1. Трансформатор состоит из двух обмоток – первичной и вторичной, навитых на общий железный сердечник (рис. 321). Уравнения колебаний в такой системе записываются в виде
\[
R_{1} I_{1}=\mathscr{E}-\dot{\Phi}_{1}, \quad R_{2} I_{2}=-\dot{\Phi}_{2},
\]

где индексом 1 обозначены величины, относящиеся к первичной, а индексом 2 – к вторичной обмоткам. Для простоты пренебрежем рассеянием магнитного потока, проходящего через железный сердечник трансформатора. В этом предположении
\[
\frac{\Phi_{1}}{\Phi_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}},
\]

где $n_{1}$ и $n_{2}$ – числа витков в первичной и вторичной обмотках. Записав
Рис. 321

это соотношение в виде $n_{1} \Phi_{2}=n_{2} \Phi_{1}$ и продифференцировав по времени, убеждаемся, что для производных магнитного потока справедливо такое же соотношение:
\[
\dot{\Phi}_{1} / \dot{\Phi}_{2}=n_{1} / n_{2} .
\]

Оно позволяет исключить из уравнений (136.1) магнитные потоки. Таким путем получаем
\[
R_{1} I_{1}-\frac{n_{1}}{n_{2}} R_{2} I_{2}=\mathscr{E} .
\]

Отсюда видно, что наличие вторичной обмотки меняет ток в первичной цепи. Однако уравнения (136.3) недостаточно для определения двух неизвестных

Для получения недостающего уравнения введем упрощающее предположение, что трансформатор идеальный, т. е. не обладает ферромагнетизмом. (В реальных трансформаторах, конечно, это не так.) Тогда связь между магнитными потоками и токами будет линейной:
\[
\Phi_{1}=L_{1} I_{1}+L_{12} I_{2}, \quad \Phi_{2}=L_{21} I_{1}+L_{2} I_{2},
\]

где $L_{1}$ – индуктивность первичной обмотки, $L_{2}$ – вторичной, а $L_{12}=L_{21}$ коэффициент взаимной индукции этих обмоток. Ввиду (136.2) nри любых токах $I_{1}$ и $I_{2}$ соблюдается соотношение
\[
n_{2}\left(L_{1} I_{1}+L_{12} I_{2}\right)=n_{1}\left(L_{21} I_{1}+L_{2} I_{2}\right) .
\]

Приравнивая коэффициенты при $I_{1}$ и $I_{2}$, из него находим
\[
n_{1} L_{21}=n_{2} L_{1}, \quad n_{2} L_{12}=n_{1} L_{2},
\]

а потому
\[
L_{12} L_{21}=L_{1} L_{2} .
\]

Если воспользоваться еще теоремой взаимности $\left(L_{12}=L_{2 l}\right.$ ), то получится
\[
L_{12}=L_{21}=\sqrt{L_{1} L_{2}} .
\]

Теперь система уравнений (136.1) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
R_{1} I_{1}=\mathscr{E}-L_{1} \dot{I}_{1}-\sqrt{L_{1} L_{2}} \dot{I}_{2}, \\
R_{2} I_{2}=-\sqrt{L_{1} L_{2}} \dot{I}_{1}-L_{2} \dot{I}_{2} .
\end{array}
\]

Предположим, далее, что электродвижущая сила $\mathscr{E}$ меняется во времени синусоидально: $\mathscr{E} \sim e^{i \omega t}$. Тогда для установившихся колебаний получится
\[
\begin{array}{l}
\left(R_{1}+i \omega L_{1}\right) I_{1}+i \omega \sqrt{L_{1} L_{2}} I_{2}=\mathscr{E}, \\
i \omega \sqrt{L_{1} L_{2}} I_{1}+\left(R_{2}+i \omega L_{2}\right) I_{2}=0 .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{c}
I_{1}=\frac{R_{2}+i \omega L_{2}}{R_{1} R_{2}+i \omega\left(L_{1} R_{2}+L_{2} R_{1}\right)} \mathscr{E}, \\
I_{2}=\frac{-i \omega \sqrt{L_{1} L_{2}}}{R_{1} R_{2}+i \omega\left(L_{1} R_{2}+L_{2} R_{1}\right)} \mathscr{E} .
\end{array}
\]

