1. Когда проводник движется в постоянном магнитном поле, индукционный ток вызывается магнитной составляющей силы Лоренца $(e/c)[\mathbf{v}\mathbf{B}]$. Какая же сила возбуждает индукционный ток в неподвижном проводнике, находящемся в переменном магнитном поле? Ответ был дан Максвеллом. Согласно Максвеллу, всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Последнее и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Максвеллу принадлежит следующая углубленная формулировка закона электромагнитной индукции.

Всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности $\mathbf{E}$ этого поля по любому неподвижному замкнутому контуру в определяется выражением
$${\oint }_s(\mathbf{E}d\mathbf{s})=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}$$

где $\mathrm{\Phi }$ — магнитный поток, пронизывающий контур $s$. Мы использовали для обозначения скорости изменения магнитного потока знак частной, а не полной производной. Этим мы хотим подчеркнуть, что контур $s$ должен быть неподвижным.

Между максвелловым и фарадеевым пониманием явления электромагнитной индукции имеется существенное различие. Согласно Фарадею, электромагнитная индукция состоит в возбуждении электрического тока. Для ее наблюдения необходимо наличие замкнутого проводника. Максвелл, напротив, видит сущность электромагнитной индукции прежде всего в возбуждении электрического поля, а не тока. Электромагнитная индукция может наблюдаться и тогда, когда в пространстве вообще нет никаких проводников. Появление индукционного тока в замкнутом проводнике при внесении последнего в переменное магнитное поле есть лишь одно из проявлений электрического поля $\mathbf{E}$, возникшего в результате изменения поля магнитного. Но поле $\mathbf{E}$ может производить и другие действия, например поляризовать диэлектрик, вызвать пробой конденсатора, ускорять и тормозить заряженные частицы и т.п. Оно может вызвать электрический ток и в незамкнутом проводнике, как показывает, например, следующий опыт.

Возьмем две катушки, расположенные близко одна от другой приблизительно так, чтобы ось одной катушки была продолжением оси другой. Концы первой катушки присоединим к звуковому генератору, т. е. прибору, который может возбуждать переменные токи с частотами, лежащими в звуковом диапазоне. Концы второй катушки соединим с горизонтальными пластинами электронного осциллографа. Когда в первой катушке течет переменный ток, луч осциллографа отклоняется, хотя цепь второй катушки разомкнута. Луч бегает вверх и вниз, и на экране видна светлая вертикальная полоска, переходящая в синусоиду после включения горизонтальной развертки. Это доказывает, что между горизонтальными пластинами осциллографа появилось переменное электрическое поле. Пластины оказались заряженными, причем их заряды периодически меняются во времени, а во второй катушке текут переменные индукционные токи, несмотря на то, что цепь разомкнута.

Максвеллова формулировка закона индукции более общая, чем формулировка Фарадея. Она принадлежит к числу наиболее важных обобщений электродинамики. Математически закон индукции в понимании Максвелла выражается формулой (66.1), где $s$ — произвольный математический замкнутый контур, который может быть проведен и в диэлектрике, а не обязательно в проводнике, как было у Фарадея. Магнитный поток $\mathrm{\Phi }$ определяется интегралом
$$\mathrm{\Phi }={\oint }_s\mathbf{B}d\mathbf{S},$$

взятым по произвольной поверхности $S$, натянутой на контур $s$. Поэтому формулу (66.1) можно представить в виде
$${\oint }_s(\mathbf{E}d\mathbf{s})=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{\int }_S\mathbf{B}d\mathbf{S}=-\frac{1}{c}{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}d\mathbf{S}.$$

Это уравнение имеет ту же математическую структуру, что и уравнение (55.5). Роль вектора $4\pi \mathbf{j}$ играет вектор — $\mathbf{B}/\partial t$. Поэтому оно может быть преобразовано в дифференциальную форму совершенно так же, как это было сделано с уравнением (55.5). В результате такого преобразования получится
$$\mathrm{rot}\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$

Это — дифференциальная форма закона электромагнитной индукции. Уравнение (66.3) или эквивалентное ему уравнение (66.4) — одно из основных соотношений теории электромагнитного поля. Оно входит в систему уравнений Максвелла.
2. В электростатике источниками электрического поля являются неподвижные электрические заряды. Для такого поля интеграл $\oint \mathbf{E}d\mathbf{s}$ обращается в нуль по любому замкнутому контуру. По этой причине одно только электростатическое поле не может обеспечить непрерывное течение электричества вдоль замкнутых проводов. Напротив, электрическое поле, возбуждаемое магнитным полем, меняющимся во времени, — не потенциальное, а вихревое. Ротор такого поля и его циркуляция, вообще говоря, отличны от нуля. Благодаря этому вихревое поле без каких бы то ни было добавочных сил может вызвать непрерывное течение электричества по замкнутым проводам. Это течение и наблюдается в виде индукционных токов.
3. В общем случае, когда проводник движется в переменном магнитном поле, индукционный ток возбуждается как электрической силой $e\mathbf{E}$, так и магнитной силой $(e/c)[\mathbf{v}\mathbf{B}]$. Объединяя обе силы, можно сказать, что во всех случаях индукционный ток вызывается полной силой Лоренца
$$\mathbf{F}=e(\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{v}\mathbf{B}]).$$

