максвелла в координатной форме:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial H_{z}}{\partial y}+i k_{z} H_{y}=i \frac{\omega \varepsilon}{c} E_{x}, \quad \frac{\partial E_{z}}{\partial y}+i k_{z} E_{y}=-i \frac{\omega \mu}{c} H_{x}, \\
i k_{z} H_{x}+\frac{\partial H_{z}}{\partial x}=-i \frac{\omega \varepsilon}{c} E_{y}, \quad i k_{z} E_{x}+\frac{\partial E_{z}}{\partial x}=i \frac{\omega \mu}{c} H_{y}, \\
\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}=i \frac{\omega \varepsilon}{c} E_{z}, \quad \frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=-i \frac{\omega \mu}{c} H_{z} . \\
\end{array}
\]

Для определения электромагнитного поля внутри волновода к этим уравнениям надо прибавить граничные условия, которым должны удовлетворять векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ на внутренних стенках волновода. Мы будем рассматривать простейший и наиболее важный случай, когда эти стенки идеально проводящие. Тогда сформулированная задача, как показывает более подробное математическое исследование, при определенных частотах допускает два типа решений.
3. Первый тип. В этом случае $H_{z}=0, E_{z}
eq 0$. Такие волны называются волнами электрического типа. Для них уравнения (147.3) переходят в
\[
\begin{array}{c}
k_{z} H_{y}=\frac{\omega \varepsilon}{c} E_{x}, \quad \frac{\partial E_{z}}{\partial y}+i k_{z} E_{y}=-i \frac{\omega \mu}{c} H_{x}, \\
k_{z} H_{x}=-\frac{\omega \varepsilon}{c} E_{y}, \quad i k_{z} E_{x}+\frac{\partial E_{z}}{\partial x}=i \frac{\omega \mu}{c} H_{y}, \\
\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}=i \frac{\omega \varepsilon}{c} E_{z}, \quad \frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=0 .
\end{array}
\]

Из этих уравнений все компоненты поля можно выразить через $E_{z}$. Например, из первого и пятого уравнений (147.4) получим
\[
E_{x}=\frac{c k_{z}}{\omega \varepsilon} H_{y}=\frac{c k_{z}}{\omega \varepsilon}\left(\frac{c k_{z}}{\omega \mu} E_{x}-\frac{c}{i \omega \mu} \frac{\partial E_{z}}{\partial x}\right),
\]

откуда и находится выражение для $E_{x}$ через $\partial E_{z} / \partial x$. Аналогично получается и для остальных компонент электромагнитного поля. При этом удобно ввести обозначения
\[
\begin{aligned}
\alpha^{2} & =k^{2}-k_{z}^{2}, \\
k^{2} & =\frac{\omega^{2}}{c^{2}} \varepsilon \mu .
\end{aligned}
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
E_{x}=-\frac{i k_{z}}{\alpha^{2}} \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \quad H_{x}=i \frac{\omega \varepsilon}{c \alpha^{2}} \frac{\partial E_{z}}{\partial y}, \\
E_{y}=-\frac{i k_{z}}{\alpha^{2}} \frac{\partial E_{z}}{\partial y}, \quad H_{y}=-i \frac{\omega \varepsilon}{c \alpha^{2}} \frac{\partial E_{z}}{\partial x}, \\
H_{z}=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, задача сводится к нахождению единственной функции $E_{z}(x, y)$. Для определения этой функции используется уравнение
\[
\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial y^{2}}=-\alpha^{2} E_{z} .
\]

Оно является следствием уравнения, которому должно удовлетворять поле $E$ и каждая его компонента. В частности,
\[
\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial z^{2}}+k^{2} E_{z}=0 .
\]

Кроме того, ввиду (147.1) справедливо уравнение
\[
\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial z^{2}}+k_{z}^{2} E_{z}=0, \quad \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial y^{2}}+\left(k^{2}-k_{z}^{2}\right) E_{z}=0,
\]

откуда, если использовать обозначение (147.5), и получается уравнение (147.8).

Электрическое поле внутри идеально проводящей стенки равно нулю. Поэтому из равенства тангенциальных компонент электрического поля на границе раздела следует, что на внутренней поверхности стенки волновода $E_{z}=0$. Получилась краевая задача для дифференциального уравнения (147.8). Из математики известно, что подобная краевая задача может иметь конечные, однозначные и непрерывные решения не для всех, а только для избранных значений постоянной $\alpha^{2}$.

