1. Одним из фундаментальных уравнений электростатики является теорема Гаусса (13.4) или (13.5). Второе фундаментальное уравнение электростатики будет сформулировано в § 17 при введении понятия потенциала. В вакууме, где поле характеризуется одним только вектором $\mathbf{E}$, этих уравнений достаточно. Они образуют полную систему уравнений электростатики. В веществе к вектору $\mathbf{E}$ надо добавить еще один вектор ( $\mathbf{P}$ или $\mathbf{D}$ ). Поэтому уравнения электростатики надо дополнить еще одним векторным уравнением. Принципиальный способ получения такого уравнения содержится в самом определении вектора поляризации $\mathbf{P}$. Если известна атомная структура вещества, то в принципе можно рассчитать смещения электронов и атомных ядер, которые они получают при внесении вещества в электрическое поле. После этого можно вычислить вектор $\mathbf{P}$ и тем самым получить недостающее уравнение. Ясно, что в зависимости от конкретных условий таким путем должны получаться весьма разнообразные и сложные соотношения. Универсальной связи между векторами $\mathbf{P}$ и $\mathbf{E}$, пригодной для всех веществ, не существует. Здесь мы не можем идти по указанному пути. Мы получим недостающее уравнение, опираясь на опыт.
2. Опыт показывает, что для обширного класса диэлектриков и широкого круга явлений связь между векторами $\mathbf{P}$ и $\mathbf{E}$ линейна и однородна. Такая закономерность объясняется тем, что напряженности макроскопических электрических полей обычно очень малы по сравнению с напряженностями микрополей внутри атомов и молекул (см. § 12 , п.4). Если среда изотропна, то векторы Р и Е коллинеарны и можно написать
\[
\mathbf{P}=\alpha \mathbf{E},
\]

где $\alpha$ – безразмерный коэффициент, называемый поляризуемостью диэлектрика. Он зависит от плотности и температуры диэлектрика. Связь между $\mathbf{D}$ и $\mathbf{E}$ записывается в виде
\[
\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} .
\]

Новая безразмерная величина
\[
\varepsilon=1+4 \pi \alpha
\]

называется диэлектрической проницаемостью диэлектрика. Этой величиной обычно и характеризуются индивидуальные свойства диэлектриков. Для вакуума $\alpha=0, \varepsilon=1$.
3. В кристаллах направления векторов $\mathbf{P}$ и $\mathbf{E}$ не совпадают. Соотношение (15.1) заменяется более общей линейной однородной зависимостью:
\[
\begin{array}{l}
P_{x}=\alpha_{x x} E_{x}+\alpha_{x y} E_{y}+\alpha_{x z} E_{z}, \\
P_{y}=\alpha_{y x} E_{x}+\alpha_{y y} E_{y}+\alpha_{y z} E_{z}, \\
P_{z}=\alpha_{z x} E_{x}+\alpha_{z y} E_{y}+\alpha_{z z} E_{z},
\end{array}
\]

или сокращенно:
\[
P_{i}=\sum_{j} \alpha_{i j} E_{j} \quad(i, j=x, y, z) .
\]

Здесь $\alpha_{i j}$ – безразмерные коэффициенты, зависящие от выбора координатных осей. Совокупность этих девяти коэффициентов называется тензором поляризуемости диэлектрика. Аналогично,
\[
D_{i}=\sum_{j} \varepsilon_{i j} E_{j} \quad(i, j=x, y, z),
\]

где $\varepsilon_{i j}$ – новые безразмерные постоянные, образующие тензор диэлектрической проницаемости вещества. Они связаны с коэффициентами $\alpha_{i j}$ соотношениями
\[
\varepsilon_{i j}=\delta_{i j}+4 \pi \alpha_{i j}
\]

