1. В ближайших четырех параграфах рассматриваются некоторые задачи на вычисление электростатических полей. Все они решаются искусственными методами. Начнем с метода электрических изображений.

Допустим, что в пространстве имеется несколько точечных электрических зарядов. Пусть $S$ – какая-либо эквипотенциальная поверхность, разделяющая все пространство на два полупространства: $I$ и $I^{\prime}$ (рис. 63). Обозначим через $q_{1}, q_{2}, \ldots$ точечные заряды в полупространстве $I$, а через $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots$ – в полупространстве $I^{\prime}$. Точечные заряды можно рассматривать как предельные случаи малых проводящих тел, например металлических шариков. К ним применима теорема единственности. Заданием величины и расположения зарядов $q_{1}$, $q_{2}, \ldots$, а также потенциала поверхности $S$ поле в полупространстве $I$ определяется однозначно. Аналогичное утверждение справедливо для полупространства $I^{\prime}$. Поэтому если поверхность $S$ сделать проводящей, то поле во всем пространстве не претерпит никаких изменений. Однако поля в полупространствах $I$ и $I^{\prime}$ сделаются теперь совершенно независимыми друг от друга. В результате мы получаем решение сразу двух задач, вполне аналогичных друг другу. Одна из них состоит в следующем.

В полупространстве $I$ по одну сторону от поверхности проводящего тела $S$ находятся точечные заряды $q_{1}, q_{2}, \ldots$ Найти электрическое поле в этом полупространстве. Конечно, это поле векторно складывается из полей зарядов $q_{1}, q_{2}, \ldots$ и зарядов, индуцированных на поверхности тела $S$. Однако в силу теоремы единственности, поле индуцированных зарядов в полупространстве $I$ эквивалентно полю, создаваемому зарядами $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots$ При вычислении искомого поля проводящее тело можно убрать и заменить его точечными зарядами $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots$ Совокупность этих последних зарядов называет-
Рис. 63

ся электрическим изображением зарядов $q_{1}, q_{2}, \ldots$ в поверхности $S$. Таким образом, задача об электрическом поле зарядов, расположенных по одну сторону от проводящей поверхности, сводится к отысканию электрических изображений этих зарядов в этой поверхности.
Приведем два примера на метод электрических изображений.
2. Точечный заряд $q$ над бесконечной плоской поверхностью проводника. Электрическим изображением заряда $q$ в плоскости $A B$ будет заряд противоположного знака $q^{\prime}=-q$, расположенный по другую сторону плоскости $A B$ на таком же расстоянии от нее, что и заряд $q$ (рис. 64). Действительно, потенциал поля точечных зарядов $q$ и $q^{\prime}$ в какой-либо точке $C$ над поверхностью проводника будет
\[
\varphi=q\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r^{\prime}}\right) .
\]

Он обращается в нуль на плоскости $A B$, а потому эта плоскость является эквипотенциальной. Формула (23.1) и определяет потенциал поля в верхнем полупространстве I. В нижнем полупространстве II, заполненном проводящей средой, Рис. 64 поле, разумеется, равно нулю. Таким образом, заряд $q$ индуцирует на плоскости $A B$ такие заряды, которые создают в верхнем полупространстве Ітакое же поле, что и вспомогательный точечный заряд $q^{\prime}=-q$. Отсюда следует, что индуцированные заряды притягивают заряд $q$ с той же силой, что и вспомогательный точечный заряд $q^{\prime}=-q$, т. е. с силой $F=q^{2} /(2 h)^{2}$, где $h$ – расстояние между зарядом $q$ и плоскостью $A B$. Поэтому эта сила называется силой электрического изображения. В нижнем полупространстве ІІиндцированные заряды компенсируют поле заряда $q$.
Поверхностная плотность электричества найдется по формуле
\[
\sigma=\frac{1}{4 \pi} E_{n}=-\frac{1}{4 \pi} \frac{\partial \varphi}{\partial n} .
\]

Простое вычисление дает
\[
\sigma=-\frac{q}{2 \pi h^{2}} \cos ^{3} \vartheta
\]

