1. До поляризации в шаре была однородная смесь положительного и отрицательного электричеств с объемными плотностями $+\rho$ и $-\rho$. Сдвинем все положительные заряды относительно отрицательных на одно и то же расстояние $\delta 1$. (На рис. 52 смещение $\delta 1$ сильно преувеличено. В практически важных случаях оно мало даже по сравнению с атомными размерами.) Шар равномерно поляризуется, причем вектор поляризации будет $\mathbf{P}=\rho \delta 1$. Мы видим, что поле $\mathbf{E}$ равномерно поляризованного шара есть векторная сумма полей двух равномерно и разноименно заряженных шаров, немного смещенных друг относительно друга. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Полевнутри равномерно
Рис. 52 поляризованного шара. Пусть $O$ и $O^{\prime}-$ центры отрицательно и положительно заряженных шаров, а $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$ – радиусы-векторы, проведенные из этих центров. Согласно формуле (6.5) поля этих шаров равны соответственно
\[
\mathbf{E}_{1}=-\frac{4 \pi}{3} \rho \mathbf{r}, \quad \mathbf{E}_{2}=-\frac{4 \pi}{3} \rho \mathbf{r}^{\prime},
\]

а их геометрическая сумма
\[
\mathbf{E}^{(i)}=\frac{4 \pi}{3} \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right)=-\frac{4 \pi}{3} \rho \delta \mathrm{l},
\]

или
\[
\mathbf{E}^{(i)}=-\frac{4 \pi}{3} \mathbf{P} .
\]

Случай 2. Поле равномерно поляризованного шара во внешнем пространстве. Пусть $q$ – заряд положительного шара. Каждый шар возбуждает во внешнем пространстве такое поле, как если бы весь заряд был сосредоточен в центре шара. Поэтому поле равномерно поляризованного шара во внешнем пространстве будет совпадать с полем точечного диполя с дипольным моментом $\mathbf{p}=q \delta \mathbf{1}=$ $=V \mathbf{P}$, где $V-$ объем шара. Следовательно, вне шара
\[
\mathbf{E}^{(e)}=V\left[\frac{3(P r)}{r^{5}} \mathbf{r}-\frac{\mathbf{P}}{r^{3}}\right] .
\]

Чтобы найти $\mathbf{E}^{(e)}$ на границе шара, следует положить $V=(4 \pi / 3) r^{3}$. Это дает
\[
\mathbf{E}^{(e)}=4 \pi(\mathbf{P n}) \mathbf{n}-\frac{4 \pi}{3} \mathbf{P},
\]

где $\mathbf{n}$ – единичный вектор внешней нормали к поверхности шара.
2. Равномерную поляризацию шара можно получить, поместив его во внешнее однородное электрическое поле $\mathbf{E}_{0}$. Для доказательства достаточно убедиться, что при этом будут удовлетворены условия в бесконечности и граничные условия на поверхности шара. Последние требуют, чтобы по разные стороны поверхности шара были одинаковы касательные составляющие векторов $\mathbf{E}$ и нормальные составляющие векторов $\mathbf{D}$. Полное поле $\mathbf{E}$ слагается из внешнего поля $\mathbf{E}_{0}$ и поля поляризованного шара. На бесконечности полное поле должно переходить в $\mathbf{E}_{0}$. Это условие, очевидно, удовлетворяется, так как на бесконечности поле поляризованного шара исчезает, поскольку оно убывает обратно пропорционально кубу расстояния. Внутри шара $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0}+$ $+\mathbf{E}^{(i)}$, вне шара $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0}+\mathbf{E}^{(e)}$. Касательные составляющие обоих полей на поверхности шара одинаковы, как это видно из выражений (16.1) и (16.2). Вне шара электрическое смещение совпадает с напряженностью поля, т.е. равно $\mathbf{E}_{0}+\mathbf{E}^{(e)}$, внутри шара оно будет $\mathbf{E}_{0}+\mathbf{E}^{(i)}+4 \pi \mathbf{P}$. С учетом (16.1) и (16.2) отсюда получаем на поверхности шара
\[
\mathbf{D}^{(e)}=\mathbf{E}_{0}+4 \pi(\mathbf{P n}) \mathbf{n}-\frac{4 \pi}{3} \mathbf{P}, \quad \mathbf{D}^{(i)}=\mathbf{E}_{0}-\frac{4 \pi}{3} \mathbf{P}+4 \pi \mathbf{P} .
\]

Отсюда видно, что нормальные составляющие этих векторов одинаковы. Значит, граничные условия удовлетворены, чем и завершается доказательство.