где $\delta_{i j}$ – единичный тензор, определяемый условиями: $\delta_{i j}=1$ при $i=j$, $\delta_{i j}=0$ при $i
eq j$. Пользуясь понятием энергии как функции состояния, находим, что $\alpha_{i j}$ и $\varepsilon_{i j}$ симметричны, т.е.
\[
\alpha_{i j}=\alpha_{j i}, \quad \varepsilon_{i j}=\varepsilon_{j i} .
\]
4. Все приведенные приближенные соотношения, несмотря на их важность, не относятся к числу фундаментальных соотношений электростатики и электродинамики. Область применимости их ограничена. Существуют диэлектрики, к которым они неприменимы. Мы указывали уже, что ионные кристаллы могут быть поляризованы даже в отсутствие внешнего электрического поля. Другим примером тел, обладающих тем же свойством, могут служить электреты. Эти диэлектрики подобны постоянным магнитам. Они длительно сохраняют состояние поляризации и благодаря этому создают электрическое поле в окружающем пространстве. Электрет можно получить, поместив в сильное электрическое поле расплавленный диэлектрик, состоящий из полярных молекул. Подходящим веществом может служить смесь воска и смолы, помещаемая в электрическое поле порядка $10^{6} \mathrm{~B} / \mathrm{m}$. После застывания диэлектрика поле выключается. Застывший диэлектрик сохраняет поляризацию в течение нескольких часов и даже суток. Поляризация в конце концов исчезает благодаря медленным релаксационным процессам, идущим внутри диэлектрика. Существуют электреты, время жизни которых составляет многие годы. Приближенно поведение электретов и аналогичных им диэлектриков в электрическом поле можно описать соотношением вида
\[
\mathbf{P}=\mathbf{P}_{0}+\alpha \mathbf{E},
\]

где величины $\mathbf{P}_{0}$ и $\alpha$ от напряженности поля $\mathbf{E}$ не зависят.
5. Опишем еще демонстрационный опыт с лейденской банкой. Удобно взять банку, наружной обкладкой которой служит длинная металлическая трубка. В нее вставляется диэлектрическая трубка из кварца, а в последнюю – внутренняя обкладка, представляющая собой металлический стержень на изолирующей ручке. Заземлив наружную обкладку, банку заряжают от электростатической машины, затем отсоединяют от нее и разбирают. Внутренний стержень вытягивается за изолирующую ручку, вынимается кварцевая трубка, и обе металлические обкладки приводятся в контакт друг с другом. Теперь на обкладках зарядов нет. Если банку собрать снова, то она опять окажется заряженной. Такую операцию можно повторить многократно, и всякий раз после сборки банка оказывается заряженной. Это доказывает, что кварцевая трубка поляризована даже тогда, когда она не окружена заряженными обкладками. Поляризованный кварц создает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и индуцирует электрические заряды на обкладках собранной банки.

Еще более сложные явления наблюдаются в так называемых сегнетоэлектриках (см. § 39). Здесь связь между векторами $\mathbf{P}$ и $\mathbf{E}$ нелинейна и зависит от предшествующей истории изменения поля.

Простейший случай, когда применимы формулы (15.1) и (15.2), является довольно распространенным и практически наиболее важным. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем иметь дело именно с таким случаем.
6. Рассмотрим теперь поведение силовых линий при прохождении через границу раздела двух диэлектриков (рис. 49). Если на границе раздела нет свободных зарядов, то должны выполняться граничные условия
\[
E_{1 t}=E_{2 t}, \quad \varepsilon_{1} E_{1 n}=\varepsilon_{2} E_{2 n} .
\]

Если ввести углы $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ между силовыми линиями и нормалью к границе раздела, то эти условия можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
E_{1} \sin \beta_{1} & =E_{2} \sin \beta_{2}, \\
\varepsilon_{1} E_{1} \cos \beta_{1} & =\varepsilon_{2} E_{2} \cos \beta_{2} .
\end{aligned}
\]

Из них получаем
\[
\frac{\operatorname{tg} \beta_{1}}{\operatorname{tg} \beta_{2}}=\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}} .
\]

Отсюда видно, что при переходе через границу раздела двух диэлектриков силовые линии
Рис. 49
испытывают преломление. При переходе из диэлектрика с меньшей $\varepsilon$ в диэлектрик с большей $\varepsilon$ угол $\beta$ увеличивается, т. е. силовая линия удаляется от нормали к границе раздела. С этим связана концентрация (сгущение) силовых линий в диэлектрике с большей диэлектрической проницаемостью. Примером может служить диэлектрическая пластинка, внесенная в однородное электрическое поле (рис. 50).

Если полый диэлектрик с большой диэлектрической проницаемостью внести в электрическое поле, то из-за преломления силовые линии сконцентрируются преимущественно в стенках диэлектрика (рис. 51). Внутри полости они расположатся редко. Это значит, что поле в полости будет ослаблено по сравнению с наружным полем. Полость
3 Д. В. Сивухин. Т. 3 внутри диэлектрика, таким образом, обладает экранирующим действием. В этом отношении она ведет себя аналогично полости в металле.
Рис. 50
Рис. 51

Однако, в отличие от металла, экранирование диэлектриком не полное. Чем больше диэлектрическая проницаемость, тем сильнее экранирующее действие.