1. Простейшей системой точечных зарядов является электрический диполь (двойной полюс). Так называется совокупность равных по величине, но противоположных по знаку двух точечных зарядов $-q$ и $+q$, сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние (рис. 6). Пусть 1 — радиус-вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Вектор $\mathbf{p}=q\mathbf{l}$ называется электрическим моментом диполя или диполъным моментом. Если длина $l$ пренебре-
Рис. 6
Рис. 7

жимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется точечным. Вычислим электрическое поле точечного диполя. В окончательных формулах, которые мы получим, безразлично (в пределах принятой точности расчета), от какой точки диполя отсчитывается расстояние $r$ до точки наблюдения.

Рассмотрим сначала случай, когда точка наблюдения $A$ лежит на продолжении оси диполя (рис. 7). Напряженность электрического поля в этой точке будет
$$E=q(\frac{1}{r_2^2}-\frac{1}{r_1^2})\approx q\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}\right)(r_2-r_1),\text{ или }E=\frac{2ql}{r^3}=\frac{2p}{r^3}.$$

В векторной форме:
$$\mathbf{E}=\frac{2\mathbf{p}}{r^3}.$$

Допустим теперь, что точка наблюдения $A$ лежит на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его центра $O$ (рис. 8). Вектор $\mathbf{E}$ получается геометрическим сложением полей ${\mathbf{E}}_1$ и ${\mathbf{E}}_2$, возбуждаемых точечными зарядами $-q$ и $+q$. Как видно из рисунка, вектор $\mathbf{E}$ антипараллелен $\mathbf{p}$, а его длина (для точечного диполя) равна
$$E=E_1\alpha =\frac{q}{r^2}\frac{l}{r}=\frac{p}{r^3}.$$

В векторной форме:
$$\mathbf{E}=-\frac{\mathbf{p}}{r^3}.$$

Не обязательно, чтобы перпендикуляр $AO$ проходил через центр (точечного) диполя. В принятом приближении формула (4.2) остается верной и тогда, когда за $O$ принята любая точка диполя. Ее можно выбрать даже вне диполя. Важно только, чтобы ее расстояние до центра диполя было пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием до точки наблюдения.
Рис. 8
Рис. 9
Общий случай сводится к разобранным частным случаям. Опустим из заряда $+q$ перпендикуляр $CD$ на линию наблюдения $BA$ (рис. 9). Поместим в точке $D$ два точечных заряда: $+q$ и $-q$. Это не изменит поля. Но полученную систему четырех зарядов можно рассматривать как совокупность двух диполей с дипольными моментами ${\mathbf{p}}_1$ и ${\mathbf{p}}_2$, изображенными на рис. 9. Вообще, при вычислении напряженности поля, а также сил, действующих на диполь, последний всегда можно заменить системой любого числа диполей, геометрическая сумма моментов которых равна моменту рассматриваемого диполя. Применяя теперь к диполям ${\mathbf{p}}_1$ и ${\mathbf{p}}_2$ формулы (4.1) и (4.2), получим
$$\mathbf{E}=\frac{1}{r^3}(2{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_2),$$

или, исключая ${\mathbf{p}}_2$ с помощью соотношения ${\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2=\mathbf{p}$,
$$\mathbf{E}=\frac{1}{r^3}(3{\mathbf{p}}_1-\mathbf{p}),$$

или, наконец,
$$\mathbf{E}=\frac{3(pr)}{r^5}\mathbf{r}-\frac{\mathbf{p}}{r^3}.$$
2. Рассмотрим теперь силы, действующие на диполь в электрическом поле. Если поле однородно, то результирующая сила $\mathbf{F}$ равна нулю, так как силы ${\mathbf{F}}_1$ и ${\mathbf{F}}_2$, действующие на отрицательный и положительный заряды диполя, равны по модулю и противоположны по направлению (рис. 10). Момент этих сил $\mathbf{M}=$ $=\left[\mathbf{l}{\mathbf{F}}_2\right]=q[\mathbf{l}\mathbf{E}]$, или
$$\mathbf{M}=[\mathbf{p}\mathbf{E}].$$

Момент М стремится повернуть ось Рис. 10 диполя в направлении поля Е. Существуют два положения равновесия диполя: когда диполь параллелен электрическому полю и когда он антипараллелен ему. Первое положение устойчиво, второе — неустойчиво. Формула (4.4) верна также для точечного диполя в неоднородном поле.