Избранные значения ( $\alpha^{2}$ ) называются собственными значениями оператора $\partial^{2} / \partial x^{2}+\partial^{2} / \partial y^{2}$, а соответствующие им решения – собственными функциями рассматриваемой краевой задачи (см. т. V, $\S 22$ ). Вид собственных функций зависит от формы и размеров поперечного сечения волновода. Для волновода прямоугольной формы собственные функции находятся элементарно (см. задачу 1 к этому параграфу). Для цилиндрического волновода собственные функции выражаются через функции Бесселя. Однако мы не будем заниматься нахождением собственных функций, а ограничимся рассмотрением только общих свойств волновода, не зависящих от его поперечного сечения.
4. Собственные значения двумерного оператора отрицательны, а поэтому величина $\alpha^{2}$ положительна. Докажем эту теорему для более общего случая трехмерного оператора
\[
\Delta=\partial^{2} / \partial x^{2}+\partial^{2} / \partial y^{2}+\partial^{2} / \partial z^{2},
\]

частным случаем которого является рассматриваемый двумерный оператор. Запишем уравнение (147.9) в виде
\[
\Delta E_{z}+k^{2} E_{z}=0
\]

и умножим обе части его на $E_{z}^{*}$ – величину, комплексно сопряженную по отношению к $E_{z}$. Тогда, принимая во внимание тождество
\[
\operatorname{div}\left(E_{z}^{*} \operatorname{grad} E_{z}\right)=E_{z}^{*} \Delta E_{z}^{*}+\operatorname{grad} E_{z}^{*} \operatorname{grad} E_{z},
\]

получим
\[
\operatorname{div}\left(E_{z}^{*} \operatorname{grad} E_{z}\right)-\operatorname{grad} E_{z}^{*} \operatorname{grad} E_{z}+k^{2} E_{z} E_{z}^{*} .
\]

Мы предполагаем, что область, в которой определена функция $E_{z}$, окружена замкнутой металлической оболочкой, на стенках которой $E_{z}=0$. Поэтому при интегрировании по объему, ограниченному этой оболочкой, интеграл от дивергенции, в силу теоремы Гаусса, обратится в нуль. В результате получится
\[
k^{2}=\int \operatorname{grad} E_{z}^{*} \operatorname{grad} E_{z} d V / \int E_{z}^{*} E_{z} d V
\]

откуда и видно, что величина $k^{2}$ существенно положительна.
Доказательство без существенных изменений распространяется и на случай двумерного уравнения (147.8). Только вместо трехмерной замкнутой области надо рассматривать двумерную область, ограниченную замкнутой кривой, получающейся в результате поперечного сечения волновода. Заметим между прочим, что теорема верна и в том случае, когда граничное условие $E_{z}=0$ заменено на условие $\partial E_{z} / \partial n=$ $=0$, где дифференцирование производится по нормали к замкнутой поверхности или замкнутой линии, ограничивающей рассматриваемую область изменения $E_{z}$.
5. Изложенное можно получить и из других соображений, которые лучше уясняют физический принцип работы волноводов. Рассмотрим сначала неограниченную однородную среду с диэлектрической и магнитной проницаемостью соответственно $\varepsilon(\omega)$ и $\mu(\omega)$. В такой среде могут распространяться плоские незатухающие волны определенной частоты $\omega$ :
\[
E, H \sim e^{i(\omega t-\mathbf{k r})},
\]

где волновой вектор $\mathbf{k}$ может иметь любое направление, но его длина определяется соотношением (147.8). Если фиксировать ось $z$, то волновой вектор каждой плоской волны можно представить в виде $\mathbf{k}=\mathbf{k}_{z}+$ $+\mathbf{k}_{\perp}$, где $\mathbf{k}_{z}$ и $\mathbf{k}_{\perp}$ – компоненты этого вектора вдоль оси $z$ и перпендикулярно к ней соответственно. Таким образом, всякая незатухающая монохроматическая волна частоты $\omega$ может быть представлена в виде
\[
\sim e^{i k_{\perp} z_{\perp}} e^{i\left(\omega t-k_{z} z\right)} .
\]

При отсутствии затухания суперпозицией волн такого типа с постоянными коэффициентами можно получить любое решение уравнений Максвелла в среде.

