1. Простейшей системой точечных зарядов является электрический диполь (двойной полюс). Так называется совокупность равных по величине, но противоположных по знаку двух точечных зарядов $-q$ и $+q$, сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние (рис. 6). Пусть 1 – радиус-вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Вектор $\mathbf{p}=q \mathbf{l}$ называется электрическим моментом диполя или диполъным моментом. Если длина $l$ пренебре-
Рис. 6
Рис. 7

жимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется точечным. Вычислим электрическое поле точечного диполя. В окончательных формулах, которые мы получим, безразлично (в пределах принятой точности расчета), от какой точки диполя отсчитывается расстояние $r$ до точки наблюдения.

Рассмотрим сначала случай, когда точка наблюдения $A$ лежит на продолжении оси диполя (рис. 7). Напряженность электрического поля в этой точке будет
\[
E=q\left(\frac{1}{r_{2}^{2}}-\frac{1}{r_{1}^{2}}\right) \approx q \frac{d}{d r}\left(\frac{1}{r^{2}}\right)\left(r_{2}-r_{1}\right), \text { или } E=\frac{2 q l}{r^{3}}=\frac{2 p}{r^{3}} .
\]

В векторной форме:
\[
\mathbf{E}=\frac{2 \mathbf{p}}{r^{3}} .
\]

Допустим теперь, что точка наблюдения $A$ лежит на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его центра $O$ (рис. 8). Вектор $\mathbf{E}$ получается геометрическим сложением полей $\mathbf{E}_{1}$ и $\mathbf{E}_{2}$, возбуждаемых точечными зарядами $-q$ и $+q$. Как видно из рисунка, вектор $\mathbf{E}$ антипараллелен $\mathbf{p}$, а его длина (для точечного диполя) равна
\[
E=E_{1} \alpha=\frac{q}{r^{2}} \frac{l}{r}=\frac{p}{r^{3}} .
\]

В векторной форме:
\[
\mathbf{E}=-\frac{\mathbf{p}}{r^{3}} .
\]

Не обязательно, чтобы перпендикуляр $A O$ проходил через центр (точечного) диполя. В принятом приближении формула (4.2) остается верной и тогда, когда за $O$ принята любая точка диполя. Ее можно выбрать даже вне диполя. Важно только, чтобы ее расстояние до центра диполя было пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием до точки наблюдения.
Рис. 8
Рис. 9
Общий случай сводится к разобранным частным случаям. Опустим из заряда $+q$ перпендикуляр $C D$ на линию наблюдения $B A$ (рис. 9). Поместим в точке $D$ два точечных заряда: $+q$ и $-q$. Это не изменит поля. Но полученную систему четырех зарядов можно рассматривать как совокупность двух диполей с дипольными моментами $\mathbf{p}_{1}$ и $\mathbf{p}_{2}$, изображенными на рис. 9. Вообще, при вычислении напряженности поля, а также сил, действующих на диполь, последний всегда можно заменить системой любого числа диполей, геометрическая сумма моментов которых равна моменту рассматриваемого диполя. Применяя теперь к диполям $\mathbf{p}_{1}$ и $\mathbf{p}_{2}$ формулы (4.1) и (4.2), получим
\[
\mathbf{E}=\frac{1}{r^{3}}\left(2 \mathbf{p}_{1}-\mathbf{p}_{2}\right),
\]

или, исключая $\mathbf{p}_{2}$ с помощью соотношения $\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}=\mathbf{p}$,
\[
\mathbf{E}=\frac{1}{r^{3}}\left(3 \mathbf{p}_{1}-\mathbf{p}\right),
\]

или, наконец,
\[
\mathbf{E}=\frac{3(p r)}{r^{5}} \mathbf{r}-\frac{\mathbf{p}}{r^{3}} .
\]
2. Рассмотрим теперь силы, действующие на диполь в электрическом поле. Если поле однородно, то результирующая сила $\mathbf{F}$ равна нулю, так как силы $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$, действующие на отрицательный и положительный заряды диполя, равны по модулю и противоположны по направлению (рис. 10). Момент этих сил $\mathbf{M}=$ $=\left[\mathbf{l} \mathbf{F}_{2}\right]=q[\mathbf{l E}]$, или
\[
\mathbf{M}=[\mathbf{p E}] .
\]

Момент М стремится повернуть ось Рис. 10 диполя в направлении поля Е. Существуют два положения равновесия диполя: когда диполь параллелен электрическому полю и когда он антипараллелен ему. Первое положение устойчиво, второе – неустойчиво. Формула (4.4) верна также для точечного диполя в неоднородном поле.

