Рассмотрим произвольную разветвленную сеть проводов, в отдельных участках которой включены гальванические элементы или другие источники тока. Электродвижущие силы этих источников постоянны и предполагаются известными. Токи во всех участках цепи и разности потенциалов на них можно рассчитать с помощью закона Ома (44.5) и закона сохранения электрического заряда. Однако более просто задача решается с помощью двух правил Кирхгофа. Одно из них выражает закон сохранения электрического заряда для линейных проводов, а другое является следствием закона Ома. Сформулируем эти правила.

Первое правило Кирхгофа. $B$ каждой точке разветвления проводов алгебраическая сумма сил токов равна нулю (рис. 115). Токи, идущие к точке разветвления, и токи, исходящие из нее, следует считать величинами разных знаков. Например, применительно к рис. 115 первое правило Кирхгофа запишется так:
\[
I_{1}+I_{2}-I_{3}=0 .
\]

Если бы это правило не соблюдалось, то в точках разветвления проводов накапливались бы электрические заряды, меняющиеся во времеРис. 115 ни. Вместе с ними менялось бы во времени и электрическое поле, а потому токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа. Выделим в сети произволъный замкнутый контур, состоящий из проводов. Сумма электродвижущих сил, действующих в таком контуре, равна сумме произведений сил токов в отдельных участках этого контура на их сопротивления.

Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда контур состоит из трех участков (рис. 116). Применяя к ним закон Ома (44.5), можем написать
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{2}-\varphi_{3}+\mathscr{E}_{1}=I_{1} R_{1}, \\
\varphi_{3}-\varphi_{1}+\mathscr{E}_{2}=I_{2} R_{2}, \\
\varphi_{1}-\varphi_{2}+\mathscr{E}_{3}=I_{3} R_{3} .
\end{array}
\]

Складывая эти равенства, получим
\[
\mathscr{E}_{1}+\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{3}=I_{1} R_{1}+I_{2} R_{2}+I_{3} R_{3},
\]
т. е. второе правило Кирхгофа.

Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему линейных уравнений, из которой могут быть найдены все неизвестные токи. В нее совсем не входят неизвестные
Рис. 116
Рис. 117

разности потенциалов. В исключении потенциалов из уравнений для токов и состоит упрощение, вносимое правилами Кирхгофа по сравнению с законом Ома. При применении правил Кирхгофа надо поступать следующим образом:
1) Направления токов во всех участках сети следует обозначить стрелками, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направить. Если вычисление покажет, что ток положителен, то его направление указано правилъно. Если эе ток отрицателен, то его истинное направление противоположно направлению стрелки.
2) Выбрав произвольный замкнутый контур, все его участки следует обойти в одном направлении. Если это направление совпадает с направлением стрелки, то слагаемое RI берется со знаком плюс. Если же эти направления противоположны, то оно берется со знаком минус. Если при обходе контура источник тока проходится от отрицательного полюса к положительному, то его электродвижущую силу следует считать положительной; в противоположном случае ее надо считать отрицательной.
3) Все электродвижущие силы и все сопротивления проводов должны входить в систему уравнений.
Рассмотрим два примера на правила Кирхгофа.
Пример 1. Мостик Уитстона (1802-1875). Схема мостика представлена на рис. 117. Расставим (произвольно) стрелки, указывающие направления токов. Имеется четыре точки разветвления: $A$, $B, C, D$. Применение к ним первого правила Кирхгофа приводит к четырем уравнениям:
\[
\begin{array}{ll}
I-I_{1}-I_{3}=0, & I_{1}-I_{2}+I_{5}=0, \\
I_{2}+I_{4}-I=0, & I_{3}-I_{4}-I_{5}=0 .
\end{array}
\]

