1. Рассмотрим два одинаковых параллельных провода, в которых с помощью генератора могут возбуждаться переменные токи высокой частоты. Такие два провода называются системой Лехера. Связь проводов с генератором может быть либо емкостной, либо индуктивной
Рис. 348 (рис. 348). Примем, что по отношению к поперечным размерам системы выполнено условие квазистационарности. Это значит, что расстояние между проводами должно быть весьма мало по сравнению с длиной волны. В то же время будем предполагать провода длинными – на их длине должно укладываться по меньшей мере несколько волн. Поэтому электрические токи в проводах не квазистационариы, сила тока $I(x)$, а также линейная плотность электрического заряда $q(x)$ существенно меняются вдоль проводов (ось $X$ направлена параллельно проводам). В силу предполагаемой симметрии ток $I(x)$, текущий вдоль одного из проводов, равен и противоположно направлен току, текущему напротив него вдоль другого провода. Аналогичное утверждение относится к величинам зарядов на проводах и их знакам. Электрическое напряжение между проводами, измеренное вдоль перпендикуляра к ним, будем обозначать через $V(x)$. Указание «пути», вдоль которого измеряется напряжение, т. е. интеграл $\int E d l$, необходимо потому, что в переменном электромагнитном поле значение этого интеграла зависит от формы пути.
При изложении теории распространения волн вдоль проводов мы не будем пользоваться уравнением Максвелла с током смещения, а изберем более простой путь, которым пользовался еще Кирхгоф задолго до появления максвелловской теории. Наше рассмотрение применимо также к задаче о распространении волн вдоль кабеля, состоящего из двух коаксиальных цилиндрических проводов: наружного полого и помещенного внутри него сплошного, пространство между которыми заполнено однородным диэлектриком. Наружный проводник играет роль одного провода системы Лехера, внутренний – другого. Однако оно совсем неприменимо к линии, состоящей только из одного провода.
Рис. 349
2. Возьмем на одном из проводов системы Лехера бесконечно малый участок $d x$ (рис. 349). Через конец $A$ за время $d t$ внутрь рассмат- риваемого участка входит электрический заряд $I(x) d t$, а через конец $D$ выходит заряд $I(x+$ $+d x) d t$. Избыток входящего электричества над выходящим составляет
\[
[I(x)-I(x+d x)] d t=-\frac{\partial I}{\partial x} d x d t .
\]
Ту же величину можно представить в виде $\dot{q} d x d t$. Таким образом,
\[
\dot{q}=-\frac{\partial I}{\partial x} .
\]
Это уравнение выражает закон сохранения электрического заряда.
Применим теперь к контуру $A D C B$ уравнение $\oint E d l=-\frac{1}{c} \dot{\Phi} d x$, где $\Phi(x) d x$ – магнитный поток, пронизывающий этот контур. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\int_{D C} E d l=V(x+d x), \\
\int_{B A} E d l=-V(x), \\
\int_{D C+B A} E d l=V(x+d x)-V(x)=\frac{\partial V}{\partial x} d x, \\
\int_{A D+C B} E d l=R I d x,
\end{array}
\]
где $R d x$ – суммарное сопротивление элементов проводов $A D$ и $C B$. Следовательно,
\[
\frac{\partial V}{\partial x}+R I=-\frac{1}{c} \dot{\Phi}
\]
Величины $q, \Phi$ и $R$ суть заряд, магнитный поток и сопротивление единицы длины рассматриваемой двухпроводной линии. В дальнейшем всюду будем предполагать, что сопротивление $R$ равно нулю. Используем теперь условие квазистационарности по отношению к поперечным размерам линии. При выполнении этого условия можно ввести емкость $C$ и индуктивность $L$ единицы длины линии. Эти величины определяются соотношениями
\[
q=C V, \quad \Phi=L I .
\]
Исключив из уравнений (143.1) и (143.2) величины $q$ и $\Phi$, при $R=0$ получим
\[
\frac{\partial I}{\partial x}=-C \frac{\partial V}{\partial t}, \quad \frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{L}{c^{2}} \frac{\partial I}{\partial t} .
\]
Эти уравнения формально тождественны с уравнениями (139.3). Поэтому все следствия, полученные из уравнений (139.3), остаются справедливыми и для системы Лехера. Надо только сделать замену $H \rightarrow I$, $E \rightarrow V, \varepsilon \rightarrow c C, \mu \rightarrow L / c$. Таким путем приходим к выводу, что напряжение и ток распространяются вдоль проводов в виде волны со
другую. Никакого направленного переноса энергии вдоль всей линии не происходит, как и должно быть в стоячей волне. Наиболее сильные вынужденные колебания тока и напряжения в линии возникают при тех же условиях, как и во всякой стоячей волне. Если, например, на обоих концах линии – пучность тока (напряжения), то это происходит тогда, когда в линии укладывается целое число полуволн.
