1. Линейный интеграл $\int_{12} \mathbf{B} d \mathbf{s}$, называемый магнитным напряэсением между точками 1 и 2, зависит не только от положения этих точек, но и от пути интегрирования. Его значение становится определенным только после указания этого пути. Предположим сначала, что магнитное поле В создается постоянным током $I$, текущим по бесконечно тонкому замкнутому витку. Напряженность такого поля определяется выражением (50.11), или в силу формулы (54.1)
\[
\mathbf{B}=-\operatorname{grad} \varphi_{m},
\]

где
\[
\varphi_{m}=-\frac{I}{c} \Omega,
\]

а $\Omega$ – телесный угол, под которым виток с током виден из точки наблюдения. Величина $\varphi_{m}$ называется магнитным потенциалом. Магнитный потенциал, как и телесный угол $\Omega$, является многозначной (бесконечнозначной) функцией точки наблюдения. Магнитное напряжение выражается через магнитный потенциал соотношением
\[
\int_{12} \mathbf{B} d \mathbf{s}=-\int_{12} d \varphi_{m}=\varphi_{m 1}-\varphi_{m 2} .
\]
2. Допустим, что точки 1 и 2 совпадают, т.е. путь интегрирования становится замкнутым. Тогда магнитное напряжение переходит в циркуляцию $\oint \mathbf{B} d \mathbf{s}$ вдоль этого замкнутого пути. Из свойств телесных углов, установленных в предыдущем параграфе, следует, что циркуляция $\oint \mathbf{B} d \mathbf{s}$ будет равна нулю, если путь интегрирования не обходит вокруг тока. Если же он обходит вокруг тока один раз, то
\[
\oint \mathbf{B} d \mathbf{s}=\frac{4 \pi}{c} I .
\]

Ток $I$ считается положительным, если его направление находится в правовинтовом соотношении с направлением пути обхода.

Допустим теперь, что магнитное поле создается несколькими замкнутыми бесконечно тонкими витками с постоянными токами. К таким виткам с токами сводится и общий случай, так как постоянные токи всегда замкнуты и пространство, обтекаемое ими, можно разбить на бесконечно тонкие замкнутые токовые линии, которые и будут играть роль бесконечно тонких витков. Магнитные поля отдельных витков удовлетворяют принципу суперпозиции, а циркуляции этих полей по одному и тому же замкнутому контуру складываются алгебраически. Поэтому и в общем случае получается формула (55.4). Только в ней под $I$ следует понимать сумму токов всех проводников, вокруг которых обходит контур циркуляции. В результате доказано следующее положение: циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур циркуляции, умноженной на $4 \pi /$. Это положение называется теоремой о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.
Если объемная плотность тока $\mathbf{j}$ конечна, то
\[
I=\int_{S} j_{n} d S=\int_{S}(\mathbf{j} d \mathbf{S})
\]

где $S$ – любая поверхность, натянутая на контур, по которому вычисляется циркуляция. В этом случае формула (55.4) перейдет в
\[
\oint(\mathbf{B} d \mathbf{s})=\frac{4 \pi}{c} \int(\mathbf{j} d \mathbf{S}) .
\]

В тех областях пространства, где не текут электрические токи, циркуляция $\oint \mathbf{B} d \mathbf{s}$ обращается в нуль по любому замкнутому контуру, т. е. в таких областях магнитное поле потенциально. Однако, как видно из формулы (55.5), этого не будет там, где текут электрические токи. Там магнитное поле не потенциально.
3. В учении о магнитном поле постоянных токов теорема о циркуляции играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. При наличии определенной симметрии теорема о циркуляции позволяет иногда очень просто рассчитать напряженность магнитного поля. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Магнитное поле бесконечного прямолинейного провода с током. Ввиду симметрии магнитные силовые линии имеют форму окружностей с центрами на оси тока (рис. 126). Длина вектора В одна и та же во всех точках силовой линии. Циркуляция магнитного поля вдоль силовой линии, с одной стороны, равна

С другой стороны, по теореме о циркуляции та же величина равна $4 \pi I / c$. Приравнивая оба выражения, получим
\[
B=\frac{2 I}{c R} .
\]

Этот результат уже был найден в § 51 непосредственно интегрированием магнитных полей элементов тока.

Рассмотрим теперь бесконечно длинный прямой цилиндрический провод радиуса $a$, по которому течет ток $I$ с постоянной плотностью. Нетрудно видеть, что наружное поле будет определяться прежней формулой (55.6). Остается найти поле внутри провода. Конечно, и там магнитные силовые линии будут коаксиальными окружностями. Одна из них изображена на рис. 137 штриховой линией. (Предполагается, что ток течет перпендикулярно к плоскости рисунка.) Циркуляция вектора В по этой линии равна, с одной стороны, $2 \pi R B$. С другой стороны, по теореме о циркуляции та же величина равна $4 \pi I^{\prime} / c$, где $I^{\prime}=I R^{2} / a^{2}$ – ток, пронизывающий рассматриваемый контур. Сравнивая эти выражения, находим
\[
B=\frac{2 I}{c a^{2}} R \quad(R<a) .
\]

Если провод полый, а поверхностная плотность тока постоянна, то вне цилиндра по-

Рис. 137 прежнему верна формула (55.6). Поле внутри цилиндра в этом случае равно нулю.