Допустим теперь, что среда заключена внутри волновода. Роль волновода сводится к тому, что из всех волн указанного выше типа он выделяет волны, удовлетворяющие граничному условию $E_{z}=0$. Это выделение сводится к тому, что в каждом поперечном сечении волновода могут получиться только такие системы стоячих волн, каждая из которых удовлетворяет указанному условию. Все волны каждой из таких систем характеризуются одним и тем же значением волнового числа $k_{\perp}$, которое в силу уравнения (147.8) тождественно с параметром $\alpha$. В этом причина того, почему параметр $\alpha$ может принимать только дискретный ряд значений. Волновое число $k_{z}$ также может принимать только допустимые дискретные значения, которые определяются соотношением $k^{2}=k_{z}^{2}+\alpha^{2}$, тождественным с соотношением (147.5). Из изложенного видно, что при отсутствии затухания оба числа $k_{z}^{2}$ и $\alpha^{2}$ положительны, причем $k_{z}^{2}<k^{2}$.
6. Каждая волна в волноводе характеризуется определенным значением параметра $\alpha$. При этом волны электрического типа не поперечны относительно электрического вектора $\mathbf{E}$, так как продольная компонента $E_{z}$ обращается в нуль только на стенках волновода, а в остальных местах $E_{z}
eq 0$. Кроме того, из соотношения $k_{z}^{2}<k^{2}$ следует $1 / k_{z}>$ $>1 / k$, или после умножения на $\omega$ получим $\omega / k_{z}>\omega / k$, или $v_{\phi}>$ $>v$, где $v=c / \sqrt{\varepsilon} \mu$ – фазовая скорость электромагнитной волны в неограниченной среде. Таким образом, при одной и той же частоте фазовая скорость волны в волноводе $v_{\phi}=c / k_{z}$, а с ней и длина волны $\lambda_{\text {вол }}=2 \pi v / \omega$ больше соответствующих величин в неограниченной среде. В частности, если внутри волновода вакуум, то всегда $v_{\phi}>c$, $\lambda_{\text {вол }}>\lambda_{\text {вак }}$.

Не все фазовые скорости допустимы, а только такие, которые соответствуют допустимым значениям параметра $\alpha$. Таким образом, волновод является фильтром, пропускающим из непрерывного спектра частот только избранные или собственные частоты. Наконец, при фиксированном значении параметра $\alpha$ невозможно, чтобы $k_{z}>k$, т.е. $\lambda_{\text {среды }}=\lambda_{\text {вол }}=2 \pi / \alpha$. Это значит, что при заданном $\alpha$ волновод не пропускает волны, длина которых $\lambda_{\text {среды }}$ меньше некоторого верхнего предела $2 \pi / \alpha$.
7. Второй тип. В этом случае $E_{z}=0, H_{z}
eq 0$, т.е. волны опять не поперечны, но уже относительно вектора Н. Такие волны называются волнами магнитного типа. Их свойства вполне аналогичны волнам электрического типа, а потому нет необходимости их подробно рассматривать. Укажем только на существенные моменты при исследовании волн магнитного типа. Прежде всего все компоненты поля выражаются через $H_{z}$ по формулам
\[
\begin{array}{c}
E_{x}=-i \frac{\omega \mu}{c \alpha^{2}} \frac{\partial H_{z}}{\partial y}, \quad H_{x}=-i \frac{k_{z}}{\alpha^{2}} \frac{\partial H_{z}}{\partial x} \\
E_{y}=i \frac{\omega \mu}{c \alpha^{2}} \frac{\partial H_{z}}{\partial x}, \quad H_{y}=-i \frac{k_{z}}{\alpha^{2}} \frac{\partial H_{z}}{\partial y} \\
E_{z}=0
\end{array}
\]

причем $H_{z}$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial y^{2}}=-\alpha^{2} H_{z},
\]

отличающемуся от (147.8) только обозначениями. Существенное отличие состоит в изменении граничных условий, которому должны удовлетворять решения уравнения (147.11). При идеальной проводимости стенок волновода граничные условия в рассматриваемом случае сводятся к обращению в нуль тангенциальных компонент вектора $\mathbf{E}$, в частности к обращению в нуль $E_{x}$ и $E_{y}$. Иными словами, на стенках волновода должны обращаться в нуль производные $\partial H_{z} / \partial x$ и $\partial H_{z} / \partial y$, как это видно из (147.10). Но через эти производные можно выразить производную $\partial H_{z} / \partial n$ по нормали к поверхности волновода:
\[
\frac{\partial H_{z}}{\partial n}=\frac{\partial H_{z}}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial n}+\frac{\partial H_{z}}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial n} .
\]

