Главная > Общий курс физики. Т. III. Электричество (Сивухин Д. В.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. В современной радиотехнике и ее приложениях большое значение имеют волноводы, вдоль которых могут распространяться электромагнитные волны. Волновод представляет собой трубу, обычно с металлическими стенками и постоянного поперечного сечения. Труба может быть и криволинейной, но мы ограничимся рассмотрением случая nря молинейных волноводов. Внутри волновода обычно находится воздух, который практически можно рассматривать как вакуум. Однако в целях общности мы будем предполагать, что волновод заполнен изотропной однородной средой с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ. Также в целях общности будем считать, что эти величины зависят от частоты электромагнитного поля ω (дисперсия). Частный случай вакуума получится из общих формул при ε=μ=1.

В нашем рассмотрении волновод будет считаться бесконечно длинным. Это допустимо, когда длина волновода велика по сравнению с длиной волны в той среде, которой он заполнен, а также по сравнению с поперечным сечением самого волновода.

При рассмотрении теории волновода нам придется ссылаться на некоторые элементарные понятия и результаты, изложенные в следующих томах курса. Эти ссылки будут указаны в соответствующих местах.
2. Направим координатную ось z вдоль волновода. Если она проходит внутри волновода, то ее условно можно назвать осъю самого волновода. Для волновода правильной геометрической формы (например, цилиндрической) за ось волновода естественно принять его геометрическую ось, т.е. ось симметрии волновода. Координатные оси x и y выберем перпендикулярно к оси z.

Если вдоль волновода может распространяться бегущая электромагнитная волна частоты ω, то ввиду полной эквивалентности всех поперечных сечений волновода фаза волны не должна зависеть от координат x и y, а должна быть лишь функцией координаты z. Это значит, что электромагнитное поле в волноводе должно иметь вид
E=E0(x,y)ei(ωtkzz),H=H0(x,y)ei(ωtkzz),

где для незатухающей волны kz — вещественная постоянная. Амплитуды колебаний E0 и H0, разумеется, могут меняться от точки к точке в каждом поперечном сечении волновода. Это и отмечено в формулах (147.1). всех прямых, параллельных оси волновода. Она определяется формулой
vϕ=ω/kz
(см. т. IV, §8).
Операция дифференцирования по времени выражения типа (147.1) сводится к умножению уравнений на iω. Поэтому уравнения Максвелла запишутся в виде
rotH=iωεcE,rotE=iωμcH.

Ввиду независимости ε и μ от координат уравнения
divE=divH=0

следуют из этих двух уравнений, а потому они автоматически принимаются во внимание. Пользуясь затем формулами
rotH=rotH0ei(ωtkzz)i[kzH],rotE=,

запишем уравнения Максвелла в координатной форме:
Hzy+ikzHy=iωεcEx,Ezy+ikzEy=iωμcHx,ikzHx+Hzx=iωεcEy,ikzEx+Ezx=iωμcHy,HyxHxy=iωεcEz,EyxExy=iωμcHz.

Для определения электромагнитного поля внутри волновода к этим уравнениям надо прибавить граничные условия, которым должны удовлетворять векторы E и H на внутренних стенках волновода. Мы будем рассматривать простейший и наиболее важный случай, когда эти стенки идеально проводящие. Тогда сформулированная задача, как показывает более подробное математическое исследование, при определенных частотах допускает два типа решений.
3. Первый тип. В этом случае Hz=0,Ezeq0. Такие волны называются волнами электрического типа. Для них уравнения (147.3) переходят в
kzHy=ωεcEx,Ezy+ikzEy=iωμcHx,kzHx=ωεcEy,ikzEx+Ezx=iωμcHy,HyxHxy=iωεcEz,EyxExy=0.

