Учтем теперь тормозящие силы. Полагая в уравнении (122.10) $X=$ $=0$, получим уравнение свободных колебаний
\[
\ddot{q}+2 \gamma \dot{q}+\omega_{0}^{2} q=0 .
\]

Для его решения введем новую переменную $\xi$, полагая
\[
q=\xi e^{-\gamma t} .
\]

Тогда
\[
\ddot{\xi}+\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right) \xi=0 .
\]

Формально это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний (123.1). Однако коэффициент $\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Надо различать три случая.
Случай 1. $\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}>0$. Введем обозначение
\[
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}-\gamma^{2} \text {. }
\]

Тогда
\[
\ddot{\xi}+\omega^{2} \xi=0 .
\]

Отсюда следует, что величина $\xi$ должна совершать незатухающие гармонические колебания с круговой частотой $\omega$ :
\[
\xi=a \cos (\omega t+\delta) .
\]

Следовательно,
\[
q=a e^{-\gamma t} \cos (\omega t+\delta) .
\]

Кривая $q=q(t)$, представляемая этой формулой (рис. 276), не периодична. Однако величина $q$ периодически проходит через нуль и бесконечное число раз достигает максимума и минимума. В этом смысле процессы, описываемые формулой (124.5), являются колебательными. Они называются затухающими колебаниями. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями величины $q$ через нуль равен $\pi / \omega$. Удвоенное его значение
\[
T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}}=\frac{T_{0}}{\sqrt{1-\left(\gamma / \omega_{0}\right)^{2}}}
\]

Рис. 276
называется периодом колебаний, хотя слово «период» здесь не совсем уместно, так как процесс не периодический. Из формулы (124.6) видно, что $T>T_{0}$, т. е. тормозящие силы понижают частоту колебаний и удлиняют их период. Приравнивая нулю производную $\dot{q}$, легко убедиться, что период $T$ есть также время между двумя последовательными прохождениями величины $q$ через максимум или минимум. Множитель
\[
A=a e^{-\gamma t},
\]

стоящий перед периодической функцией $\cos (\omega t+\delta)$ в формуле (124.5), называется амплитудой затухающих колебаний. Она экспоненциально убывает во времени. Время
\[
\tau=1 / \gamma,
\]

по истечении которого амплитуда $A$ убывает в $e$ раз, называется временем затухания. Число полных колебаний, совершаемое за время $\tau$, равно
\[
N=\frac{\tau}{T}=\frac{1}{\gamma T} .
\]

Отношение амплитуд в моменты последовательных прохождений колеблющейся величины через максимумы или минимумы равно $A_{1} / A_{2}=e^{\gamma T}$. Логарифм этого отношения
\[
d=\ln \frac{A_{1}}{A_{2}}=\gamma T
\]

называется логарифмическим декрементом колебания. Он связан с числом колебаний $N$ соотношением
\[
N=1 / d .
\]

Величина
\[
Q=\pi N=\pi / d
\]

называется добротностъю колебательного контура. Физический смысл этой величины будет установлен ниже (см. § 127).

Постоянные интегрирования $a$ и $\delta$ определяются начальными условиями. Допустим, например, что в начальный момент $q=0, \dot{q}=\dot{q}_{0}$, где $\dot{q}_{0}$ — известная постоянная. Полагая в выражении (124.5) $t=0$, получим $\cos \delta=0$, и, следовательно, $\delta= \pm \pi / 2+2 n \pi, q= \pm a e^{-\gamma t} \sin \omega t$. Без потери общности двойной знак можно опустить и написать
\[
q=a e^{-\gamma t} \sin \omega t,
\]

так как постоянную интегрирования можно обозначить и через $+a$, и через $-a$. Отсюда
\[
\dot{q}=(\omega \cos \omega t-\gamma \sin \omega t) a e^{-\gamma t} .
\]

Подставляя сюда $t=0$, получим $\dot{q}_{0}=\omega a$,
\[
q=\frac{\dot{q}_{0}}{\omega} e^{-\gamma t} \sin \omega t .
\]

Случай 2. $\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}=0$. Это предельный случай предыдущего, когда период $T$ обращается в бесконечность. Уравнение (124.3) переходит в $\ddot{\xi}=0$, и, следовательно,
\[
q=(a+b t) e^{-\gamma t} .
\]

В зависимости от значений постоянных интегрирования $a$ и $b$ величина $q$ будет или не будет проходить через максимум (один раз). На рис. 277 изображены два случая: 1) $a
eq 0, b=0$ и 2) $a=0, b
eq 0$. При любых $a$ и $b$ величина $q$ асимптотически приближается к нулю, когда $t \rightarrow \infty$. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.
Если в начальный момент $q_{0}=0$, то $a=0$,
\[
q=b t e^{-\gamma t}, \quad \dot{q}=(1-\gamma t) b e^{-\gamma t} .
\]

Полагая $t=0$, находим $b=\dot{q}_{0}$. Следовательно,
\[
q=\dot{q}_{0} t e^{-\gamma t} .
\]

Случай 3. $\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}<0$. Общее решение уравнения (124.3) будет
\[
\xi=C_{1} e^{-\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}} t}+C_{2} e^{\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}} t},
\]

Рис. 277
а уравнения (124.1) —
\[
q=C_{1} e^{-\alpha_{1} t}+C_{2} e^{-\alpha_{2} t} .
\]

Через $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ обозначены положительные постоянные:
\[
\alpha_{1}=\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}, \quad \alpha_{2}=\gamma-\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}} .
\]

Если в начальный момент $q_{0}=0, \dot{q}=\dot{q}_{0}$, то
\[
q=\frac{\dot{q}_{0}}{\alpha_{1}-\alpha_{2}}\left(e^{-\alpha_{2} t}-e^{-\alpha_{1} t}\right)=\frac{\dot{q}_{0}}{2 \sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}}\left(e^{-\alpha_{2} t}-e^{-\alpha_{1} t}\right) .
\]