Поэтому в более компактной форме граничные условия сводятся к обращению в нуль производной по нормали $\partial H_{z} / \partial n$ на стенках волновода. Но это обстоятельство не меняет общих выводов, которые были сделаны ранее относительно волн электрического типа. Только допустимые числовые значения параметра $\alpha$ в уравнении (147.11) получаются иными, чем в случае уравнения (147.8). Поэтому нет и необходимости подробно исследовать случай электромагнитных волн магнитного типа.
8. Выведем теперь соотношение между фазовой $v_{\phi}=\omega / k_{z}$ и групповой $v_{r}=d \omega / d k_{z}$ скоростями распространения волн в волноводе, одинаково справедливое для волн электрического и магнитного типа. С этой целью возьмем одно из собственных значений $\alpha$. Если изменять частоту $\omega$, то одновременно у рассматриваемой волны будут меняться $k$ и $k_{z}$. Поэтому, дифференцируя соотношение (147.5) при постоянном $\alpha$ и принимая во внимание (147.6), получим
\[
\varepsilon \mu \frac{\omega d \omega}{c^{2}}+\frac{\omega^{2}}{2 c^{2}} \frac{d(\varepsilon \mu)}{d \omega} d \omega=k_{z} d k_{z},
\]

откуда
\[
v_{\mathbf{\Phi}} v_{r}\left[1+\frac{\omega}{2 \varepsilon \mu} \frac{d(\varepsilon \mu)}{d \omega}\right]=\frac{c^{2}}{\varepsilon \mu}=v^{2},
\]

где $v=c / \sqrt{\varepsilon \mu}-$ фазовая скорость волны в безграничной среде. Если среда, заполняющая волновод, не обладает дисперсией, то
\[
v_{\phi} v_{r}=v^{2} .
\]

В частности, если средой в волноводе является вакуум, то $v_{\phi} v_{r}=$ $=c^{2}$. Фазовая скорость не может быть скоростью сигнала, и на нее требования теории относительности не распространяются. Поэтому всегда $v_{\phi}>c$. Но тогда из последнего соотношения следует, что всегда $v_{r}<c$, как этого и требует теория относительности, поскольку группа волн, распространяющаяся с групповой скоростью, может служить сигналом.
9. Групповая скорость при определенных ограничениях является также средней скоростью энергии, переносимой волной. Докажем эту теорему в предположении, что среда непоглощающая, но диспергирующая. Зависимость $\varepsilon$ и $\mu$ от температуры принимать во внимание не будем. Тогда внутренняя энергия среды будет совпадать с ее свободной энергией. Для средней по времени плотности электромагнитной энергии электродинамика дает
\[
\bar{W}=\frac{1}{8 \pi}\left[\frac{d(\varepsilon \omega)}{d \omega} E E^{*}+\frac{d(\mu \omega)}{d \omega} H H^{*}\right]+\text { компл. сопр. }
\]
(см. т. IV, § 88). Что касается вектора плотности потока электромагнитной энергии, то он во всех случаях определяется вектором Пойнтинга $S$. Его среднее значение для монохроматического поля дается выражением
\[
\mathbf{S}=\frac{c}{16 \pi}\left[\mathbf{E H}^{*}\right]+\text { компл. сопр. }
\]

Средняя скорость распространения электромагнитной энергии определяется формулой
\[
v_{\text {эл }}=\frac{\bar{S}}{\bar{W}} .
\]

Для лучшего уяснения вопроса совпадение скоростей $v_{э л}$ и $v_{r}$ докажем сначала не для волновода, а для более простого случая неограниченной однородной среды. Если в такой среде распространяется плоская волна в направлении единичного вектора $\mathbf{N}$, то поля $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ связаны соотношениями
\[
\sqrt{\varepsilon} \mathbf{E}=-\sqrt{\mu}[\mathbf{N H}] ; \quad \sqrt{\mu} \mathbf{H}=[\mathbf{N E}] .
\]

Пользуясь этими выражениями, из (147.14), получим
\[
\bar{W}=\frac{1}{16 \pi}\left\{\frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega}+\frac{\varepsilon}{\mu} \frac{d(\omega \mu)}{d \omega}\right\} E E^{*} .
\]