Из этих уравнений все компоненты поля можно выразить через Ez. Например, из первого и пятого уравнений (147.4) получим
Ex=ckzωεHy=ckzωε(ckzωμExciωμEzx),

откуда и находится выражение для Ex через Ez/x. Аналогично получается и для остальных компонент электромагнитного поля. При этом удобно ввести обозначения
α2=k2kz2,k2=ω2c2εμ.

Тогда
Ex=ikzα2Ezx,Hx=iωεcα2Ezy,Ey=ikzα2Ezy,Hy=iωεcα2Ezx,Hz=0.

Таким образом, задача сводится к нахождению единственной функции Ez(x,y). Для определения этой функции используется уравнение
2Ezx2+2Ezy2=α2Ez.

Оно является следствием уравнения, которому должно удовлетворять поле E и каждая его компонента. В частности,
2Ezx2+2Ezy2+2Ezz2+k2Ez=0.

Кроме того, ввиду (147.1) справедливо уравнение
2Ezz2+kz2Ez=0,2Ezx2+2Ezy2+(k2kz2)Ez=0,

откуда, если использовать обозначение (147.5), и получается уравнение (147.8).

Электрическое поле внутри идеально проводящей стенки равно нулю. Поэтому из равенства тангенциальных компонент электрического поля на границе раздела следует, что на внутренней поверхности стенки волновода Ez=0. Получилась краевая задача для дифференциального уравнения (147.8). Из математики известно, что подобная краевая задача может иметь конечные, однозначные и непрерывные решения не для всех, а только для избранных значений постоянной α2.

Избранные значения ( α2 ) называются собственными значениями оператора 2/x2+2/y2, а соответствующие им решения — собственными функциями рассматриваемой краевой задачи (см. т. V, §22 ). Вид собственных функций зависит от формы и размеров поперечного сечения волновода. Для волновода прямоугольной формы собственные функции находятся элементарно (см. задачу 1 к этому параграфу). Для цилиндрического волновода собственные функции выражаются через функции Бесселя. Однако мы не будем заниматься нахождением собственных функций, а ограничимся рассмотрением только общих свойств волновода, не зависящих от его поперечного сечения.
4. Собственные значения двумерного оператора отрицательны, а поэтому величина α2 положительна. Докажем эту теорему для более общего случая трехмерного оператора
Δ=2/x2+2/y2+2/z2,

частным случаем которого является рассматриваемый двумерный оператор. Запишем уравнение (147.9) в виде
ΔEz+k2Ez=0

и умножим обе части его на Ez — величину, комплексно сопряженную по отношению к Ez. Тогда, принимая во внимание тождество
div(EzgradEz)=EzΔEz+gradEzgradEz,

получим
div(EzgradEz)gradEzgradEz+k2EzEz.

Мы предполагаем, что область, в которой определена функция Ez, окружена замкнутой металлической оболочкой, на стенках которой Ez=0. Поэтому при интегрировании по объему, ограниченному этой оболочкой, интеграл от дивергенции, в силу теоремы Гаусса, обратится в нуль. В результате получится
k2=gradEzgradEzdV/EzEzdV

откуда и видно, что величина k2 существенно положительна.
Доказательство без существенных изменений распространяется и на случай двумерного уравнения (147.8). Только вместо трехмерной замкнутой области надо рассматривать двумерную область, ограниченную замкнутой кривой, получающейся в результате поперечного сечения волновода. Заметим между прочим, что теорема верна и в том случае, когда граничное условие Ez=0 заменено на условие Ez/n= =0, где дифференцирование производится по нормали к замкнутой поверхности или замкнутой линии, ограничивающей рассматриваемую область изменения Ez.
5. Изложенное можно получить и из других соображений, которые лучше уясняют физический принцип работы волноводов. Рассмотрим сначала неограниченную однородную среду с диэлектрической и магнитной проницаемостью соответственно ε(ω) и μ(ω). В такой среде могут распространяться плоские незатухающие волны определенной частоты ω :
E,Hei(ωtkr),

где волновой вектор k может иметь любое направление, но его длина определяется соотношением (147.8). Если фиксировать ось z, то волновой вектор каждой плоской волны можно представить в виде k=kz+ +k, где kz и k — компоненты этого вектора вдоль оси z и перпендикулярно к ней соответственно. Таким образом, всякая незатухающая монохроматическая волна частоты ω может быть представлена в виде
eikzei(ωtkzz).