Эти формулы и решают задачу о трансформаторе. В практически важном случае омическое сопротивление первичной цепи $R_{1}$ мало по сравнению с индуктивным $\omega L_{1}$. Пренебрегая им, получим
\[
I_{1}=\frac{R_{2}+i \omega L_{2}}{i \omega L_{1} R_{2}} \mathscr{E}, \quad I_{2}=-\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}} \frac{\mathscr{E}}{R_{2}}=-\frac{n_{2}}{n_{1}} \frac{\mathscr{E}}{R_{2}} .
\]

При выводе последнего соотношения было учтено, что индуктивность обмотки пропорциональна квадрату числа витков. Формула делает понятной основную идею трансформатора. Если бы сопротивление $R_{2}$ было непосредственно присоединено к источнику электродвижущей силы $\mathscr{E}$, то получился бы ток $\mathscr{E} / R_{2}$. Трансформатор увеличивает этот ток в $n_{2} / n_{1}$ раз или уменьшает в $n_{1} / n_{2}$ раз. Этот факт обычно выражают несколько иначе. Величина $V_{2}=R_{2} I_{2}$ дает падение напряжения на сопротивлении $R_{2}$. Ее называют напряжением во вторичной цепи. Из второй формулы (136.10) получаем
\[
V_{2}=-\frac{n_{2}}{n_{1}} \mathscr{E} .
\]

Трансформатор повышает напряжение в $n_{2} / n_{1}$ раз или понижает в $n_{1} / n_{2}$ раз. С этим и связано соответствующее увеличение (или уменьшение) тока в сопротивлении $R_{2}$.
2. Что касается тока $I_{1}$, то при его рассмотрении удобнее обратиться к векторной диаграмме. Ограничимся случаем $R_{1}=0$. Тогда первое уравнение (136.8) запишется в виде
\[
L_{1} I_{1}+\sqrt{L_{1} L_{2}} I_{2}=\mathscr{E} / i \omega .
\]

Если $R_{2}=\infty$, то $I_{2}=0$. В этом случае ток в первичной цепи называется током холостого хода трансформатора. Обозначим его через $I_{0}$. В нашем случае $\left(R_{1}=0\right) I_{0}=\mathscr{E} /\left(i \omega L_{1}\right)$ и, следовательно,
\[
L_{1} I_{1}+\sqrt{L_{1} L_{2}} I_{2}=L_{1} I_{0}, \text { или } n_{1} I_{1}+n_{2} I_{2}=n_{1} I_{0} .
\]

Ток холостого хода $I_{0}=-i \mathscr{E} / \omega L_{1}$ отстает по фазе от напряжения на $\pi / 2$. Если на векторной диаграмме напряжение изобразить горизонтальным отрезком, направленным вправо, то ток холостого хода $I_{0}$ изобразится отрезком, направленным вниз (рис. 322 ). Ток $I_{2}$, как видно из (136.10), изобразится горизонтальным отрезком, направленным влево. Вместо самого тока удобнее откладывать ток, умноженный на соответствующее число витков (так называемые ампер-витки). Согласно (136.12) величина $n_{1} I_{1}$ изобразится вектором, равным геометрической разности векторов $n_{1} I_{0}$ и $n_{2} I_{2}$. При увеличении нагрузки (т. е. уменьшении сопротивления $R_{2}$ ) ток $I_{2}$, как показывают Рис. 322 формулы (136.10), растет. Вместе с ним растет и ток $I_{1}$. А так как ток холостого хода остается неизменным, то из рис. 322 следует, что должен уменьшаться сдвиг фаз $\varphi$ между током $I_{1}$ и напряжением $\mathscr{E}$. Оба эти обстоятельства ведут к увеличению потребляемой мощности.
3. Вычислим среднюю мощность электрической энергии $P_{0}$ в первичной цепи. Считая для общности сопротивление $R_{1}$ каким угодно, запишем ток $I_{1}$ в виде
\[
I_{1}=\frac{a+i b}{c+i d} \mathscr{E} .
\]

