1. Электрический ток обладает запасом энергии, называемой магнитной. При ее вычислении можно полностью отвлечься от сопротивления проводов, по которым текут токи, полагая это сопротивление равным нулю. Это не может отразиться на общности результата, так как магнитная энергия может зависеть только от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств среды, заполняющей пространство. Считая же провода идеально проводящими, мы упростим рассуждение, так как в расчетах не надо будет учитывать потери энергии на джоулево тепло.

Рассмотрим сначала одиночный неподвижный замкнутый виток проволоки. Пусть в начальный момент сила тока в нем равна нулю. Будем каким-либо способом создавать и наращивать ток в витке $I$. Тогда будет нарастать и магнитный поток через виток $\Phi$. Возникнет электродвижущая сила индукции. Элементарная работа, которую должен совершить внешний источник против электродвижущей силы индукции, будет
\[
\delta A^{\text {внеш }}=-\mathscr{E}^{\text {инд }} I d t
\]

или ввиду соотношения (64.1)
\[
\delta A^{\text {внеш }}=\frac{1}{c} I d \Phi .
\]

Полученное соотношение носит общий характер. Оно справедливо и для ферромагнитных материалов, так как при его выводе относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако если среда не обладает гистерезисом, в частности является пара- или диамагнитной, то работа $\delta A^{\text {внеш пойдет только на увеличение }}$ магнитной энергии $W_{m}$, так что
\[
d W_{m}=\frac{I}{c} d \Phi
\]

В этом параграфе мы будем предполагать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда $\Phi=L I / c$, причем для неподвижного провода самоиндукция $L$ остается постоянной. Используя это и интегрируя, получим
\[
W_{m}=\frac{L}{2}\left(\frac{I}{c}\right)^{2}=\frac{1}{2 c} I \Phi=\frac{\Phi^{2}}{2 L} .
\]
(В практической системе и системе СГСМ вместо $I / c$ следует писать просто I.) Для справедливости формулы (69.3) несущественно, что во время нарастания тока виток оставался неподвижным, так как энергия зависит только от состояния системы, но не от способа, каким было достигнуто это состояние. Например, переход в конечное состояние можно осуществлять следующим образом. Пока в проводе нет тока, деформируем его, чтобы он принял окончательную конфигурацию. Это не требует затраты работы. Затем, сохраняя провод неподвижным, будем наращивать ток до конечного значения $I$. На это потребуется работа $L I^{2} /\left(2 c^{2}\right)$. Она и будет равна искомому приращению магнитной энергии. Приведенное рассуждение показывает, что в формуле (69.3) под $L$ следует понимать самоиндукцию витка в конечном состоянии.

Формула (69.3) освобождает понятие самоиндукции от той неопределенности, на которую было указано в § 68. Действительно, ток $I$ и магнитная энергия $W_{m}$ – величины, определяемые совершенно однозначно. Поэтому по формуле (69.3) можно вычислить также совершенно однозначно и коэффициент самоиндукции $L$. Более того, эта формула может служить для определения $L$ и в тех случаях, когда провод толстый.
2. Обобщим теперь формулу (69.3) на случай произвольного числа витков. Предполагая опять все витки неподвижными, будем увеличивать токи в них. Тогда для элементарной работы против электродвижущей силы индукции можно по аналогии с формулой (69.1) написать
\[
\delta A^{\text {внеш }}=\frac{1}{c} \sum_{i} I_{i} d \Phi_{i}
\]

где суммирование ведется по всем виткам. Магнитная энергия в конечном состоянии представится интегралом
\[
W_{m}=\frac{1}{c} \int \sum I_{i}^{\prime} d \Phi_{i}^{\prime},
\]

где штрихованными буквами $I_{i}^{\prime}$ и $\Phi_{i}^{\prime}$ обозначены переменные (текущие) значения соответствующих величин. Символы $I_{i}$ и $\Phi_{i}$ сохранены для обозначения токов и магнитных потоков в конечном состоянии.

Для вычисления интеграла заметим, что его величина не зависит от «пути интегрирования», т. е. от характера изменения силы токов в проводах. Можно, например, возбуждать токи последовательно: сначала создать ток только в первом витке, доведя его значение до величины $I_{1}$, затем, не меняя $I_{1}$, начать возбуждать ток во втором витке и т. д. Но можно возбуждать токи сразу во всех витках и притом независимо друг от друга. Результат вычисления магнитной энергии во всех случаях будет один и тот же. Чтобы упростить расчет, будем наращивать все токи одновременно и притом так, чтобы они оставались пропорциональными друг другу. Таким образом, в любой момент будет соблюдаться соотношение $I_{i}^{\prime}=\lambda I_{i}$, где $\lambda$ – переменная величина, не зависящая от $i$. В начальном состоянии $\lambda=0$, в конечном $\lambda=1$. Так как при отсутствии ферромагнитных материалов магнитные потоки связаны с токами линейно, то для них справедливы такие же соотношения, т. е. $\Phi_{i}^{\prime}=\lambda \Phi_{i}$, а потому $d \Phi_{i}^{\prime}=\Phi_{i} d \lambda$. Таким образом,
\[
W_{m}=\frac{1}{c} \sum I_{i} \Phi_{i} \int_{0}^{1} \lambda d \lambda,
\]