При отсутствии затухания суперпозицией волн такого типа с постоянными коэффициентами можно получить любое решение уравнений Максвелла в среде.

Допустим теперь, что среда заключена внутри волновода. Роль волновода сводится к тому, что из всех волн указанного выше типа он выделяет волны, удовлетворяющие граничному условию Ez=0. Это выделение сводится к тому, что в каждом поперечном сечении волновода могут получиться только такие системы стоячих волн, каждая из которых удовлетворяет указанному условию. Все волны каждой из таких систем характеризуются одним и тем же значением волнового числа k, которое в силу уравнения (147.8) тождественно с параметром α. В этом причина того, почему параметр α может принимать только дискретный ряд значений. Волновое число kz также может принимать только допустимые дискретные значения, которые определяются соотношением k2=kz2+α2, тождественным с соотношением (147.5). Из изложенного видно, что при отсутствии затухания оба числа kz2 и α2 положительны, причем kz2<k2.
6. Каждая волна в волноводе характеризуется определенным значением параметра α. При этом волны электрического типа не поперечны относительно электрического вектора E, так как продольная компонента Ez обращается в нуль только на стенках волновода, а в остальных местах Ezeq0. Кроме того, из соотношения kz2<k2 следует 1/kz> >1/k, или после умножения на ω получим ω/kz>ω/k, или vϕ> >v, где v=c/εμ — фазовая скорость электромагнитной волны в неограниченной среде. Таким образом, при одной и той же частоте фазовая скорость волны в волноводе vϕ=c/kz, а с ней и длина волны λвол =2πv/ω больше соответствующих величин в неограниченной среде. В частности, если внутри волновода вакуум, то всегда vϕ>c, λвол >λвак .

Не все фазовые скорости допустимы, а только такие, которые соответствуют допустимым значениям параметра α. Таким образом, волновод является фильтром, пропускающим из непрерывного спектра частот только избранные или собственные частоты. Наконец, при фиксированном значении параметра α невозможно, чтобы kz>k, т.е. λсреды =λвол =2π/α. Это значит, что при заданном α волновод не пропускает волны, длина которых λсреды  меньше некоторого верхнего предела 2π/α.
7. Второй тип. В этом случае Ez=0,Hzeq0, т.е. волны опять не поперечны, но уже относительно вектора Н. Такие волны называются волнами магнитного типа. Их свойства вполне аналогичны волнам электрического типа, а потому нет необходимости их подробно рассматривать. Укажем только на существенные моменты при исследовании волн магнитного типа. Прежде всего все компоненты поля выражаются через Hz по формулам
Ex=iωμcα2Hzy,Hx=ikzα2HzxEy=iωμcα2Hzx,Hy=ikzα2HzyEz=0

причем Hz удовлетворяет уравнению
2Hzx2+2Hzy2=α2Hz,

отличающемуся от (147.8) только обозначениями. Существенное отличие состоит в изменении граничных условий, которому должны удовлетворять решения уравнения (147.11). При идеальной проводимости стенок волновода граничные условия в рассматриваемом случае сводятся к обращению в нуль тангенциальных компонент вектора E, в частности к обращению в нуль Ex и Ey. Иными словами, на стенках волновода должны обращаться в нуль производные Hz/x и Hz/y, как это видно из (147.10). Но через эти производные можно выразить производную Hz/n по нормали к поверхности волновода:
Hzn=Hzxxn+Hzyyn.