Для преобразования выражения в фигурных скобках запишем выражение (147.6) в виде $k^{2}=\left(1 / c^{2}\right)(\omega \varepsilon)(\varepsilon \mu)$ и продифференцируем его по $\omega$. Тогда
\[
2 k \frac{d k}{d \omega}=\frac{\omega \mu}{c^{2}} \frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega}+\frac{\omega \varepsilon}{c^{2}} \frac{d(\omega \mu)}{d \omega},
\]

откуда
\[
\frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega}+\frac{\varepsilon}{\mu} \frac{d(\omega \mu)}{d \omega}=2 k \frac{c^{2}}{\omega \mu} \frac{d k}{d \omega}=2 \frac{\omega}{c} \sqrt{\varepsilon \mu} \frac{c}{\omega \mu} \frac{d k}{d \omega}=2 c \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}} \frac{d k}{d \omega} .
\]

Таким образом,
\[
\bar{W}=\frac{c}{8 \pi} \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}} \frac{d k}{d \omega} .
\]

Далее, выражение (147.15) переходит в
\[
\overline{\mathbf{S}}=\frac{c}{8 \pi} \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\left(\mathbf{E E}^{*}\right) \mathbf{N} .
\]

В результате получается
\[
v_{\text {эл }}=\frac{\bar{S}}{\bar{W}}=\frac{d \omega}{d k}=v_{r}
\]
10. Распространим теперь полученный результат на случай электромагнитной волны в волноводе. Не нарушая общности, ограничимся волнами электрического типа. В случае волновода в формуле (147.16) величины $\bar{S}$ и $\bar{W}$ следует заменить на средние значения полного потока энергии через поперечное сечение волновода и энергии, приходящейся на единицу его длины. Средний поток энергии в единицу времени через поперечное сечение волновода определяется выражением
\[
\int \bar{S}_{z} d f=\frac{c}{16 \pi} \int\left(E_{x} H_{y}^{*}+E_{y} H_{x}^{*}\right) d f+\text { компл. сопр. }
\]

причем интегрирование ведется по площади поперечного сечения волновода. Подставляя вместо $E$ и $H$ их выражения из (147.7), получим
\[
\int \bar{S}_{z} d f=\frac{\omega \varepsilon k_{z}}{8 \pi \alpha^{4}} \int\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial x} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial x}+\frac{\partial E_{z}}{\partial y} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial y}\right) d f .
\]

Средняя энергия, приходящаяся на единицу длины волновода,
\[
\begin{array}{l}
\int \bar{W} d f= \\
=\frac{1}{16 \pi} \int \frac{1}{\alpha^{4}}\left[k_{z}^{2} \frac{d \omega \varepsilon}{d \omega}+\frac{\omega^{2} \varepsilon^{2}}{c^{2}} \frac{d(\omega \mu)}{d \omega}\right]\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial x} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial x}+\frac{\partial E_{z}}{\partial y} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial y}\right) d f+ \\
+\frac{1}{16 \pi} \int \frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega} E_{z} E_{z}^{*} d f . \\
\end{array}
\]

Очевидно,
\[
\begin{array}{l}
\int\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial x} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial x}+\frac{\partial E_{z}}{\partial y} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial y}\right) d f= \\
=\int\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(E_{z} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(E_{z} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial y}\right)\right] d f-\int E_{z}\left(\frac{\partial^{2} E_{z}^{*}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{z}^{*}}{\partial y^{2}}\right) d f .
\end{array}
\]

К первому интегралу в правой части применим математическую теорему Гаусса. Тогда для этого интеграла получим
\[
\oint E_{z}\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial x} n_{x}+\frac{\partial E_{z}}{\partial y} n_{y}\right) d f=\oint E_{z} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial n} d l,
\]

где интегрирование ведется по замкнутому контуру – линии, получающейся при нормальном сечении волновода, a $d l$ означает элемент длины этого контура. Так как на контуре $E_{z}=0$, то рассматриваемый интеграл обращается в нуль.