Полный индуцированный заряд на бесконечной плоскости $A B$ равен и противоположен по знаку заряду $q$. В этом легко убедиться непосредственным интегрированием выражения (23.2) по плоскости $A B$. Еще проще воспользоваться теоремой Гаусса. Окружим заряд $q$ и индуцированные заряды бесконечно удаленной сферой с центром в точке $O$. На полусфере, проходящей внутри проводящей среды, поле и его поток равны нулю. На полусфере, проходящей в вакууме, поле совпадает с полем точечного диполя, а потому обратно пропорционально кубу радиуса. Сама поверхность полусферы возрастает пропорционально квадрату радиуса. Поток вектора $\mathbf{E}$ через нее в пределе $r \rightarrow \infty$ обращается в нуль. По теореме Гаусса должен обращаться в нуль и полный заряд, окруженный сферой. Но этот заряд равен $q+q_{\text {инд }}$, где $q_{\text {инд }}-$ полный индуцированный заряд на плоскости $A B$. Значит, $q_{\text {инд }}=-q$.
3. Точечный заряд $q$ вблизи проводящей сферы (рис. 65). Допустим, что сфера $S$ радиуса $a$ заземлена, т. е. потенциал ее равен нулю. Величина точечного заряда $q$ и его расстояние до центра сферы $R=O A$ заданы. Этими условиями решение электростатической задачи определяется однозначно. Поле внутри сферы, по теореме Фарадея, равно нулю. Найдем поле вне сферы. Выберем на прямой $O A$ такую точку $C$, чтобы треугольник $O B C$ был подобен треугольнику $O B A$. Поместим в этой точке вспомогательный точечный заряд $q^{\prime}$. Если $b$ и $b^{\prime}-$ длины отрезков $B A$ и $B C$, то потенциал зарядов $q$ и $q^{\prime}$ в точке $B$ будет $(q / b+$ $\left.+q^{\prime} / b^{\prime}\right)$. Он обратится в нуль, если
\[
q^{\prime}=-\frac{b^{\prime}}{b} q=-\frac{a}{R} q .
\]

Мы видим, что величина $q^{\prime}$ не зависит от положения точки $B$ на сфере $S$. Следовательно, потенциал, создаваемый зарядами $q$ и $q^{\prime}$, обращается в нуль во всех точках сферы $S$, т.е. $q^{\prime}$ является электрическим изображением заряда $q$ в сфере $S$. Вне сферы на расстояниях $r$ и $r^{\prime}$ от зарядов $q$ и $q^{\prime}$ потенциал определяется выражением
\[
\varphi=\frac{q}{r}+\frac{q^{\prime}}{r^{\prime}} .
\]

Общий заряд $q_{\text {инд }}$, индуцированный на сфере $S$, равен по абсолютной величине и совпадает по знаку с зарядом $q^{\prime}$. Для доказательства возьмем произвольную замкнутую поверхность $\Sigma$, окружающую сфеpy $S$, но не окружающую заряд $q$. На поверхности $\Sigma$ поле $\mathbf{E}$ совпадает с полем точечных зарядов $q$ и $q^{\prime}$, из которых $q$ лежит вне $\Sigma$. Поэтому поток $\Phi$ этого поля через поверхность $\Sigma$ будет $\Phi=4 \pi q^{\prime}$. По теореме Гаусса тот же поток равен $\Phi=4 \pi q_{\text {инд }}$. Следовательно, $q_{\text {инд }}=q^{\prime}$.

Если потенциал сферы $S$ равен $\varphi_{0}$, то для решения задачи надо ввести еще один фиктивный заряд $q_{0}=a \varphi_{0}$, поместив его в центре $O$ сферы $S$. Поле во внешнем пространстве представится суперпозицией полей трех зарядов: $q, q^{\prime}, q_{0}$. Действительно, потенциал зарядов $q$ и $q^{\prime}$ на сфере $S$ равен нулю. Потенциал на $S$ создается только зарядом $q_{0}$, т. е. равен $q_{0} / a=\varphi_{0}$.

Заметим, наконец, что электрические заряды $q$ и $q^{\prime}$ обладают свойством взаимности. Оно заключается в следующем. Если $q^{\prime}$ является электрическим изображением заряда $q$, то, и обратно, заряд $q$ является электрическим изображением заряда $q^{\prime}$. Это замечание позволяет распространить изложенный метод на случай, когда точечный заряд внесен внутрь сферической полости, сделанной в проводящей среде.
4. Допустим теперь, что сфера $S$ изолирована и задан ее заряд $q_{0}$. Нетрудно заметить, что в этом случае для определения поля во внешнем пространстве к зарядам $q$ и $q^{\prime}$ надо добавить третий (фиктивный) заряд $q_{0}-q^{\prime}$, поместив его в центре сферы $O$. Рассмотрим специально частный случай, когда $q_{0}=0$. Индукционные заряды возбуждают во внешнем пространстве такое же поле, что и диполь длины $R^{\prime}$ с дипольным моментом $p=-q^{\prime} R^{\prime}$, который направлен по полю $\mathbf{E}$, создаваемому зарядом $q$. Будем неограниченно удалять заряд $q$, одновременно увеличивая его так, чтобы поле $\mathbf{E}$ в центре сферы оставалось неизменным. В пределе получится однородное электрическое поле, в которое внесен проводящий шар. При этом $p=-q^{\prime} R^{\prime}=a^{3} q / R^{2}=a^{3} E$, или в векторной форме
\[
\mathbf{p}=a^{3} \mathbf{E} .
\]