Поэтому в более компактной форме граничные условия сводятся к обращению в нуль производной по нормали Hz/n на стенках волновода. Но это обстоятельство не меняет общих выводов, которые были сделаны ранее относительно волн электрического типа. Только допустимые числовые значения параметра α в уравнении (147.11) получаются иными, чем в случае уравнения (147.8). Поэтому нет и необходимости подробно исследовать случай электромагнитных волн магнитного типа.
8. Выведем теперь соотношение между фазовой vϕ=ω/kz и групповой vr=dω/dkz скоростями распространения волн в волноводе, одинаково справедливое для волн электрического и магнитного типа. С этой целью возьмем одно из собственных значений α. Если изменять частоту ω, то одновременно у рассматриваемой волны будут меняться k и kz. Поэтому, дифференцируя соотношение (147.5) при постоянном α и принимая во внимание (147.6), получим
εμωdωc2+ω22c2d(εμ)dωdω=kzdkz,

откуда
vΦvr[1+ω2εμd(εμ)dω]=c2εμ=v2,

где v=c/εμ фазовая скорость волны в безграничной среде. Если среда, заполняющая волновод, не обладает дисперсией, то
vϕvr=v2.

В частности, если средой в волноводе является вакуум, то vϕvr= =c2. Фазовая скорость не может быть скоростью сигнала, и на нее требования теории относительности не распространяются. Поэтому всегда vϕ>c. Но тогда из последнего соотношения следует, что всегда vr<c, как этого и требует теория относительности, поскольку группа волн, распространяющаяся с групповой скоростью, может служить сигналом.
9. Групповая скорость при определенных ограничениях является также средней скоростью энергии, переносимой волной. Докажем эту теорему в предположении, что среда непоглощающая, но диспергирующая. Зависимость ε и μ от температуры принимать во внимание не будем. Тогда внутренняя энергия среды будет совпадать с ее свободной энергией. Для средней по времени плотности электромагнитной энергии электродинамика дает
W¯=18π[d(εω)dωEE+d(μω)dωHH]+ компл. сопр. 
(см. т. IV, § 88). Что касается вектора плотности потока электромагнитной энергии, то он во всех случаях определяется вектором Пойнтинга S. Его среднее значение для монохроматического поля дается выражением
S=c16π[EH]+ компл. сопр. 

Средняя скорость распространения электромагнитной энергии определяется формулой
vэл =S¯W¯.

Для лучшего уяснения вопроса совпадение скоростей vэл и vr докажем сначала не для волновода, а для более простого случая неограниченной однородной среды. Если в такой среде распространяется плоская волна в направлении единичного вектора N, то поля E и H связаны соотношениями
εE=μ[NH];μH=[NE].

Пользуясь этими выражениями, из (147.14), получим
W¯=116π{d(ωε)dω+εμd(ωμ)dω}EE.

Для преобразования выражения в фигурных скобках запишем выражение (147.6) в виде k2=(1/c2)(ωε)(εμ) и продифференцируем его по ω. Тогда
2kdkdω=ωμc2d(ωε)dω+ωεc2d(ωμ)dω,

откуда
d(ωε)dω+εμd(ωμ)dω=2kc2ωμdkdω=2ωcεμcωμdkdω=2cεμdkdω.

Таким образом,
W¯=c8πεμdkdω.

Далее, выражение (147.15) переходит в
S=c8πεμ(EE)N.

В результате получается
vэл =S¯W¯=dωdk=vr
10. Распространим теперь полученный результат на случай электромагнитной волны в волноводе. Не нарушая общности, ограничимся волнами электрического типа. В случае волновода в формуле (147.16) величины S¯ и W¯ следует заменить на средние значения полного потока энергии через поперечное сечение волновода и энергии, приходящейся на единицу его длины. Средний поток энергии в единицу времени через поперечное сечение волновода определяется выражением
S¯zdf=c16π(ExHy+EyHx)df+ компл. сопр. 

причем интегрирование ведется по площади поперечного сечения волновода. Подставляя вместо E и H их выражения из (147.7), получим
S¯zdf=ωεkz8πα4(EzxEzx+EzyEzy)df.