Какая часть индукционного тока вызывается электрической, а какая магнитной составляющей силы Лоренца — это зависит от выбора системы отсчета. Дело в том, что деление электромагнитного поля на электрическое и магнитное определяется системой отсчета, в которой рассматриваются явления. Возьмем две системы отсчета: «неподвижную» систему $S$ и «движущуюся» $S^{\prime }$. Пусть $V-$ скорость системы $S^{\prime }$ относительно системы $S$. При переходе от одной системы отсчета к другой векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в теории относительности и будут рассмотрены в т. IV нашего курса. Но и здесь, если только скорость $V$ мала по сравнению со скоростью света $c$, можно составить об этих законах предварительное представление. Приводимые ниже формулы совпадают с точными релятивистскими формулами в первом порядке относительно малого отношения $V/c$. Они содержат ошибки порядка $(V/c{)}^2$.

Пусть $\mathbf{v}$ — скорость частицы относительно системы $S$, a v’ — относительно системы $S^{\prime }$. Эти скорости связаны соотношением $\mathbf{v}={\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{V}$. В системе $S$ сила, действующая на частицу с зарядом $e$, определяется выражением (66.5), а в системе $S^{\prime }$ — выражением
$$\mathbf{F}=e({\mathbf{E}}^{\prime }+\frac{1}{c}\left[{\mathbf{v}}^{\prime }{\mathbf{B}}^{\prime }\right])$$

где ${\mathbf{E}}^{\prime }$ и ${\mathbf{B}}^{\prime }$ — электрическое и магнитное поля в системе $S^{\prime }$. В нерелятивистской механике сила — инвариант: ${\mathbf{F}}^{\prime }=\mathbf{F}$. Поэтому, заменяя в формуле (66.5) скорость $\mathbf{v}$ на ${\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{V}$, получим
$${\mathbf{F}}^{\prime }=e(\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{V}\mathbf{B}])+\frac{e}{c}\left[{\mathbf{v}}^{\prime }\mathbf{B}\right].$$

Чтобы найти напряженность поля ${\mathbf{E}}^{\prime }$, надо взять частицу, покоящуюся в системе $S^{\prime }$, т. е. в предыдущем выражении положить ${\mathrm{v}}^{\prime }=0$. Это дает
$${\mathbf{F}}^{\prime }=e(\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{V}\mathbf{B}]).$$

С другой стороны, для той же силы можно написать ${\mathbf{F}}^{\prime }=e\mathbf{E}$. Сравнивая оба выражения, находим
$${\mathbf{E}}^{\prime }=\mathbf{E}+\frac{1}{c}[\mathbf{V}\mathbf{B}].$$

Это и есть нерелятивистский закон преобразования электрического поля. Аналогичный закон для магнитного поля не может быть выведен без использования теории относительности, а потому мы приведем его здесь без доказательства:
$${\mathbf{B}}^{\prime }=\mathbf{B}-\frac{1}{c}[\mathbf{V}\mathbf{E}].$$

Возникает вопрос: можно ли перейти к такой системе отсчета, в которой электромагнитное поле сделалось бы чисто электрическим или чисто магнитным? Для того чтобы поле стало чисто электрическим, должно быть ${\mathbf{B}}^{\prime }=0$, или, ввиду формулы (66.7), B — $(1/c)[\mathbf{V}\mathbf{E}]=$ $=0$. Записанное в виде $\mathbf{B}-(1/c)\left[{\mathbf{V}}_{\perp }\mathbf{E}\right]=0$, это уравнение определяет поперечную (относительно вектора $\mathbf{E}$ ) составляющую скорости $\mathbf{V}$. Продольная составляющая скорости $\mathbf{V}$ остается неопределенной. Векторным умножением последнего уравнения на $\mathbf{E}$ получаем
$${\mathbf{V}}_{\perp }=\frac{c}{E^2}[\mathbf{E}\mathbf{B}].$$

Отсюда видно, что система отсчета, обладающая требуемыми свойствами, существует не всегда. Может случиться, что последнее уравнение даст $V_{\perp }>c$, а это невозможно. Правда, для такого заключения в нерелятивистской теории нет оснований, так как формулы (66.6) и (66.7) верны только при $V\ll c$. Однако само заключение верно, как в этом можно убедиться с помощью точных релятивистских формул преобразования полей. Точно так же не всегда возможно перейти к такой системе отсчета, в которой электромагнитное поле становится чисто магнитным. Отсюда следует, что в общем случае индукционный ток вызывается как электрическим, так и магнитным полями. Не всегда возможно, перейдя к другой системе отсчета, рассматривать его как проявление только одного из этих полей.