1. Когда проводник движется в постоянном магнитном поле, индукционный ток вызывается магнитной составляющей силы Лоренца $(e / c)[\mathbf{v B}]$. Какая же сила возбуждает индукционный ток в неподвижном проводнике, находящемся в переменном магнитном поле? Ответ был дан Максвеллом. Согласно Максвеллу, всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Последнее и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Максвеллу принадлежит следующая углубленная формулировка закона электромагнитной индукции.

Всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности $\mathbf{E}$ этого поля по любому неподвижному замкнутому контуру в определяется выражением
\[
\oint_{s}(\mathbf{E} d \mathbf{s})=-\frac{1}{c} \frac{\partial \Phi}{\partial t}
\]

где $\Phi$ — магнитный поток, пронизывающий контур $s$. Мы использовали для обозначения скорости изменения магнитного потока знак частной, а не полной производной. Этим мы хотим подчеркнуть, что контур $s$ должен быть неподвижным.

Между максвелловым и фарадеевым пониманием явления электромагнитной индукции имеется существенное различие. Согласно Фарадею, электромагнитная индукция состоит в возбуждении электрического тока. Для ее наблюдения необходимо наличие замкнутого проводника. Максвелл, напротив, видит сущность электромагнитной индукции прежде всего в возбуждении электрического поля, а не тока. Электромагнитная индукция может наблюдаться и тогда, когда в пространстве вообще нет никаких проводников. Появление индукционного тока в замкнутом проводнике при внесении последнего в переменное магнитное поле есть лишь одно из проявлений электрического поля $\mathbf{E}$, возникшего в результате изменения поля магнитного. Но поле $\mathbf{E}$ может производить и другие действия, например поляризовать диэлектрик, вызвать пробой конденсатора, ускорять и тормозить заряженные частицы и т.п. Оно может вызвать электрический ток и в незамкнутом проводнике, как показывает, например, следующий опыт.

Возьмем две катушки, расположенные близко одна от другой приблизительно так, чтобы ось одной катушки была продолжением оси другой. Концы первой катушки присоединим к звуковому генератору, т. е. прибору, который может возбуждать переменные токи с частотами, лежащими в звуковом диапазоне. Концы второй катушки соединим с горизонтальными пластинами электронного осциллографа. Когда в первой катушке течет переменный ток, луч осциллографа отклоняется, хотя цепь второй катушки разомкнута. Луч бегает вверх и вниз, и на экране видна светлая вертикальная полоска, переходящая в синусоиду после включения горизонтальной развертки. Это доказывает, что между горизонтальными пластинами осциллографа появилось переменное электрическое поле. Пластины оказались заряженными, причем их заряды периодически меняются во времени, а во второй катушке текут переменные индукционные токи, несмотря на то, что цепь разомкнута.

Максвеллова формулировка закона индукции более общая, чем формулировка Фарадея. Она принадлежит к числу наиболее важных обобщений электродинамики. Математически закон индукции в понимании Максвелла выражается формулой (66.1), где $s$ — произвольный математический замкнутый контур, который может быть проведен и в диэлектрике, а не обязательно в проводнике, как было у Фарадея. Магнитный поток $\Phi$ определяется интегралом
\[
\Phi=\oint_{s} \mathbf{B} d \mathbf{S},
\]

взятым по произвольной поверхности $S$, натянутой на контур $s$. Поэтому формулу (66.1) можно представить в виде
\[
\oint_{s}(\mathbf{E} d \mathbf{s})=-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \int_{S} \mathbf{B} d \mathbf{S}=-\frac{1}{c} \int_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} d \mathbf{S} .
\]

Это уравнение имеет ту же математическую структуру, что и уравнение (55.5). Роль вектора $4 \pi \mathbf{j}$ играет вектор — $\mathbf{B} / \partial t$. Поэтому оно может быть преобразовано в дифференциальную форму совершенно так же, как это было сделано с уравнением (55.5). В результате такого преобразования получится
\[
\operatorname{rot} \mathbf{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} .
\]

Это — дифференциальная форма закона электромагнитной индукции. Уравнение (66.3) или эквивалентное ему уравнение (66.4) — одно из основных соотношений теории электромагнитного поля. Оно входит в систему уравнений Максвелла.
2. В электростатике источниками электрического поля являются неподвижные электрические заряды. Для такого поля интеграл $\oint \mathbf{E} d \mathbf{s}$ обращается в нуль по любому замкнутому контуру. По этой причине одно только электростатическое поле не может обеспечить непрерывное течение электричества вдоль замкнутых проводов. Напротив, электрическое поле, возбуждаемое магнитным полем, меняющимся во времени, — не потенциальное, а вихревое. Ротор такого поля и его циркуляция, вообще говоря, отличны от нуля. Благодаря этому вихревое поле без каких бы то ни было добавочных сил может вызвать непрерывное течение электричества по замкнутым проводам. Это течение и наблюдается в виде индукционных токов.
3. В общем случае, когда проводник движется в переменном магнитном поле, индукционный ток возбуждается как электрической силой $e \mathbf{E}$, так и магнитной силой $(e / c)[\mathbf{v B}]$. Объединяя обе силы, можно сказать, что во всех случаях индукционный ток вызывается полной силой Лоренца
\[
\mathbf{F}=e\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{v B}]\right) .
\]