Если поле неоднородно, то сила $\mathbf{F}={\mathbf{F}}_1+{\mathbf{F}}_2$, вообще говоря, не обращается в нуль. В этом случае $\mathbf{F}=q({\mathbf{E}}_2-{\mathbf{E}}_1)$, где ${\mathbf{E}}_1$ и ${\mathbf{E}}_2-$ напряженности поля в точках нахождения зарядов $-q$ и $+q$. Для точечного диполя разность ${\mathbf{E}}_2-{\mathbf{E}}_1$ можно приближенно заменить дифференциалом
$$d\mathbf{E}=l_x\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial x}+l_y\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial y}+l_z\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial z}.$$

В этом приближении
$$\mathbf{F}=p_x\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial x}+p_y\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial y}+p_z\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial z}.$$

В целях сокращения письма введем оператор «набла», или оператор Гамильтона (1805-1865):
\[

abla=\mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k} \frac{\partial}{\partial z} .
\]

Скалярным умножением р на $abla$ получаем оператор
$$(\mathbf{p}abla)=p_x\frac{\partial }{\partial x}+p_y\frac{\partial }{\partial y}+p_z\frac{\partial }{\partial z}.$$

С помощью этого оператора формула (4.5) записывается так:
$$\mathbf{F}=(\mathbf{p}abla)\mathbf{E}.$$

Смысл этой формулы раскрывается при сравнении ее с выражением (4.5). В частности, если ось $X$ направить вдоль вектора $\mathbf{p}$ ( $p_x=p$, $p_y=p_z=0)$, то
$$\mathbf{F}=p\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial x}.$$
3. Нейтральная система точечных зарядов, занимающая небольшой объем, в первом приближении ведет себя как точечный диполь. Действительно, разделим мысленно заряды системы на более мелкие части, и притом так, чтобы каждому заряду соответствовал равный заряд противоположного знака. Сгруппировав такие заряды попарно, можно рассматривать нашу систему как систему диполей ${\mathbf{p}}_i$. При вычислении поля на расстояниях, больших по сравнению с размерами системы, такие диполи можно считать точечными. Их можно перенести в одну точку и векторно сложить в один точечный диполь с дипольным моментом $\mathbf{p}=\sum {\mathbf{p}}_i$. Так же можно поступать при вычислении сил, действующих на систему зарядов во внешнем электрическом поле $\mathbf{E}$. Необходимо только, чтобы размеры системы были настолько малы, чтобы во всех точках занимаемого ею объема внешнее поле $\mathbf{E}$ и его пространственные производные $\partial \mathbf{E}/\partial x,\partial \mathbf{E}/\partial y,\partial \mathbf{E}/\partial z$ могли с достаточной точностью считаться одинаковыми.

Найдем общее выражение для дипольного момента нейтральной системы зарядов. Предполагая сначала, что система указанным выше способом разделена на пары равных зарядов противоположного знака, напишем
$$\mathbf{p}=\sum q_i^{+}{\mathbf{l}}_i=\sum q_i^{+}({\mathbf{r}}_i^{+}-{\mathbf{r}}_i^{-})=\sum (q_i^{+}{\mathbf{r}}_i^{+}+q_i^{-}{\mathbf{r}}_i^{-}),$$

где $q_i^{+},{\mathbf{r}}_i^{+}$и $q_i^{-},{\mathbf{r}}_i^{-}-$величины положительных и отрицательных зарядов и их радиусы-векторы соответственно. Теперь можно снова соединить мысленно разделенные заряды и вернуться к первоначальной системе их. Тогда получится
$$\mathbf{p}=\sum q_i{\mathbf{r}}_i,$$

где суммирование производится уже по всем зарядам первоначальной системы, как положительным, так и отрицательным.