Значения постоянных $a, b, c, d$ легко установить, сравнивая это выражение с первой формулой (136.9). Умножая числитель и знаменатель на $c-i d$, получим
\[
I_{1}=\frac{(a c+b d)+i(b c-a d)}{c^{2}+d^{2}} \mathscr{E} .
\]

Отсюда для косинуса сдвига фаз между током $I_{1}$ и напряжением $\mathscr{E}$ получим
\[
\cos \varphi=\frac{a c+b d}{|(a c+b d)+i(b c+a d)|},
\]

а для средней мощности
\[
P_{0}=\frac{1}{2}\left|\mathscr{E} I_{1}\right| \cos \varphi=\frac{1}{2} \frac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}}|\mathscr{E}|^{2} .
\]

Подставим сюда значения коэффициентов $a, b, c, d$. Кроме того, введем отношение индуктивного сопротивления цепи к соответствующему омическому сопротивлению:
\[
\alpha_{\kappa}=\omega L_{\kappa} / R_{\kappa} .
\]

В результате найдем
\[
\begin{array}{c}
P_{0}=\frac{1}{2} \frac{1+\alpha_{2}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)}{1+\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)^{2}} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{R_{1}}, \\
\operatorname{tg} \varphi=-\frac{\alpha_{1}}{1+\alpha_{2}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)} .
\end{array}
\]

Ток отстает по фазе от напряжения на угол $|\varphi|$.
Средняя мощность, потребляемая в первичной цепи, будет $P_{1}=$ $=R_{1}\left|I_{1}\right|^{2} / 2$, а во вторичной $P_{2}=R_{2}\left|I_{2}\right|^{2} / 2$. Вычисляя их, получим
\[
P_{1}=\frac{1+\alpha_{2}^{2}}{1+\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)^{2}} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{R_{1}}, \quad P_{2}=\frac{1}{2} \frac{\alpha_{1} \alpha_{2}}{1+\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)^{2}} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{R_{1}} .
\]

Таким образом, $P_{0}=P_{1}+P_{2}$, как это и должно быть. При неизменных параметрах первичной цепи ( $\mathscr{E}, R_{1}, \alpha_{1}$ ) мощность $P_{2}$, потребляемая во вторичной цепи, максимальна, когда $\alpha_{2}=\sqrt{\alpha_{1}^{2}+1}$, или приближенно, когда $\alpha_{2}=$ $=\alpha_{1}$, так как в практически важных случаях всегда $\alpha_{1} \gg 1$. Максимальное значение $P_{2}$ дается приближенным выражением
\[
P_{2 \text { макс }} \approx \frac{1}{8} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{R_{1}} .
\]

Мощность тока в первичной цепи при этом будет $P_{0}=|\mathscr{E}|^{2} /\left(4 R_{1}\right)$, т. е. вдвое больше. Таким образом, КПД трансформатора составляет всего $50 \%$. В общем случае КПД дается выражением
\[
\eta=\frac{P_{2}}{P_{0}}=\frac{\alpha_{1} \alpha_{2}}{1+\alpha_{2}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)} .
\]

При заданном $\alpha_{1}$ КПД максимален, когда $\alpha_{2}=1$, т. е. когда омическое сопротивление вторичной цепи равно ее индуктивному сопротивлению. Максимальное значение КПД будет $\eta_{\text {макс }}=\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{1}+2}$. Если $\alpha_{1} \gg 1$, то $\eta_{\text {макс }} \approx 1$. При этом для мощности, потребляемой во вторичной цепи, получаем
\[
P_{2} \approx \frac{1}{2} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\alpha_{1} R_{1}}=\frac{1}{2} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\omega L_{1}} \approx P_{0}
\]

Мощность холостого хода трансформатора $P_{0}^{(0)}$ найдется из формулы (136.14), если в ней положить $\alpha_{2}=0$. Это дает
\[
\begin{array}{c}
P_{0}^{(0)}=\frac{1}{2\left(\alpha_{1}^{2}+1\right)} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{R_{1}} \approx \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{2 \alpha_{1}^{2} R_{1}}, \\
\frac{P_{0}}{P_{0}^{(0)}}=\frac{1+\alpha_{2}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)}{1+\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)^{2}}\left(1+\alpha_{1}^{2}\right) \approx \alpha_{1} \alpha_{2} .
\end{array}
\]

