1. К переменным токам без всяких изменений применимо первое правило Кирхгофа. Действительно, точки схождения проводов обладают пренебрежимо малыми емкостями, в них не могут накапливаться электрические заряды. Поэтому в любой момент времени сумма сил токов, подходящих к точке разветвления, должна равняться сумме сил токов, отходящих от нее. Второе правило Кирхгофа также применимо к синусоидальным переменным токам, если омические сопротивления $R$ всюду заменить на соответствующие комплексные сопротивления (импедансы) $Z$. Это правило непосредственно следует из уравнения Максвелла
\[
\oint E_{l} d l=-\frac{d \Phi}{d t} .
\]

Для доказательства выделим в разветвленной сети какой-либо замкнутый контур, например контур, изображенный на рис. 292. Предположим, что выполнено условие квазистационарности. Тогда предыдущее уравнение для выделенного контура запишется в виде
\[
\sum_{k}\left(I_{k} R_{k}+\frac{q_{k}}{C_{k}}-\mathscr{E}_{k}\right)=-\sum L_{k} \frac{d I_{k}}{d t} .
\]

Приложенные напряжения $\mathscr{E}_{k}$ считаются положительными, если при обходе контура источник тока проходится от отрицательного полюса к положительному. Написанное уравнение справедливо и для неустановившихся процес-

Рис. 292 сов, причем электродвижущие силы $\mathscr{E}_{k}$ могут меняться во времени как угодно. Допустим теперь, что все электродвижущие силы $\mathscr{E}_{k}$ меняются во времени синусоидально, т. е. в комплексной форме $\mathscr{E}_{k} \sim e^{i \omega t}$. Тогда в случае установившихся процессов заряды $q_{k}$ и токи $I_{k}=\dot{q}_{k}$ будут меняться во времени так же, а предыдущее уравнение перейдет в
\[
\sum_{k} I_{k}\left(R_{k}+i \omega L_{k}-\frac{i}{\omega C_{k}}\right)=\sum_{k} \mathscr{E}_{k},
\]

или
\[
\sum Z_{k} I_{k}=\sum \mathscr{E}_{k}
\]

а это и есть второе правило Кирхгофа.
2. Все результаты, полученные формальным применением правил Кирхгофа к постоянным токам, в комплексной форме сохраняют силу и для установившихся синусоидальных токов. В частности, при параллельном соединении нескольких комплексных сопротивлений результирующее комплексное сопротивление определяется формулой
\[
\frac{1}{Z}=\sum \frac{1}{Z_{k}} .
\]

Рассмотрим частный случай, когда соединены параллельно катушка самоиндукции и конденсатор (рис. 293). По первому правилу Кирхгофа
\[
I+I_{2}=I_{1} .
\]

По второму правилу
\[
i \omega L I_{1}-\frac{i I_{2}}{\omega C}=0 .
\]

Исключим из этих уравнений, например, ток $I_{2}$. Получим
\[
I=I_{1}\left(1-\omega^{2} L C\right)
\]

или
\[
I=I_{1}\left(1-\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right) .
\]

Если $\omega=\omega_{0}$, то $I=0$, и, следовательно, $I_{1}=I_{2}$. Токи $I_{1}$ и $I_{2}$ могут быть отличны от нуля. Однако колебания в контуре становятся совершенно независимыми от внешнего тока. Причина всего этого в том, что при $\omega=\omega_{0}$ (т. е. при $\omega L=1 / \omega C$ ) комплексное сопротивление $Z$ контура обращается в бесконечность, как в этом легко убедиться с помощью формулы (130.2). Контур ведет себя как непроницаемая пробка, через которую внешний ток пройти не может, а в катушке могут совершаться только свободные колебания. Амплитуды этих колебаний легко найти из условия, что напряжение на конденсаторе или на катушке самоиндукции в любой момент времени должно равняться внешнему приложенному напряжению $\mathscr{E}$. Это дает
\[
I_{1}=\frac{\mathscr{E}}{i \omega L}, \quad I_{2}=-\frac{\mathscr{E}}{-i / \omega C}=\frac{\mathscr{E}}{i \omega L} .
\]

Возникает вопрос, как в колебательном контуре могли появиться токи $I_{1}$ и $I_{2}$, если его сопротивление переменному току бесконечно велико. На этот вопрос законы и соотношения, которыми мы пользовались, ответа дать не могут, так как они относятся толъко к установившимся состояниям. Последние устанавливаются в результате переходных процессов. Во время переходных процессов ток во внешней цепи не равен нулю, в колебательный контур поступают токи и заряды, идет накопление электромагнитной энергии. Это происходит до тех пор, пока в любой момент времени напряжения на конденсаторе и катушке самоиндукции не уравновесят внешнее приложенное напряжение. Когда это произойдет, дальнейшее поступление новых зарядов и токов в колебательный контур прекратится. Начнут совершаться свободные колебания, как если бы контур был автономной колебательной системой. Однако эта автономия сохраняется только до тех пор, пока внешняя электродвижущая сила $\mathscr{E}=\mathscr{E}_{0} \cos \omega t$ остается неизменной. Если изменить амплитуду $\mathscr{E}_{0}$, то $\mathscr{E}$ перестанет уравновешивать напряжения на конденсаторе и катушке самоиндукции. Появится ток во внешней цепи, и начнется новый процесс установления колебаний.

Разумеется, без поступления энергии извне незатухающие колебания возможны только тогда, когда омическое сопротивление контура равно нулю. Учтем теперь омическое сопротивление. Обозначим буквой $R$ омическое сопротивление катушки самоиндукции. Омическим сопротивлением всех остальных проводов пренебрежем. Тогда
\[
\begin{array}{c}
I_{1}=\frac{\mathscr{E}}{R+i \omega L}, \quad I_{2}=-i \omega C \mathscr{E}, \\
I=I_{1}-I_{2}=\frac{R-i \omega L+i \omega^{2} L^{2} \omega C+i \omega C R^{2}}{R^{2}+\omega^{2} L^{2}} \mathscr{E} .
\end{array}
\]

При резонансе $\omega=\omega_{0}$ и, следовательно, $\omega C=1 / \omega L$. В этом случае
\[
I=\frac{R+i R \cdot R / \omega L}{R^{2}+\omega^{2} L^{2}} \mathscr{E} .
\]

Пусть сопротивление $R$ пренебрежимо мало по сравнению с индуктивным сопротивлением $\omega L$. Тогда
\[
I \approx \frac{R}{\omega^{2} L^{2}} \mathscr{E}=i \frac{2 \gamma}{\omega} I_{1}=i \frac{I_{1}}{Q} .
\]

Следовательно,
\[
\left|I_{1} / I\right|=Q .
\]

Чем больше добротность колебательного контура, тем меньше ток $I$ в общей цепи. Таким образом, при $\omega=\omega_{0}$ малым током $I$ в колебательном контуре большой добротности можно возбудить и поддерживать большие токи. Это явление называется резонансом токов. Его можно наблюдать, если в схему рис. 313 ввести амперметры для измерения токов $I, I_{1}$ и $I_{2}$. Вдали от резонанса токи $I, I_{1}$ и $I_{2}$ не очень сильно отличаются по величине. Изменением индуктивности катушки или емкости конденсатора настроим колебательный контур в резонанс. Токи $I_{1}$ и $I_{2}$ при этом сделаются почти одинаковыми, а ток $I$ — близким к нулю.