Средняя энергия, приходящаяся на единицу длины волновода,
W¯df==116π1α4[kz2dωεdω+ω2ε2c2d(ωμ)dω](EzxEzx+EzyEzy)df++116πd(ωε)dωEzEzdf.

Очевидно,
(EzxEzx+EzyEzy)df==[x(EzEzx)+y(EzEzy)]dfEz(2Ezx2+2Ezy2)df.

К первому интегралу в правой части применим математическую теорему Гаусса. Тогда для этого интеграла получим
Ez(Ezxnx+Ezyny)df=EzEzndl,

где интегрирование ведется по замкнутому контуру — линии, получающейся при нормальном сечении волновода, a dl означает элемент длины этого контура. Так как на контуре Ez=0, то рассматриваемый интеграл обращается в нуль.

В случае волны магнитного типа вместо Ez надо брать Hz, но соответствующий интеграл также обращается в нуль, так как на контуре
Hz/n=0. Только в этом пункте доказательство для волн магнитного типа отличается от доказательства для волн электрического типа. Второй же интеграл в правой части преобразуется при помощи (147.8), в результате чего получим
(EzxEzx+EzyEzy)df=α2EzEzdf.
Умножим это выражение на 1α2d(ωε)dω и прибавим его к правой части (147.8). Тогда, принимая во внимание (147.6), найдем
W¯df=ω2ε16πα4c2[μd(ωε)dω+εd(εμ)dω](EzxEzx+EzyEzy)df.

Поделив (147.17) на (147.18), получим выражение для средней скорости распространения энергии вдоль волновода
vэл =cvф 1εμ(1+ω2εμd(εμ)dω).

Сравнивая эту формулу с (147.12), убеждаемся, что средняя скорость распространения волны в волноводе совпадает с групповой скоростью.
ЗАДАЧИ
1. Найти собственные значения и функции уравнений (147.8) и (147.11) в волноводе прямоугольного поперечного сечения при соответствующих граничных условиях.

Решение. Ищем решение уравнения (147.8) с разделяющимися переменными, т. е. решение в виде
Ez=φ(x)ψ(y).

После подстановки этого выражения в уравнение (147.8) получим
1φ(x)d2φdx2+1ψ(y)d2ψdy2=α2.

Первое слагаемое здесь зависит только от x, а второе — только от y. Сумма этих слагаемых есть постоянная. Это возможно тогда и только тогда, когда эти слагаемые сами постоянны. Обозначив их через αx2 и αy2, получим
1φ(x)d2φdx2=αx2,1ψ(y)d2ψdy2=αy2,

причем αx2+αy2=α2. Решения этих уравнений, удовлетворяющие граничным условиям φ(0)=φ(a)=ψ(0)=ψ(b)=0, где a и b поперечные размеры волновода вдоль осей x и y соответственно, имеют вид
φ(x)=sinnxπxa,ψ(y)=sinnyπyb,nx,ny=1,2,3,

Таким образом, собственными функциями будут
Ez=sinnxπxasinnyπyb,

а собственными значениями
α2=αx2+αy2=π2(nx2a2+ny2b2).

В случае волн магнитного вида собственные функции
Hz=cosnxπxacosnyπyb,

а собственные значения такие же, как и в первом случае.
2. Пусть волновод заполнен однородной средой с μ(ω)=1. При каком законе дисперсии ε=ε(ω) связь между фазовой скоростью и скоростью движения энергии в волноводе принимает вид
vэл vϕ=c2.

Решение. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выражение (147.19) переходило в (147.22), т. е.
ε(1+ω2εdεdω)=1

или
(ε1)dω+ω2dε=0.

Интегрируя это соотношение, найдем
ε1= const ω2.

Таким законом дисперсии обладает ионизированный газ — плазма, причем в этом случае const отрицательна.

1
Оглавление
email@scask.ru