Приближенные выражения, как всегда, получены в предположении $\alpha_{1} \gg 1$. Кроме того, последнее выражение предполагает также, что $\alpha_{1} \gg \alpha_{2}$ (чтобы КПД был большим). При максимальной мощности $P_{2} \alpha_{1}=\alpha_{2}$ и из (136.21) получаем
\[
P_{0} / P_{0}^{(0)} \approx \alpha_{1}^{2} / 2 .
\]

Таким образом, при нагрузке трансформатора до максимальной мощности мощность тока в первичной цепи возрастает в $\alpha_{1}^{2} / 2$ раз по сравнению с мощностью холостого хода, а при нагрузке с максимальным КПД ( $\left.\alpha_{2}=1\right)$ – в $\alpha_{1}$ раз.

4. Трансформатор применяется не только для повышения или понижения напряжения переменного тока, но и для передачи электрической энергии на расстояние. Для исследования этого вопроса рассмотрим два связанных трансформатора, параметры которых обозначены на рис. 323. Запишем урав-
Рис. 323

нения колебаний в них:
\[
\begin{array}{l}
R_{1} I_{1}=\mathscr{E}-L_{1} \dot{I}_{1}-\sqrt{L_{1} L_{2}} \dot{I}_{2}, \\
R_{2} I_{2}=-\sqrt{L_{1} L_{2}} \dot{I}_{1}-L_{2} \dot{I}_{2}-L_{2}^{\prime} \dot{I}_{2}-\sqrt{L_{2}^{\prime} L_{3}} \dot{I}_{3}, \\
R_{3} I_{3}=-\sqrt{L_{2}^{\prime} L_{3}} \dot{I}_{2}-L_{3} \dot{I}_{3} .
\end{array}
\]

Для уменьшения громоздкости формул предположим, что омическое сопротивление $R_{1}$ пренебрежимо мало, и положим $R_{1}=0$. Если, кроме того, электродвижущая сила $\mathscr{E}$ меняется синусоидально, то для установившегося режима получим
\[
\begin{array}{c}
I_{1}=\frac{\left(\alpha_{2} \alpha_{3}-1\right)-i\left(\alpha_{2}+\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}\right)}{\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}-i} \frac{\mathscr{E}}{\omega L_{1}}, \\
I_{2}=-\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}}} \frac{\alpha_{3}-i}{\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}-i} \frac{\mathscr{E}}{R_{2}}, \\
I_{3}=\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}} \frac{L_{3}}{L_{2}^{\prime}}} \frac{\alpha_{2}^{\prime}}{\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}-i} \frac{\mathscr{E}}{R_{3}},
\end{array}
\]

где использованы следующие обозначения:
\[
\alpha_{2}=\frac{\omega L_{2}}{R_{2}}, \quad \alpha_{2}^{\prime}=\frac{\omega L_{2}^{\prime}}{R_{2}}, \quad \alpha_{3}=\frac{\omega L_{3}}{R_{3}} .
\]

Здесь $R_{2}$ означает сумму сопротивлений вторичной обмотки первого трансформатора, первичной обмотки второго и соединяющих их проводов. Если $R_{2}=0$, то $\alpha_{2}^{\prime}=\infty$ и из последней формулы (136.24) получаем
\[
I_{3}=\sqrt{\frac{L_{2}}{L_{1}} \frac{L_{3}}{L_{2}^{\prime}}} \frac{\mathscr{E}}{R_{3}}=\frac{n_{2}}{n_{1}} \frac{n_{3}}{n_{2}^{\prime}} \frac{\mathscr{E}}{R_{3}} .
\]

Смысл этой формулы ясен. Первый трансформатор повышает напряжение в $n_{2} / n_{1}$ раз, второй – в $n_{3} / n_{2}^{\prime}$ раз, так что напряжение на выходе второго трансформатора становится равным $\frac{n_{2}}{n_{1}} \frac{n_{3}}{n_{2}^{\prime}} \mathscr{E}$. Если оба трансформатора одинаковы ( $n_{1}=n_{3}, n_{2}=n_{2}^{\prime}$ ), то $I_{3}=\mathscr{E} / R_{3}$. Ток на выходе $I_{3}$ получается таким же, как если бы источник напряжения $\mathscr{E}$ был непосредственно замкнут на сопротивление $R_{3}$.