В случае волны магнитного типа вместо $E_{z}$ надо брать $H_{z}$, но соответствующий интеграл также обращается в нуль, так как на контуре
$\partial H_{z}^{*} / \partial n=0$. Только в этом пункте доказательство для волн магнитного типа отличается от доказательства для волн электрического типа. Второй же интеграл в правой части преобразуется при помощи (147.8), в результате чего получим
\[
\int\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial x} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial x}+\frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial y} \frac{\partial E_{z}}{\partial y}\right) d f=-\alpha^{2} \int E_{z} E_{z}^{*} d f .
\]
$У_{\text {множим это выражение на }} \frac{1}{\alpha^{2}} \frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega}$ и прибавим его к правой части (147.8). Тогда, принимая во внимание (147.6), найдем
\[
\int \bar{W} d f=\frac{\omega^{2} \varepsilon}{16 \pi \alpha^{4} c^{2}}\left[\mu \frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega}+\varepsilon \frac{d(\varepsilon \mu)}{d \omega}\right] \int\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial x} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial x}+\frac{\partial E_{z}}{\partial y} \frac{\partial E_{z}^{*}}{\partial y}\right) d f .
\]

Поделив (147.17) на (147.18), получим выражение для средней скорости распространения энергии вдоль волновода
\[
v_{\text {эл }}=\frac{c}{v_{\text {ф }}} \frac{1}{\varepsilon \mu\left(1+\frac{\omega}{2 \varepsilon \mu} \frac{d(\varepsilon \mu)}{d \omega}\right)} .
\]

Сравнивая эту формулу с (147.12), убеждаемся, что средняя скорость распространения волны в волноводе совпадает с групповой скоростью.
ЗАДАЧИ
1. Найти собственные значения и функции уравнений (147.8) и (147.11) в волноводе прямоугольного поперечного сечения при соответствующих граничных условиях.

Решение. Ищем решение уравнения (147.8) с разделяющимися переменными, т. е. решение в виде
\[
E_{z}=\varphi(x) \psi(y) .
\]

После подстановки этого выражения в уравнение (147.8) получим
\[
\frac{1}{\varphi(x)} \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\frac{1}{\psi(y)} \frac{d^{2} \psi}{d y^{2}}=-\alpha^{2} .
\]

Первое слагаемое здесь зависит только от $x$, а второе – только от $y$. Сумма этих слагаемых есть постоянная. Это возможно тогда и только тогда, когда эти слагаемые сами постоянны. Обозначив их через $\alpha_{x}^{2}$ и $\alpha_{y}^{2}$, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{\varphi(x)} \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}=-\alpha_{x}^{2}, \\
\frac{1}{\psi(y)} \frac{d^{2} \psi}{d y^{2}}=-\alpha_{y}^{2},
\end{array}
\]

причем $\alpha_{x}^{2}+\alpha_{y}^{2}=\alpha^{2}$. Решения этих уравнений, удовлетворяющие граничным условиям $\varphi(0)=\varphi(a)=\psi(0)=\psi(b)=0$, где $a$ и $b-$ поперечные размеры волновода вдоль осей $x$ и $y$ соответственно, имеют вид
\[
\varphi(x)=\sin \frac{n_{x} \pi x}{a}, \quad \psi(y)=\sin \frac{n_{y} \pi y}{b}, \quad n_{x}, n_{y}=1,2,3, \ldots
\]

Таким образом, собственными функциями будут
\[
E_{z}=\sin \frac{n_{x} \pi x}{a} \sin \frac{n_{y} \pi y}{b},
\]

а собственными значениями
\[
\alpha^{2}=\alpha_{x}^{2}+\alpha_{y}^{2}=\pi^{2}\left(\frac{n_{x}^{2}}{a^{2}}+\frac{n_{y}^{2}}{b^{2}}\right) .
\]

В случае волн магнитного вида собственные функции
\[
H_{z}=\cos \frac{n_{x} \pi x}{a} \cos \frac{n_{y} \pi y}{b},
\]

а собственные значения такие же, как и в первом случае.
2. Пусть волновод заполнен однородной средой с $\mu(\omega)=1$. При каком законе дисперсии $\varepsilon=\varepsilon(\omega)$ связь между фазовой скоростью и скоростью движения энергии в волноводе принимает вид
\[
v_{\text {эл }} v_{\phi}=c^{2} .
\]

Решение. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выражение (147.19) переходило в (147.22), т. е.
\[
\varepsilon\left(1+\frac{\omega}{2 \varepsilon} \frac{d \varepsilon}{d \omega}\right)=1
\]

или
\[
(\varepsilon-1) d \omega+\frac{\omega}{2} d \varepsilon=0 .
\]

Интегрируя это соотношение, найдем
\[
\varepsilon-1=\frac{\text { const }}{\omega^{2}} .
\]

Таким законом дисперсии обладает ионизированный газ – плазма, причем в этом случае const отрицательна.