Какая часть индукционного тока вызывается электрической, а какая магнитной составляющей силы Лоренца — это зависит от выбора системы отсчета. Дело в том, что деление электромагнитного поля на электрическое и магнитное определяется системой отсчета, в которой рассматриваются явления. Возьмем две системы отсчета: «неподвижную» систему $S$ и «движущуюся» $S^{\prime}$. Пусть $V-$ скорость системы $S^{\prime}$ относительно системы $S$. При переходе от одной системы отсчета к другой векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в теории относительности и будут рассмотрены в т. IV нашего курса. Но и здесь, если только скорость $V$ мала по сравнению со скоростью света $c$, можно составить об этих законах предварительное представление. Приводимые ниже формулы совпадают с точными релятивистскими формулами в первом порядке относительно малого отношения $V / c$. Они содержат ошибки порядка $(V / c)^{2}$.

Пусть $\mathbf{v}$ — скорость частицы относительно системы $S$, a v’ — относительно системы $S^{\prime}$. Эти скорости связаны соотношением $\mathbf{v}=\mathbf{v}^{\prime}+\mathbf{V}$. В системе $S$ сила, действующая на частицу с зарядом $e$, определяется выражением (66.5), а в системе $S^{\prime}$ — выражением
\[
\mathbf{F}=e\left(\mathbf{E}^{\prime}+\frac{1}{c}\left[\mathbf{v}^{\prime} \mathbf{B}^{\prime}\right]\right)
\]

где $\mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{B}^{\prime}$ — электрическое и магнитное поля в системе $S^{\prime}$. В нерелятивистской механике сила — инвариант: $\mathbf{F}^{\prime}=\mathbf{F}$. Поэтому, заменяя в формуле (66.5) скорость $\mathbf{v}$ на $\mathbf{v}^{\prime}+\mathbf{V}$, получим
\[
\mathbf{F}^{\prime}=e\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{V B}]\right)+\frac{e}{c}\left[\mathbf{v}^{\prime} \mathbf{B}\right] .
\]

Чтобы найти напряженность поля $\mathbf{E}^{\prime}$, надо взять частицу, покоящуюся в системе $S^{\prime}$, т. е. в предыдущем выражении положить $\mathrm{v}^{\prime}=0$. Это дает
\[
\mathbf{F}^{\prime}=e\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{V B}]\right) .
\]

С другой стороны, для той же силы можно написать $\mathbf{F}^{\prime}=e \mathbf{E}$. Сравнивая оба выражения, находим
\[
\mathbf{E}^{\prime}=\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{V B}] .
\]

Это и есть нерелятивистский закон преобразования электрического поля. Аналогичный закон для магнитного поля не может быть выведен без использования теории относительности, а потому мы приведем его здесь без доказательства:
\[
\mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{B}-\frac{1}{c}[\mathbf{V E}] .
\]

Возникает вопрос: можно ли перейти к такой системе отсчета, в которой электромагнитное поле сделалось бы чисто электрическим или чисто магнитным? Для того чтобы поле стало чисто электрическим, должно быть $\mathbf{B}^{\prime}=0$, или, ввиду формулы (66.7), B — $(1 / c)[\mathbf{V E}]=$ $=0$. Записанное в виде $\mathbf{B}-(1 / c)\left[\mathbf{V}_{\perp} \mathbf{E}\right]=0$, это уравнение определяет поперечную (относительно вектора $\mathbf{E}$ ) составляющую скорости $\mathbf{V}$. Продольная составляющая скорости $\mathbf{V}$ остается неопределенной. Векторным умножением последнего уравнения на $\mathbf{E}$ получаем
\[
\mathbf{V}_{\perp}=\frac{c}{E^{2}}[\mathbf{E B}] .
\]

Отсюда видно, что система отсчета, обладающая требуемыми свойствами, существует не всегда. Может случиться, что последнее уравнение даст $V_{\perp}>c$, а это невозможно. Правда, для такого заключения в нерелятивистской теории нет оснований, так как формулы (66.6) и (66.7) верны только при $V \ll c$. Однако само заключение верно, как в этом можно убедиться с помощью точных релятивистских формул преобразования полей. Точно так же не всегда возможно перейти к такой системе отсчета, в которой электромагнитное поле становится чисто магнитным. Отсюда следует, что в общем случае индукционный ток вызывается как электрическим, так и магнитным полями. Не всегда возможно, перейдя к другой системе отсчета, рассматривать его как проявление только одного из этих полей.