Полное поле внутри шара, как следует из формулы (16.1), определяется выражением
\[
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0}-\frac{4 \pi}{3} \mathbf{P} .
\]

Вектор $\mathbf{P}$ отсюда можно исключить, используя выражение $\mathbf{P}=\alpha \mathbf{E}$. Таким образом, получаем соотношение между внутренним и внешним полями:
\[
\left(1+\frac{4 \pi}{3} \alpha\right) \mathbf{E}=\mathbf{E}_{0},
\]

или
\[
\mathbf{E}=\frac{3}{\varepsilon+2} \mathbf{E}_{0} .
\]
$3^{*}$

Вектор поляризации внутри шара будет
\[
\mathbf{P}=\alpha \mathbf{E}=\frac{3 \alpha}{\varepsilon+2} \mathbf{E}_{0}=\frac{3}{4 \pi} \frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+2} \mathbf{E}_{0} .
\]

В результате во внешнем однородном поле $\mathbf{E}_{0}$ шар радиуса $a$ приобретет дипольный момент $\mathbf{p}=V \mathbf{P}$, или
\[
\mathbf{p}=a^{3} \frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+2} \mathbf{E}_{0} .
\]
3. Рассчитаем теперь напряженность поля $\mathbf{E}^{\prime}$ в сферической полости, вырезанной внутри равномерно поляризованного диэлектрика в предположении, что поляризация вне полости всюду однородна. Тогда и внешнее поле в диэлектрике Е будет также однородно. Если полость заполнить тем же равномерно поляризованным диэлектриком, то к полю в полости $E^{\prime}$ добавится поле равномерно поляризованного шара $-(4 \pi / 3) \mathbf{P}$. В результате должно получиться поле $\mathbf{E}$, т. е. $\mathbf{E}^{\prime}-(4 \pi / 3) \mathbf{P}=$ $=\mathbf{E}$. Отсюда
\[
\mathbf{E}^{\prime}=\mathbf{E}+\frac{4 \pi}{3} \mathbf{P} .
\]

Исключив вектор $\mathbf{P}$, найдем
\[
\mathbf{E}^{\prime}=\frac{\varepsilon+2}{3} \mathbf{E} .
\]

ЗАДАЧИ
1. Найти приближенное выражение для силы, действующей в неоднородном электрическом поле на маленькие диэлектрический и металлический шарики радиуса $a$.

Решение. Если бы внешнее поле $\mathbf{E}_{0}$ было однородно, то шарик приобрел бы дипольный момент, определяемый выражением (16.6). Тот же результат приближенно справедлив и в неоднородном поле. Используя его и формулу (4.8), находим искомую силу:
\[
F=a^{3} \frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+2} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{E_{0}^{2}}{2}\right),
\]

причем ось $X$ мы направили вдоль вектора $\mathbf{E}_{0}$. Полагая $\varepsilon=\infty$, получаем формулу для проводящего шарика:
\[
F=\frac{a^{3}}{2} \frac{\partial E_{0}^{2}}{\partial x} .
\]

Сила $\mathbf{F}$ направлена в сторону возрастания поля $\mathbf{E}_{0}$. Силами такого рода объясняется первое явление, с которого началось изучение электричества: притяжение наэлектризованными телами легких тел.
2. Как меняется с расстоянием $r$ сила взаимодействия $\mathbf{F}$ между двумя маленькими шариками, из которых один заряжен, а другой не заряжен?
Ответ. $F \sim 1 / r^{5}$.
3. В шаре, равномерно заряженном электричеством с объемной плотностью $\rho$, сделана сферическая полость, центр которой $O^{\prime}$ смещен относительно центра шара $O$ на расстояние $R$. Определить электрическое поле внутри полости.

Ответ. $\mathbf{E}=(4 / 3) \pi \rho \mathbf{R}$, где $\mathbf{R}=\overrightarrow{O O^{\prime}}$. Поле однородно.
Указание. Заполнить мысленно полость электричествами противоположных знаков с плотностями $+\rho$ и $-\rho$. Тогда поле в полости можно рассматривать как суперпозицию полей двух равномерно и противоположно заряженных шаров. См. аналогичную задачу в т. I ( $\S 55$, задача 7 ).
4. В неограниченной диэлектрической однородной жидкости с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ помещен однородный шар с той же диэлектрической проницаемостью, равномерно заряженный электричеством с объемной плотностью $\rho$. В шаре сделана сферическая полость, куда помещен меньший шар радиуса $a$ из того же материала, также равномерно заряженный с объемной плотностью $\rho$ электричеством того же знака. Зазор между поверхностью малого шара и стенками полости пренебрежимо мал. Определить силу $\mathbf{F}$, действующую на меньший шар, зная расстояние между центрами обоих шаров.

Решение. Поле большого шара в его полости однородно и равно $4 \pi \rho \mathbf{R} /(3 \varepsilon)$, где $\mathbf{R}=\overrightarrow{O C}-$ вектор, проведенный от центра большого шара $O$ к центру малого шара $C$. Умножив это поле на заряд малого шара, найдем
\[
\mathbf{F}=(4 \pi \rho)^{2} a^{3} \mathbf{R} /(9 \varepsilon) .
\]