Если поле неоднородно, то сила $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}$, вообще говоря, не обращается в нуль. В этом случае $\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}_{2}-\mathbf{E}_{1}\right)$, где $\mathbf{E}_{1}$ и $\mathbf{E}_{2}-$ напряженности поля в точках нахождения зарядов $-q$ и $+q$. Для точечного диполя разность $\mathbf{E}_{2}-\mathbf{E}_{1}$ можно приближенно заменить дифференциалом
\[
d \mathbf{E}=l_{x} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial x}+l_{y} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial y}+l_{z} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial z} .
\]

В этом приближении
\[
\mathbf{F}=p_{x} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial x}+p_{y} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial y}+p_{z} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial z} .
\]

В целях сокращения письма введем оператор «набла», или оператор Гамильтона (1805-1865):
\[

abla=\mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k} \frac{\partial}{\partial z} .
\]

Скалярным умножением р на $
abla$ получаем оператор
\[
(\mathbf{p}
abla)=p_{x} \frac{\partial}{\partial x}+p_{y} \frac{\partial}{\partial y}+p_{z} \frac{\partial}{\partial z} .
\]

С помощью этого оператора формула (4.5) записывается так:
\[
\mathbf{F}=(\mathbf{p}
abla) \mathbf{E} .
\]

Смысл этой формулы раскрывается при сравнении ее с выражением (4.5). В частности, если ось $X$ направить вдоль вектора $\mathbf{p}$ ( $p_{x}=p$, $\left.p_{y}=p_{z}=0\right)$, то
\[
\mathbf{F}=p \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial x} .
\]
3. Нейтральная система точечных зарядов, занимающая небольшой объем, в первом приближении ведет себя как точечный диполь. Действительно, разделим мысленно заряды системы на более мелкие части, и притом так, чтобы каждому заряду соответствовал равный заряд противоположного знака. Сгруппировав такие заряды попарно, можно рассматривать нашу систему как систему диполей $\mathbf{p}_{i}$. При вычислении поля на расстояниях, больших по сравнению с размерами системы, такие диполи можно считать точечными. Их можно перенести в одну точку и векторно сложить в один точечный диполь с дипольным моментом $\mathbf{p}=\sum \mathbf{p}_{i}$. Так же можно поступать при вычислении сил, действующих на систему зарядов во внешнем электрическом поле $\mathbf{E}$. Необходимо только, чтобы размеры системы были настолько малы, чтобы во всех точках занимаемого ею объема внешнее поле $\mathbf{E}$ и его пространственные производные $\partial \mathbf{E} / \partial x, \partial \mathbf{E} / \partial y, \partial \mathbf{E} / \partial z$ могли с достаточной точностью считаться одинаковыми.

Найдем общее выражение для дипольного момента нейтральной системы зарядов. Предполагая сначала, что система указанным выше способом разделена на пары равных зарядов противоположного знака, напишем
\[
\mathbf{p}=\sum q_{i}^{+} \mathbf{l}_{i}=\sum q_{i}^{+}\left(\mathbf{r}_{i}^{+}-\mathbf{r}_{i}^{-}\right)=\sum\left(q_{i}^{+} \mathbf{r}_{i}^{+}+q_{i}^{-} \mathbf{r}_{i}^{-}\right),
\]

где $q_{i}^{+}, \mathbf{r}_{i}^{+}$и $q_{i}^{-}, \mathbf{r}_{i}^{-}-$величины положительных и отрицательных зарядов и их радиусы-векторы соответственно. Теперь можно снова соединить мысленно разделенные заряды и вернуться к первоначальной системе их. Тогда получится
\[
\mathbf{p}=\sum q_{i} \mathbf{r}_{i},
\]

где суммирование производится уже по всем зарядам первоначальной системы, как положительным, так и отрицательным.