5. Для демонстрации стоячих волн в системе Лехера берут два длинных и толстых голых провода и натягивают их от одного конца аудитории до другого. Провода располагаются в горизонтальной плоскости на расстоянии около 10 см друг от друга. Линия питается с одного конца ламповым генератором с длиной волны 3 м. Колебательный контур генератора имеет конденсатор переменной емкости, что позволяет настраивать линию в резонанс. Второй конец линии может быть либо свободным, либо закороченным. В качестве индикаторов для исследования стоячих волн применяются неоновые лампочки, включаемые между обоими проводами линии, а также небольшие проволочные витки с включенными в них лампочками от карманных фонариков. Витки располагаются горизонтально между проводами, как указано на рис. 350. Такие индикаторы лишь незначительно искажают поле
Рис. 350
стоячей волны. Неоновая лампочка загорается в тех местах, где есть электрическое поле, создающее на ней напряжение, превосходящее потенциал зажигания. Она светится наиболее ярко в пучностях и гаснет в узлах напряжения. Электрические лампочки, напротив, горят наиболее ярко в пучностях и гаснут в узлах тока. Действительно, когда виток помещен в пучность тока, он пронизывается максимальным магнитным потоком. Так как этот магнитный поток переменный, то в витке возбуждается индукционный ток, и лампочка горит наиболее ярко. Если же виток находится в узле тока, то магнитный поток равен нулю, и индукционный ток не возникает. С помощью этих индикаторов легко исследовать распределение пучностей и узлов тока и напряжения.
6. Стоячие волны можно демонстрировать также в катушках длиной $2-3$ м, состоящих из однослойных витков тонкой проволоки (общая длина проволоки несколько километров). Один конец катушки присоединяют к ламповому генератору (длина волны $\lambda \approx 300$ м), другой замыкают. В проволоке возникают стоячие волны тока, а в окружающем пространстве – переменные электромагнитные поля. Пучности электрического поля можно наблюдать, если параллельно катушке расположить длинную газосветную стеклянную трубку. Газ светится неравномерно, расстояния между максимумами свечения составляют обычно 20-30 см. Можно взять стеклянную трубку в форме кольца, наполненную неоном, и надеть ее на катушку. При перемещении вдоль катушки трубка периодически зажигается и гаснет. Можно также пользоваться трубками различной формы и наблюдать их свечение при перемещении вокруг катушки. Произвести количественные расчеты в этих случаях затруднительно.
ЗАДАЧА
Провода лехеровой системы соединены между собой мостиком из катушки индуктивности, омического сопротивления и конденсатора (рис. 351). Комплексное сопротивление (импеданс) мостика равно $Z$. Провода и однородные среды, в которые они погружены, по разные стороны мостика могут быть разными, так что волновое сопротивление линии перед мостиком равно $W$, а за мостиком $W^{\prime}$. Если на мостик падает волна, то она частично отражается, частично проходит дальше. Определить у мостика отраженную $\left(I_{r}\right)$ и прошедшую $\left(I_{d}\right)$ волны тока, а также ток через мостик $I$, если ток падающей волны равен $I_{e}$.
Решение. Напряжение в падающей, от-
Рис. 351 раженной и прошедшей волнах у мостика:
\[
V_{e}=W I_{e}, \quad V_{r}=-W I_{r}, \quad V_{d}=W^{\prime} I_{d}
\]
(минус во второй формуле потому, что отраженная волна идет назад). По первому правилу Кирхгофа
\[
I_{e}+I_{r}=I+I_{d} .
\]
Напряжение между концами мостика можно представить следующими тремя выражениями: $Z I, V_{e}+V_{r}, V_{d}$. Приравнивая их и выражая напряжения через токи, получим два уравнения:
\[
Z I=W\left(I_{e}-I_{r}\right), \quad Z I=W^{\prime} I_{d} .
\]
Решая эти уравнения совместно с предыдущим, найдем
\[
\frac{I_{r}}{I_{e}}=\frac{W W^{\prime}+\left(W-W^{\prime}\right) Z}{\Delta}, \quad \frac{I_{d}}{I_{e}}=\frac{2 W Z}{\Delta}, \quad \frac{I}{I_{e}}=\frac{2 W W^{\prime}}{\Delta},
\]
где
\[
\Delta=W W^{\prime}+\left(W+W^{\prime}\right) Z .
\]
Если мостик поставлен на конец линии, то прошедшей волны не будет ( $W^{\prime}=$ $=\infty$ ). В этом случае
\[
I_{r}=\frac{W-Z}{W+Z} I_{e}, \quad I=\frac{2 W}{W+Z} I_{e} .
\]
Отсюда легко получить амплитуды и фазы токов $I_{e}$ и $I$ для закороченной линии $(Z=0)$ и для линии со свободными концами ( $Z=\infty$ ). В обоих случаях отражение полное, но с разными фазами. Если сопротивление мостика чисто реактивное $(Z=i X)$, то $\left|I_{e}\right|=\left|I_{r}\right|$ : отражение также полное, наличие реактивного сопротивления сказывается только на положении узлов и пучностей. При $Z=W$ получаем $I_{r}=0$, т. е. волна совсем не отражается. Ток, подойдя к мостику по одному из проводов, проходит через мостик, попадает в другой провод и возвращается к началу линии.
