1. В различных вопросах теории электричества и других разделов теоретической физики часто применяется математическая формула, с помощью которой поток вектора через произвольную замкнутую поверхность выражается через объемный интеграл по области, ограниченной этой поверхностью. Приведем вывод этой формулы, хотя в большинстве случаев мы и будем избегать пользоваться ею. Пусть $f(x, y, z)$ — некоторая функция, а $S$ замкнутая поверхность, ограничивающая объем $V$ (рис. 26). На отрезке 12, параллельном оси $x, f$ является функцией одного аргумента $x$. Интегрируя вдоль этого отрезка, получим
\[
\int_{12} \frac{\partial f}{\partial x} d x=f_{2}-f_{1}
\]

где $f_{1}$ и $f_{2}$ — значения функции $f$ на концах рассматриваемого отрезка. Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 12. Пусть $d \sigma$ — площадь его поперечного сече-
Рис. 26

ния (величина существенно положительная). Умножим предыдущее соотношение на $d \sigma$. Так как $d \sigma d x$ есть элементарный объем $d V$, заштрихованный на рисунке, то в результате получится
\[
\int_{\Delta V} \frac{\partial f}{\partial x} d V=d \sigma\left(f_{2}-f_{1}\right)
\]

где $\Delta V$ — часть объема $V$, вырезаемого из него поверхностью цилиндра. Пусть $d S_{1}$ и $d S_{2}$ — элементарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности $S$, а $\mathbf{n}_{1}$ и $\mathbf{n}_{2}$ — единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности $S$. Тогда $d \sigma=d S_{2} \cdot n_{2 x}=-d S_{1} \cdot n_{1 x}$, а потому
\[
\int_{\Delta V} \frac{\partial f}{\partial x} d V=f_{1} n_{1 x} d S_{1}+f_{2} n_{2 x} d S_{2}
\]

или, короче,
\[
\int_{\Delta V} \frac{\partial f}{\partial x} d V=\int_{d S_{1}+d S_{2}} f n_{x} d S
\]

где поверхностный интеграл распространен по сумме площадок $d S_{1}$ и $d S_{2}$. Весь объем $V$ можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим
\[
\int_{V} \frac{\partial f}{\partial x} d V=\oint_{S} f n_{x} d S
\]

Интеграл слева распространен по всему объему $V$, справа — по поверхности $S$, ограничивающей этот объем. Аналогичные соотношения можно написать для осей $y$ и $z$.

Возьмем теперь произвольный вектор $\mathbf{A}$ и применим к его компонентам соотношение (8.1). Получим
\[
\int_{V} \frac{\partial A_{x}}{\partial x} d V=\oint_{S} A_{x} n_{x} d S
\]

и аналогично для компонент $A_{y}$ и $A_{z}$. Складывая эти соотношения, найдем
\[
\int_{V}\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\right) d V=\oint_{S}\left(A_{x} n_{x}+A_{y} n_{y}+A_{z} n_{z}\right) d S
\]

или
\[
\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{A} d V=\oint_{S}(\mathbf{A n}) d S .
\]

Это и есть формула Гаусса-Остроградского. Ее можно также записать в виде
\[
\int_{V} \operatorname{div} \mathbf{A} d V=\oint_{S}(\mathbf{A} d \mathbf{S}) .
\]
2. Если объем $V$ бесконечно мал, то величина $\operatorname{div} \mathbf{A}$ внутри него может считаться постоянной. Вынося ее за знак интеграла и переходя к пределу $V \rightarrow 0$, получим
\[
\operatorname{div} \mathbf{A}=\lim _{V \rightarrow 0} \frac{1}{V} \oint_{S}(\mathbf{A} d \mathbf{S}) .
\]

Предельный переход надо понимать в том смысле, что область $V$ должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Наши рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части (8.4), не зависит от формы поверхности $S$, стягиваемой в точку. Поэтому выражение (8.4) можно было бы принять за исходное определение дивергенции, как это часто и делается. Такое определение обладает тем преимуществом, что оно инвариантно, т. е. никак не связано с выбором системы координат.

На формуле (8.4) основан наиболее простой и общий способ вычисления дивергенции в различных системах координат. Вычислим, например, $\operatorname{div} \mathbf{A}$ в сферической системе координат $r, \vartheta, \varphi$ (рис. 27). Рассмотрим бесконечно малый «кубик», ограниченный плоскостями
Рис. 27
$r=$ const, $\vartheta=$ const, $\varphi=$ const. Сумма потоков вектора $\mathbf{A}$ через противоположные грани кубика 1 и 2 будет
\[
d_{1} \Phi=-A_{r}(r) d S_{1}+A_{r}(r+d r) d S_{2}=\frac{\partial}{\partial r}\left(A_{r} d S\right) d r .
\]

Подставляя сюда $d S=r^{2} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi$, получим
\[
d_{1} \Phi=\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} A_{r}\right) \sin \vartheta d \vartheta d \varphi d r=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(r^{2} A_{r}\right) d V,
\]

где $d V=r^{2} \sin \vartheta d r d \vartheta d \varphi$ — объем рассматриваемого «кубика». Аналогично находятся потоки через остальные две пары противоположных граней, а затем и выражение для дивергенции:
\[
\operatorname{div} \mathbf{A}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} A_{r}\right)+\frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta A_{\vartheta}\right)+\frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi} .
\]

Если вектор $\mathbf{A}$ направлен по $\mathbf{r}$ и зависит только от расстояния $r$, то это выражение переходит в (7.4).

Приведем другой пример на применение формулы Гаусса-Остроградского. Согласно (5.5) $\oint \mathbf{E} d \mathbf{S}=4 \pi q$, или для бесконечно малого объема $\oint \mathbf{E} d \mathbf{S}=$ $=4 \pi \rho V$. Подставив это значение в (8.4), получим $\operatorname{div} \mathbf{E}=4 \pi \rho$, т. е. теорему Гаусса в дифференциальной форме.
ЗАДАЧА
Электрическое поле в электростатике всегда перпендикулярно к поверхности проводника (см. § 11, п.4). Пользуясь этим, доказать, что вблизи искривленной поверхности заряженного проводника электрическое поле удовлетворяет соотношению
\[
\frac{\partial E}{\partial n}=-E\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right),
\]

где производная берется по направлению внешней нормали к поверхности проводника, а $R_{1}$ и $R_{2}$ — главные радиусы кривизны этой поверхности (они считаются положительными для выпуклых и отрицательными для вогнутых сечений поверхности).