Для электрически нейтральной системы величина суммы (4.9) не зависит от выбора начала координат. Действительно, при переходе к новой (штрихованной) системе координат с другим началом $\mathbf{r}_{i}^{\prime}=\mathbf{r}_{i}+\mathbf{a}$, где а – постоянный вектор. Поэтому дипольный момент в новой системе координат будет
\[
\mathbf{p}^{\prime}=\sum q_{i} \mathbf{r}_{i}^{\prime}=\sum q_{i} \mathbf{r}_{i}+\mathbf{a} \sum q_{i} .
\]

Последнее слагаемое обращается в нуль из-за электрической нейтральности системы, а потому $\mathbf{p}^{\prime}=\sum q_{i} \mathbf{r}_{i}=\mathbf{p}$.

ЗАДАЧИ

1. Найти силу взаимодействия $F$ между точечным зарядом $q$ и точечным диполем $\mathbf{p}$, если расстояние между ними равно $r$ и дипольный момент $\mathbf{p}$ направлен вдоль соединяющей их прямой.

Ответ. $F=2 q p / r^{3}$. Диполь будет притягиваться к заряду, если он обращен к нему противоположно заряженным концом, и отталкиваться в противном случае.
2. Найти силу взаимодействия $F$ двух точечных диполей $\mathbf{p}_{1}$ и $\mathbf{p}_{2}$, дипольные моменты которых направлены вдоль соединяющей их прямой, а расстояние между диполями равно $r$.

Ответ. $F=6 p_{1} p_{2} / r^{4}$. Диполи притягиваются, если они обращены друг к другу противоположно заряженными концами, и отталкиваются в противном случае.
3. Найти уравнение силовых линий электрического поля точечного диполя в полярной системе координат.
Решение. Разложим вектор $\mathbf{p}$ (рис. 11) на составляющую $\mathbf{p}_{\|}$вдоль радиуса $\mathbf{r}$ и составляющую $\mathbf{p}_{\perp}$, к нему перпендикулярную. Соответствующие им поля в точке наблюдения $A$ будут
\[
\mathbf{E}_{\|}=\frac{2 \mathbf{p}_{\|}}{r^{3}}, \quad \mathbf{E}_{\perp}=-\frac{\mathbf{p}_{\perp}}{r^{3}} .
\]

Угол $\beta$ между радиусом $\mathbf{r}$ и электрической силовой линией определится формулой

Рис. 11
\[
\operatorname{tg} \beta=\frac{E_{\perp}}{E_{\|}}=\frac{p_{\perp}}{2 p_{\|}}=\frac{1}{2} \operatorname{tg} \vartheta .
\]

Проекция бесконечно малого участка силовой линии на направление вектора $\mathbf{p}_{\perp}$ может быть, с одной стороны, представлена как $d r \operatorname{tg} \beta=(d r / 2) \operatorname{tg} \vartheta$, с другой стороны, как $r d \vartheta$. Поэтому
\[
\frac{d r}{2} \operatorname{tg} \vartheta=r d \vartheta
\]

Интегрируя это уравнение, получаем искомое уравнение электрической силовой линии:
\[
r=r_{0} \sin ^{2} \vartheta .
\]

Постоянная $r_{0}$ имеет смысл длины радиуса-вектора $\mathbf{r}$ в экваториальной плоскости, т. е. при $\vartheta=\pi / 2$.
4. Возможны ли круговые движения с постоянной скоростью точечного электрического заряда вокруг неподвижного точечного электрического диполя?

Ответ. Да, возможны, и притом на любом расстоянии заряда от диполя. Плоскость круговой орбиты заряда перпендикулярна к оси диполя. Угол $\alpha$ между направлением дипольного момента и радиусом-вектором, проведенным от диполя к движущемуся заряду, определяется выражением $\cos \alpha=\mp \sqrt{1 / 3}$, где минус относится к положительному заряду, а плюс к отрицательному.