Для электрически нейтральной системы величина суммы (4.9) не зависит от выбора начала координат. Действительно, при переходе к новой (штрихованной) системе координат с другим началом ${\mathbf{r}}_i^{\prime }={\mathbf{r}}_i+\mathbf{a}$, где а — постоянный вектор. Поэтому дипольный момент в новой системе координат будет
$${\mathbf{p}}^{\prime }=\sum q_i{\mathbf{r}}_i^{\prime }=\sum q_i{\mathbf{r}}_i+\mathbf{a}\sum q_i.$$

Последнее слагаемое обращается в нуль из-за электрической нейтральности системы, а потому ${\mathbf{p}}^{\prime }=\sum q_i{\mathbf{r}}_i=\mathbf{p}$.

ЗАДАЧИ

1. Найти силу взаимодействия $F$ между точечным зарядом $q$ и точечным диполем $\mathbf{p}$, если расстояние между ними равно $r$ и дипольный момент $\mathbf{p}$ направлен вдоль соединяющей их прямой.

Ответ. $F=2qp/r^3$. Диполь будет притягиваться к заряду, если он обращен к нему противоположно заряженным концом, и отталкиваться в противном случае.
2. Найти силу взаимодействия $F$ двух точечных диполей ${\mathbf{p}}_1$ и ${\mathbf{p}}_2$, дипольные моменты которых направлены вдоль соединяющей их прямой, а расстояние между диполями равно $r$.

Ответ. $F=6p_1{p}_2/r^4$. Диполи притягиваются, если они обращены друг к другу противоположно заряженными концами, и отталкиваются в противном случае.
3. Найти уравнение силовых линий электрического поля точечного диполя в полярной системе координат.
Решение. Разложим вектор $\mathbf{p}$ (рис. 11) на составляющую ${\mathbf{p}}_{\Vert }$вдоль радиуса $\mathbf{r}$ и составляющую ${\mathbf{p}}_{\perp }$, к нему перпендикулярную. Соответствующие им поля в точке наблюдения $A$ будут
$${\mathbf{E}}_{\Vert }=\frac{2{\mathbf{p}}_{\Vert }}{r^3},{\mathbf{E}}_{\perp }=-\frac{{\mathbf{p}}_{\perp }}{r^3}.$$

Угол $\beta$ между радиусом $\mathbf{r}$ и электрической силовой линией определится формулой

Рис. 11
$$\mathrm{tg}\beta =\frac{E_{\perp }}{E_{\Vert }}=\frac{p_{\perp }}{2p_{\Vert }}=\frac{1}{2}\mathrm{tg}\vartheta .$$

Проекция бесконечно малого участка силовой линии на направление вектора ${\mathbf{p}}_{\perp }$ может быть, с одной стороны, представлена как $dr\mathrm{tg}\beta =(dr/2)\mathrm{tg}\vartheta$, с другой стороны, как $rd\vartheta$. Поэтому
$$\frac{dr}{2}\mathrm{tg}\vartheta =rd\vartheta$$

Интегрируя это уравнение, получаем искомое уравнение электрической силовой линии:
$$r=r_0{\sin }^2\vartheta .$$

Постоянная $r_0$ имеет смысл длины радиуса-вектора $\mathbf{r}$ в экваториальной плоскости, т. е. при $\vartheta =\pi /2$.
4. Возможны ли круговые движения с постоянной скоростью точечного электрического заряда вокруг неподвижного точечного электрического диполя?

Ответ. Да, возможны, и притом на любом расстоянии заряда от диполя. Плоскость круговой орбиты заряда перпендикулярна к оси диполя. Угол $\alpha$ между направлением дипольного момента и радиусом-вектором, проведенным от диполя к движущемуся заряду, определяется выражением $\cos \alpha =\mp \sqrt{1/3}$, где минус относится к положительному заряду, а плюс к отрицательному.