или после интегрирования
\[
W_{m}=\frac{1}{2 c} \sum I_{i} \Phi_{i}=\frac{1}{2 c^{2}} \sum \sum L_{i k} I_{i} I_{k} .
\]
3. При расчете предполагалось, что в процессе намагничивания магнитная проницаемость $\mu$ оставалась постоянной. Только при этом условии связь между токами и магнитными потоками будет линейной. Можно показать (см. § 73), что если $\mu$ зависит от температуры, то при намагничивании температура магнетика, а с ней и величина $\mu$ будут меняться. В этом случае расчет неприменим. Однако он становится применимым, если при намагничивании температуру поддерживать постоянной. Тогда величина $W_{m}$ будет иметь смысл работы, совершаемой над системой при изотермическом и квазистатическом нарастании тока в проводах. Такая работа в термодинамике называется свободной энергией. Таким образом, формулы (69.3) и (69.5) в общем случае определяют не внутреннюю, а свободную магнитную энергию системы. Здесь все обстоит так же, как и в аналогичном вопросе электростатики (см. § 28, п. 4).
4. Используя формулы (69.4) и (69.5), докажем теорему взаимности для коэффициентов взаимной индукции, о которой говорилось в предыдущем параграфе. Согласно этой теореме матрица коэффициентов $L_{i k}$ симметрична, т. е.
\[
L_{i k}=L_{k i} .
\]

Достаточно доказать это соотношение для какой-либо пары индексов, например $i=1, k=2$. Так как коэффициенты $L_{i k}$ не зависят от токов, то с целью упрощения вычислений можно предположить, что токи текут только по виткам 1 и 2, а в остальных витках токи равны нулю. Если бесконечно мало изменить токи $I_{1}$ и $I_{2}$, то на это потребуется затратить работу
\[
\delta A^{\text {внеш }}=\frac{1}{c}\left(I_{1} d \Phi_{1}+I_{2} d \Phi_{2}\right) .
\]

Она пойдет на приращение магнитной энергии токов $d W_{m}=\delta A^{\text {внеш }}$. Но эта энергия в рассматриваемом случае дается выражением
\[
W_{m}=\frac{1}{2 c}\left(I_{1} \Phi_{1}+I_{2} \Phi_{2}\right),
\]

а ее приращение – выражением
\[
d W_{m}=\frac{1}{2 c}\left(I_{1} d \Phi_{1}+I_{2} d \Phi_{2}\right)+\frac{1}{2 c}\left(\Phi_{1} d I_{1}+\Phi_{2} d I_{2}\right) .
\]

Сравнивая оба выражения для $d W_{m}$, получим
\[
I_{1} d \Phi_{1}+I_{2} d \Phi_{2}=\Phi_{1} d I_{1}+\Phi_{2} d I_{2} .
\]

Это соотношение справедливо при любых значениях $d I_{1}$ и $d I_{2}$. Поэтому для сокращения последующих вычислений можно взять $d I_{2}=0$, т. е. $I_{2}=$ const. Магнитные потоки определяются выражениями
\[
\Phi_{1}=\frac{1}{c}\left(L_{11} I_{1}+L_{12} I_{2}\right), \quad \Phi_{2}=\frac{1}{c}\left(L_{21} I_{1}+L_{22} I_{2}\right) .
\]

Из них дифференцированием при постоянном $I_{2}$ находим
\[
d \Phi_{1}=\frac{1}{c} L_{11} d I_{1}, \quad d \Phi_{2}=\frac{1}{c} L_{21} d I_{1} .
\]

Подставляя эти выражения в соотношение (69.7), получим
\[
L_{11} I_{1} d I_{1}+L_{21} I_{2} d I_{1}=\left(L_{11} I_{1}+L_{12} I_{2}\right) d I_{1} .
\]

Отсюда следует $L_{12}=L_{21}$, и теорема взаимности доказана. При доказательстве сопротивления проводов не учитывались. Но это не имеет значения, так как коэффициенты взаимной индукции $L_{i k}$ зависят только от формы и расположения проводов, а также от распределения плотности электрического тока по их сечениям.
5. В заключение этого параграфа разберем следующий парадокс. Сила $\mathbf{f}=(e / c)[\mathbf{v B}]$, действующая в магнитном поле на движущийся заряд, перпендикулярна к его скорости $\mathbf{v}$, а потому работы не производит. Почему же при движении витка с током (например, якоря электромотора) в магнитном поле механическая работа над проводником, несомненно, производится? Дело в том, что это не есть полная работа магнитного поля над движущимися зарядами, являющимися носителями тока в проводнике. Рассмотрим тождество
\[
\frac{1}{c}[\mathbf{j} \mathbf{B}] \mathbf{v}=-\frac{1}{c}[\mathbf{v B}] \mathbf{j},
\]

где $\mathbf{v}$ – скорость проводника, а $\mathbf{j}$ – плотность электрического тока в нем. Слева стоит работа амперовой силы $\mathrm{f}_{\text {амп }}=(1 / c)[\mathbf{j} \mathbf{B}]$ над единицей объема проводника в единицу времени, справа – взятая со знаком минус такая же работа электрического поля индукции $\mathbf{E}_{\text {инд }}$, возникающего при движении проводника. Полная работа $A_{\text {полн }}=A_{\text {амп }}+A_{\text {инд }}$ равна нулю. Допустим теперь, что в цепь включена батарея или какойлибо другой источник тока. Тогда добавится работа батареи; $A_{\text {полн }}=$ $=A_{\text {амп }}+A_{\text {инд }}+A_{\text {бат }}$. Пусть электродвижущая сила батареи подобрана так, что она в каждый момент времени компенсирует электродвижущую силу индукции, поддерживая ток в цепи постоянным. Тогда $A_{\text {инд }}+$ $+A_{\text {бат }}=0$, и если потери на джоулево тепло пренебрежимо малы, то $A_{\text {полн }}=A_{\text {амп }}$. Таким образом, работа $A_{\text {амп }}$ производится за счет энергии батареи.