Пример 2. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида. Пусть поверхностная плотность тока $i$, циркулирующего по поверхности соленоида, одна и та же по всей длине соленоида. Покажем, что магнитное поле, если оно отлично от нуля, должно быть направлено параллельно оси соленоида. Возьмем два элемента тока $I d \mathbf{l}_{1}$ и $I d \mathbf{l}_{2}$, симметрично расположенных относительно точки наблюдения $A$, как это изображено на рис. 138 a. По закону Био и Савара результирующее магнитное поле этих двух элементов в точке $A$ дается выражением
\[
d \mathbf{B}=\frac{I}{c r_{1}^{3}}\left[d \mathbf{l}_{1} \mathbf{r}_{1}\right]+\frac{I}{c r_{2}^{3}}\left[d \mathbf{l}_{2} \mathbf{r}_{2}\right]=\frac{I}{c r_{1}^{3}}\left[d \mathbf{l}_{1}\left(\mathbf{r}_{1}+\mathbf{r}_{2}\right)\right] .
\]

Так как векторы $d \mathbf{l}_{1}$ и $\left(\mathbf{r}_{1}+\mathbf{r}_{2}\right)$ перпендикулярны к оси соленоида, то поле $d \mathbf{B}$ параллельно этой оси. Всю поверхность бесконечного соленоида можно разбить на пары элементов, аналогичных $d \mathbf{l}_{1}$ и $d \mathbf{l}_{2}$. Магнитное поле каждой такой пары параллельно оси соленоида. Следовательно, то же справедливо и для полного поля соленоида. Доказательство справедливо независимо от того, где лежит точка наблюдения $A$ внутри или вне соленоида.

Исследуем, как ведет себя магнитное поле бесконечного соленоида при удалении точки наблюдения $A$ в бесконечность. Как будет доказано в § 57, магнитное поле отдельного витка на больших расстояниях убывает обратно пропорционально кубу расстояния. Рассмотрим конечный участок соленоида, который виден из точки $A$ под углом $\alpha$ (рис. 138 a). Разобьем его на большое число $N$ кольцевых токов. Будем удалять
Рис. 138

точку $A$ в бесконечность, сохраняя угол $\alpha$ и число $N$ неизменными. При этом сила каждого кольцевого тока будет возрастать пропорционально длине выделенной части соленоида, а значит, и расстоянию до точки наблюдения. Если бы сила тока не изменялась, то из-за увеличения расстояния происходило бы убывание поля – обратно пропорционально кубу расстояния, как указано выше. Из-за увеличения силы тока убывание будет более медленным – обратно пропорционально квадрату расстояния. Но и в этом случае магнитное поле выделенной части соленоида, как и поле всего бесконечного соленоида, на бесконечности обратится в нуль.

Применим теперь теорему о циркуляции к прямоугольному контуру $A B C D$, сторона $A B$ которого проходит внутри соленоида, а сторона $C D$ бесконечно удалена (рис. 138 ). Участки $B C$ и $A D$ не вносят никакого вклада в циркуляцию, так как магнитное поле перпендикулярно к ним. По доказанному выше не дает вклада и сторона $C D$. Вся циркуляция сводится к интегралу по стороне $A B$ и представляется выражением $B l$, где $l$ – длина стороны $A B$. По теореме о циркуляции та же величина равна $4 \pi I / c=4 \pi i l / c$. Сравнением обоих выражений находим
\[
B=\frac{4 \pi}{c} i .
\]

Этот результат справедлив не только для круглого соленоида, но и для соленоида с произвольным поперечным сечением. Внутри бесконечного соленоида магнитное поле однородно, а снаружи – равно нулю.

Формула (55.8) с хорошей точностью применима к средней части соленоида конечной длины вдали от его краев. Вблизи краев магнитное поле сильно искажается и становится неоднородным.
Для катушки с проволочной обмоткой
\[
B=\frac{4 \pi}{c} \frac{N I}{l}
\]

где $N$ – число витков, $l$ – длина катушки, а $I$ – сила тока в ее обмотке. Эта формула лишь приближенно представляет магнитное поле реального соленоида. Помимо искажения поля вблизи концов соленоида, однородность его нарушается в непосредственной близости каждого витка. Реальный ток лишь приближенно аппроксимируется поверхностным током с постоянной линейной плотностью. Вблизи каждого витка магнитные силовые линии обвиваются вокруг него. Кроме того, из-за наклона витков к оси соленоида имеется слагающая тока, параллельная этой оси. Она также искажает поле.

Пример 3. Магнитное полетороидальной катушки. Заменим реальную катушку идеальным тором, по поверхности которого циркулирует ток с постоянной линейной плотностью $i$ (рис. 139). Линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т.е. в плоскостях, проходящих через ось $A A$ системы. При повороте тора вокруг оси $A A$ на любой угол он совмещается сам с собой. То же произойдет с магнитными силовыми линиями, если их повернуть, оставляя тор неподвижным. Отсюда следует, что силовыми линиями будут окружности с центрами на оси $A A$. Возьмем внутри тора одну из таких окружностей радиуса $R$ (на рис. 139 она изображена штриховой линией). Цир-
Рис. 139

куляция магнитного поля вдоль этой окружности равна $2 \pi R B$. Полный ток, пронизывающий площадь, ограниченную этой окружностью, равен $N I$, где $N$ – число витков в тороидальной катушке. По теореме о циркуляции $2 \pi R B=4 \pi N I / c$, а потому
\[
B=\frac{2}{c R} N I
\]

Таким образом, внутри тора магнитное поле совпадает с полем прямого тока силой $N I$, текущего вдоль оси $A A$. Вне тора магнитное поле равно нулю. Устремляя $N$ и $R$ к бесконечности так, чтобы отношение $i=N I /(2 \pi R)$ оставалось постоянным, в пределе получим выражение (55.8) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.