Из этих уравнений независимы только три (при сложении всех уравнений получается тождество $0=0$ ). Для определения шести неизвестных $I, I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}, I_{5}$ требуется еще три уравнения. Их дает второе правило Кирхгофа. Применяя его, можно брать разные контуры. Но один из них должен облзательно содержать источник тока (с электродвижущей силой $\mathscr{E}$ ). Можно, например, взять контуры $A B D, B D C$ и $A B C F E A$. Для них второе правило Кирхгофа дает
\[
\begin{array}{c}
I_{1} R_{1}-I_{5} R_{5}-I_{3} R_{3}=0, \\
I_{2} R_{2}-I_{4} R_{4}+I_{5} R_{5}=0, \\
I R+I_{1} R_{1}+I_{2} R_{2}=\mathscr{E} .
\end{array}
\]

Здесь $R$ – сопротивление участка $C F E A$, включая внутреннее сопротивление источника тока. Использование других контуров не дает новых независимых уравнений. Решая уравнения (45.1) совместно с уравнениями (45.2), можно вычислить все токи. Ограничимся выводом условия, при котором ток в мостике $I_{5}$ обращается в нуль. Если $I_{5}=0$, то из уравнений (45.1) следует $I_{1}=I_{2}, I_{3}=I_{4}$. После этого из первых двух уравнений (45.2) находим
\[
I_{1} R_{1}=I_{3} R_{3}, \quad I_{1} R_{2}=I_{3} R_{4} .
\]

Отсюда почленным делением получаем известное условие
\[
\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{4}},
\]

на котором основано применение мостика Уитстона для измерения сопротивлений проводов. Ветвь $A C$ (реохорд) изготовляется из длинной однородной проволоки с большим удельным сопротивлением, так что отношение $R_{1} / R_{2}$ можно заменить отношением длин $A B / B C$.

Пример 2. Сравнение электродвижущих сил элементов методом Поггендорфа (1796-1877). Схема опыта изображена на рис. 118. Предполагается, что $\mathscr{E}_{1}>\mathscr{E}_{2}$. Первое правило Кирхгофа дает
\[
I_{1}-I_{2}-i_{1}=0,
\]

а второе
\[
\begin{array}{c}
I_{1}\left(R_{1}+r_{2}\right)+i_{1} r_{1}=\mathscr{E}_{1}, \\
i_{1} r_{1}-I_{2} R_{2}=\mathscr{E}_{2} .
\end{array}
\]

Под $R_{2}$ понимается сумма внутреннего сопротивления элемента 2 и сопротивления гальванометра. Найдем условие, при котором ток через гальванометр не Рис. 118 пойдет. Если $I_{2}=0$, то $I_{1}=i_{1}$ и, следовательно,
\[
I_{1}\left(R_{1}+r_{1}+r_{2}\right)=\mathscr{E}_{1}, \quad I_{1} r_{1}=\mathscr{E}_{2} .
\]

Отсюда получаем искомое условие
\[
\frac{\mathscr{E}_{2}}{\mathscr{E}_{1}}=\frac{r_{1}}{r_{1}+r_{2}+R_{1}} .
\]

В это уравнение входит неизвестное сопротивление $R_{1}$. Для его исключения применяется следующий метод. Опыт повторяют, заменив элемент 2 элементом 3 с электродвижущей силой $\mathscr{E}_{3}<\mathscr{E}_{1}$, оставляя все остальные параметры схемы неизменными. Ток через гальванометр не пойдет при новых значениях сопротивлений $r_{1}$ и $r_{2}$. Обозначая их через $r_{1}^{\prime}$ и $r_{2}^{\prime}$, можем написать $\mathscr{E}_{3} / \mathscr{E}_{1}=r_{1}^{\prime} /\left(r_{1}^{\prime}+r_{2}^{\prime}+R_{1}\right)$. Так как $r_{1}+r_{2}=r_{1}^{\prime}+r_{2}^{\prime}$, то отсюда и из условия (45.3) получаем $\mathscr{E}_{3} / \mathscr{E}_{2}=$ $=r_{1}^{\prime} / r_{1}$. Как и в предыдущей схеме, отношение $r_{1}^{\prime} / r_{1}$ можно свести к отношению длин и после этого вычислить неизвестное отношение электродвижущих сил $\mathscr{E}_{3} / \mathscr{E}_{2}$.