1. К переменным токам без всяких изменений применимо первое правило Кирхгофа. Действительно, точки схождения проводов обладают пренебрежимо малыми емкостями, в них не могут накапливаться электрические заряды. Поэтому в любой момент времени сумма сил токов, подходящих к точке разветвления, должна равняться сумме сил токов, отходящих от нее. Второе правило Кирхгофа также применимо к синусоидальным переменным токам, если омические сопротивления $R$ всюду заменить на соответствующие комплексные сопротивления (импедансы) $Z$. Это правило непосредственно следует из уравнения Максвелла
$$\oint E_{l}dl=-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}.$$

Для доказательства выделим в разветвленной сети какой-либо замкнутый контур, например контур, изображенный на рис. 292. Предположим, что выполнено условие квазистационарности. Тогда предыдущее уравнение для выделенного контура запишется в виде
$$\sum _k(I_k{R}_k+\frac{q_k}{C_k}-{\mathcal{E}}_k)=-\sum L_k\frac{d{I}_k}{dt}.$$

Приложенные напряжения ${\mathcal{E}}_k$ считаются положительными, если при обходе контура источник тока проходится от отрицательного полюса к положительному. Написанное уравнение справедливо и для неустановившихся процес-

Рис. 292 сов, причем электродвижущие силы ${\mathcal{E}}_k$ могут меняться во времени как угодно. Допустим теперь, что все электродвижущие силы ${\mathcal{E}}_k$ меняются во времени синусоидально, т. е. в комплексной форме ${\mathcal{E}}_k\sim e^{i\omega t}$. Тогда в случае установившихся процессов заряды $q_k$ и токи $I_k={\dot{q}}_k$ будут меняться во времени так же, а предыдущее уравнение перейдет в
$$\sum _k{I}_k(R_k+i\omega L_k-\frac{i}{\omega C_k})=\sum _k{\mathcal{E}}_k,$$

или
$$\sum Z_k{I}_k=\sum {\mathcal{E}}_k$$

а это и есть второе правило Кирхгофа.
2. Все результаты, полученные формальным применением правил Кирхгофа к постоянным токам, в комплексной форме сохраняют силу и для установившихся синусоидальных токов. В частности, при параллельном соединении нескольких комплексных сопротивлений результирующее комплексное сопротивление определяется формулой
$$\frac{1}{Z}=\sum \frac{1}{Z_k}.$$

Рассмотрим частный случай, когда соединены параллельно катушка самоиндукции и конденсатор (рис. 293). По первому правилу Кирхгофа
$$I+I_2=I_1.$$

По второму правилу
$$i\omega L{I}_1-\frac{i{I}_2}{\omega C}=0.$$

Исключим из этих уравнений, например, ток $I_2$. Получим
$$I=I_1(1-{\omega }^{2}LC)$$

или
$$I=I_1(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}).$$

Если $\omega ={\omega }_0$, то $I=0$, и, следовательно, $I_1=I_2$. Токи $I_1$ и $I_2$ могут быть отличны от нуля. Однако колебания в контуре становятся совершенно независимыми от внешнего тока. Причина всего этого в том, что при $\omega ={\omega }_0$ (т. е. при $\omega L=1/\omega C$ ) комплексное сопротивление $Z$ контура обращается в бесконечность, как в этом легко убедиться с помощью формулы (130.2). Контур ведет себя как непроницаемая пробка, через которую внешний ток пройти не может, а в катушке могут совершаться только свободные колебания. Амплитуды этих колебаний легко найти из условия, что напряжение на конденсаторе или на катушке самоиндукции в любой момент времени должно равняться внешнему приложенному напряжению $\mathcal{E}$. Это дает
$$I_1=\frac{\mathcal{E}}{i\omega L},I_2=-\frac{\mathcal{E}}{-i/\omega C}=\frac{\mathcal{E}}{i\omega L}.$$

Возникает вопрос, как в колебательном контуре могли появиться токи $I_1$ и $I_2$, если его сопротивление переменному току бесконечно велико. На этот вопрос законы и соотношения, которыми мы пользовались, ответа дать не могут, так как они относятся толъко к установившимся состояниям. Последние устанавливаются в результате переходных процессов. Во время переходных процессов ток во внешней цепи не равен нулю, в колебательный контур поступают токи и заряды, идет накопление электромагнитной энергии. Это происходит до тех пор, пока в любой момент времени напряжения на конденсаторе и катушке самоиндукции не уравновесят внешнее приложенное напряжение. Когда это произойдет, дальнейшее поступление новых зарядов и токов в колебательный контур прекратится. Начнут совершаться свободные колебания, как если бы контур был автономной колебательной системой. Однако эта автономия сохраняется только до тех пор, пока внешняя электродвижущая сила $\mathcal{E}={\mathcal{E}}_0\cos \omega t$ остается неизменной. Если изменить амплитуду ${\mathcal{E}}_0$, то $\mathcal{E}$ перестанет уравновешивать напряжения на конденсаторе и катушке самоиндукции. Появится ток во внешней цепи, и начнется новый процесс установления колебаний.

Разумеется, без поступления энергии извне незатухающие колебания возможны только тогда, когда омическое сопротивление контура равно нулю. Учтем теперь омическое сопротивление. Обозначим буквой $R$ омическое сопротивление катушки самоиндукции. Омическим сопротивлением всех остальных проводов пренебрежем. Тогда
$$\begin{array}{c}{I}_1=\frac{\mathcal{E}}{R+i\omega L},I_2=-i\omega C\mathcal{E},\\ I=I_1-I_2=\frac{R-i\omega L+i{\omega }^2{L}^2\omega C+i\omega C{R}^2}{R^2+{\omega }^2{L}^2}\mathcal{E}.\end{array}$$

При резонансе $\omega ={\omega }_0$ и, следовательно, $\omega C=1/\omega L$. В этом случае
$$I=\frac{R+iR\cdot R/\omega L}{R^2+{\omega }^2{L}^2}\mathcal{E}.$$

Пусть сопротивление $R$ пренебрежимо мало по сравнению с индуктивным сопротивлением $\omega L$. Тогда
$$I\approx \frac{R}{{\omega }^2{L}^2}\mathcal{E}=i\frac{2\gamma }{\omega }{I}_1=i\frac{I_1}{Q}.$$

Следовательно,
$$\left|I_1/I\right|=Q.$$

Чем больше добротность колебательного контура, тем меньше ток $I$ в общей цепи. Таким образом, при $\omega ={\omega }_0$ малым током $I$ в колебательном контуре большой добротности можно возбудить и поддерживать большие токи. Это явление называется резонансом токов. Его можно наблюдать, если в схему рис. 313 ввести амперметры для измерения токов $I,I_1$ и $I_2$. Вдали от резонанса токи $I,I_1$ и $I_2$ не очень сильно отличаются по величине. Изменением индуктивности катушки или емкости конденсатора настроим колебательный контур в резонанс. Токи $I_1$ и $I_2$ при этом сделаются почти одинаковыми, а ток $I$ — близким к нулю.