Этот результат уже был получен в § 16 .
ЗАДАЧИ
1. Определить силу притяжения между точечным зарядом $q$ и металлическим шаром (см. рис. 65). Рассмотреть два случая: 1) шар заземлен, 2) шар изолирован, а полный заряд его равен нулю.
\[
\text { Ответ. 1) } F=\frac{R a}{\left(R^{2}-a^{2}\right)^{2}} q^{2} ; \quad \text { 2) } F=\left(\frac{R a}{\left(R^{2}-a^{2}\right)^{2}}-\frac{a}{R^{3}}\right) q^{2} \text {. }
\]
2. В условиях предыдущей задачи найти работу $A$, которую надо совершить, чтобы точечный заряд $q$ удалить в бесконечность.
Ответ. 1) $\frac{a q^{2}}{2\left(R^{2}-a^{2}\right)}$;
2) $\frac{a^{3} q^{2}}{2 R^{2}\left(R^{2}-a^{2}\right)}$.
3. Внутри сферической незаряженной проводящей оболочки в точке $A$ на расстоянии $O A=a$ от ее центра помещен точечный заряд $q$ (рис. 66). Радиус внутренней поверхности оболочки равен $r$, а внешней $R$. Найти: 1) поверхностную плотность индуцированных электрических зарядов на внешней поверхности оболочки; 2) потенциал оболочки, принимая за нуль потенциал бесконечно удаленной точки; 3) поверхностную плотность индуцированных зарядов в точках $B$ и $C$ внутренней поверхности оболочки.
Ответ. 1) $\sigma=\frac{q}{4 \pi R^{2}} ; \quad$ 2) $\varphi=\frac{q}{R}$;
3) $\sigma_{B}=\frac{q}{4 \pi(r-a)^{2}}\left(1+\frac{a}{r}\right), \quad \sigma_{C}=\frac{q}{4 \pi(r+a)^{2}}\left(1-\frac{a}{r}\right)$.
4. Найти силу, действующую на точечный заряд $q$, помещенный на биссектрисе прямого двугранного угла между двумя проводящими плоскостями (рис. 67). Расстояние между зарядом $q$ и вершиной двугранного угла равно $a$.
\[
\text { Ответ. } F=\frac{q^{2}}{4 a^{2}}(2 \sqrt{2}-1) \text {. }
\]

Сила $F$ направлена к вершине двугранного угла $O$.
5. Точечный заряд $q$ находится между двумя металлическими плоскостями, образующими между собой угол $60^{\circ}$ (рис. 68). Найти предел, к которому стремится напряженность электрического поля $\mathbf{E}$, когда точка наблюдения приближается к ребру $O$, все время оставаясь между металлическими плоскостями. Как изменится результат, если заряд будет не точечным?

Решение. Нетрудно убедиться, что электрическим изображением заряда $q$ относительно поверхности $A O B$ будет совокупность пяти зарядов: $q_{1}$, $q_{2}, q_{3}, q_{4}, q_{5}$. Поле этих зарядов и заряда $q$ в точке $O$ равно нулю. Результат не изменится, если заряд $q$ будет не точечным.
Рис. 68
Рис. 69
6. На бесконечной плоской поверхности проводника имеется сферический бугор $C M D$, центр которого $O$ лежит в той же плоскости (рис. 69). На перпендикуляре $O M$ вне проводника расположен точечный заряд $q$. Найти электрическое поле во всем пространстве.

Решение. Введем электрические изображения в сфере и плоскости, как указано на рис. 69. Сгруппируем заряды попарно: 1) $q$ с $-q$;2) $q^{\prime}$ с $-q^{\prime}$. Каждая пара в плоскости $A C D B$ создает нулевой потенциал. Сгруппируем теперь те же заряды по-другому: 1) $q$ с $q^{\prime}$;2) $-q$ с $-q^{\prime}$. При такой группировке каждая пара будет создавать нулевой потенциал на сфере $C M D N$. Ясно поэтому, что потенциал четырех зарядов $q,-q, q^{\prime},-q^{\prime}$ обращается в нуль на поверхности $A C M D B$. Следовательно, поле этих зарядов в верхнем полупространстве будет тождественно с полем, которое требуется рассчитать.
7. Найти силу притяжения $F$ между точечным электрическим диполем и бесконечной металлической пластинкой, если момент диполя р перпендикулярен к плоскостям пластинки, а расстояние его до ближайшей поверхности пластинки равно $h$. Определить также работу $A_{12}$, которую надо затратить, чтобы удалить диполь от пластинки с расстояния $h_{1}$ до $h_{2}$.

Ответ. $F=\frac{3 p^{2}}{8 h^{4}}, A_{12}=\frac{p^{2}}{8}\left(\frac{1}{h_{1}^{3}}-\frac{1}{h_{2}^{3}}\right)$. Обратим внимание, что перемещение диполя сопровождается перемещением индуцированных им зарядов. Однако это перемещение происходит перпендикулярно к силовым линиям и поэтому не сопровождается дополнительной работой.