Мощность тока в первичной цепи
\[
P_{0}=\frac{1}{2} \frac{\alpha_{2} \alpha_{3}\left(\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}\right)+\alpha_{2}}{\left(\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}\right)^{2}+1} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\omega L_{1}} .
\]

Потребляемые мощности равны соответственно
\[
P_{1}=0, \quad P_{2}=\frac{1}{2} \frac{\alpha_{2}\left(\alpha_{3}^{2}+1\right)}{\left(\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}\right)^{2}+1} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\omega L_{1}}, \quad P_{3}=\frac{1}{2} \frac{\alpha_{2} \alpha_{2}^{\prime} \alpha_{3}}{\left(\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}\right)^{2}+1} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\omega L_{1}} .
\]

Если $R_{2}=0$, то $\alpha_{2}=\infty, \alpha_{2}^{\prime}=\infty$, причем $\alpha_{2} / \alpha_{2}^{\prime}=L_{2} / L_{2}^{\prime}$, т. е. $\alpha_{2}$ и $\alpha_{2}^{\prime}-$ бесконечно большие одного порядка. Используя это, находим $P_{2}=0, P_{3}=$ $=P_{0}$. Вся энергия, вырабатываемая в первичной цепи, передается без потерь потребителю.

При неизменных параметрах всех обмоток, за исключением последней, потребляемая мощность $P_{3}$ максимальна при $\alpha_{3}=\sqrt{1+\alpha^{\prime 2}}{ }_{2}^{2}$, или приблизительно при $\alpha_{3}=\alpha_{2}^{\prime}$. Таким образом,
\[
P_{3 \text { макс }} \approx \frac{\alpha_{2}|\mathscr{E}|^{2}}{8 \omega L_{1}} .
\]

Такова же мощность, теряемая в линии передачи, так что КПД в этом случае составляет всего около $50 \%$. В общем случае КПД
\[
\eta=\frac{P_{3}}{P_{0}}=\frac{\alpha_{2}^{\prime} \alpha_{3}}{1+\alpha_{3}\left(\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}\right)}
\]

достигает максимума при $\alpha_{3}=1$. Если учесть, что $\alpha_{2}^{\prime} \gg 1$, то максимальный КПД приблизительно равен $\eta_{\text {макс }} \approx 1$. При этом
\[
\begin{array}{c}
P_{0}=\frac{\alpha_{2}}{2} \frac{\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}+1}{\left(\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}\right)^{2}+1} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\omega L_{1}} \approx \frac{\alpha_{2}}{2 \alpha_{2}^{\prime}} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\omega L_{1}}, \\
P_{3}=\frac{\alpha_{2}}{2} \frac{\alpha_{2}^{\prime}}{\left(\alpha_{2}^{\prime}+\alpha_{3}\right)^{2}+1} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\omega L_{1}} \approx \frac{\alpha_{2}}{2 \alpha_{2}^{\prime}} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\omega L_{1}} \approx P_{0} .
\end{array}
\]

Наконец, мощность холостого хода трансформатора ( $\left.\alpha_{3}=0\right)$ равна
\[
P_{0}^{(0)}=\frac{1}{2} \frac{\alpha_{2}}{1+\alpha_{2}^{\prime 2}} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\omega L_{1}} \approx \frac{1}{2} \frac{\alpha_{2}}{\alpha_{2}^{\prime 2}} \frac{|\mathscr{E}|^{2}}{\omega L_{1}} .
\]

Таким образом, при максимальном КПД
\[
P_{3} / P_{0}^{(0)} \approx \alpha_{2}^{\prime} .
\]