1. В различных вопросах теории электричества и других разделов теоретической физики часто применяется математическая формула, с помощью которой поток вектора через произвольную замкнутую поверхность выражается через объемный интеграл по области, ограниченной этой поверхностью. Приведем вывод этой формулы, хотя в большинстве случаев мы и будем избегать пользоваться ею. Пусть $f(x,y,z)$ — некоторая функция, а $S$ замкнутая поверхность, ограничивающая объем $V$ (рис. 26). На отрезке 12, параллельном оси $x,f$ является функцией одного аргумента $x$. Интегрируя вдоль этого отрезка, получим
$${\int }_{12}\frac{\partial f}{\partial x}dx=f_2-f_1$$

где $f_1$ и $f_2$ — значения функции $f$ на концах рассматриваемого отрезка. Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 12. Пусть $d\sigma$ — площадь его поперечного сече-
Рис. 26

ния (величина существенно положительная). Умножим предыдущее соотношение на $d\sigma$. Так как $d\sigma dx$ есть элементарный объем $dV$, заштрихованный на рисунке, то в результате получится
$${\int }_{\mathrm{\Delta }V}\frac{\partial f}{\partial x}dV=d\sigma (f_2-f_1)$$

где $\mathrm{\Delta }V$ — часть объема $V$, вырезаемого из него поверхностью цилиндра. Пусть $d{S}_1$ и $d{S}_2$ — элементарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности $S$, а ${\mathbf{n}}_1$ и ${\mathbf{n}}_2$ — единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности $S$. Тогда $d\sigma =d{S}_2\cdot n_{2x}=-d{S}_1\cdot n_{1x}$, а потому
$${\int }_{\mathrm{\Delta }V}\frac{\partial f}{\partial x}dV=f_1{n}_{1x}d{S}_1+f_2{n}_{2x}d{S}_2$$

или, короче,
$${\int }_{\mathrm{\Delta }V}\frac{\partial f}{\partial x}dV={\int }_{d{S}_1+d{S}_2}f{n}_{x}dS$$

где поверхностный интеграл распространен по сумме площадок $d{S}_1$ и $d{S}_2$. Весь объем $V$ можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим
$${\int }_V\frac{\partial f}{\partial x}dV={\oint }_{S}f{n}_{x}dS$$

Интеграл слева распространен по всему объему $V$, справа — по поверхности $S$, ограничивающей этот объем. Аналогичные соотношения можно написать для осей $y$ и $z$.

Возьмем теперь произвольный вектор $\mathbf{A}$ и применим к его компонентам соотношение (8.1). Получим
$${\int }_V\frac{\partial A_x}{\partial x}dV={\oint }_S{A}_x{n}_{x}dS$$

и аналогично для компонент $A_y$ и $A_z$. Складывая эти соотношения, найдем
$${\int }_V(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z})dV={\oint }_S(A_x{n}_x+A_y{n}_y+A_z{n}_z)dS$$

или
$${\int }_V\mathrm{div}\mathbf{A}dV={\oint }_S(\mathbf{A}\mathbf{n})dS.$$

Это и есть формула Гаусса-Остроградского. Ее можно также записать в виде
$${\int }_V\mathrm{div}\mathbf{A}dV={\oint }_S(\mathbf{A}d\mathbf{S}).$$
2. Если объем $V$ бесконечно мал, то величина $\mathrm{div}\mathbf{A}$ внутри него может считаться постоянной. Вынося ее за знак интеграла и переходя к пределу $V\to 0$, получим
$$\mathrm{div}\mathbf{A}=\underset{V\to 0}{lim}\frac{1}{V}{\oint }_S(\mathbf{A}d\mathbf{S}).$$

Предельный переход надо понимать в том смысле, что область $V$ должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Наши рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части (8.4), не зависит от формы поверхности $S$, стягиваемой в точку. Поэтому выражение (8.4) можно было бы принять за исходное определение дивергенции, как это часто и делается. Такое определение обладает тем преимуществом, что оно инвариантно, т. е. никак не связано с выбором системы координат.

На формуле (8.4) основан наиболее простой и общий способ вычисления дивергенции в различных системах координат. Вычислим, например, $\mathrm{div}\mathbf{A}$ в сферической системе координат $r,\vartheta ,\phi$ (рис. 27). Рассмотрим бесконечно малый «кубик», ограниченный плоскостями
Рис. 27
$r=$ const, $\vartheta =$ const, $\phi =$ const. Сумма потоков вектора $\mathbf{A}$ через противоположные грани кубика 1 и 2 будет
$$d_1\mathrm{\Phi }=-A_r(r)d{S}_1+A_r(r+dr)d{S}_2=\frac{\partial }{\partial r}\left(A_{r}dS\right)dr.$$

Подставляя сюда $dS=r^2\sin \vartheta d\vartheta d\phi$, получим
$$d_1\mathrm{\Phi }=\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2{A}_r\right)\sin \vartheta d\vartheta d\phi dr=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial \vartheta }\left(r^2{A}_r\right)dV,$$

где $dV=r^2\sin \vartheta drd\vartheta d\phi$ — объем рассматриваемого «кубика». Аналогично находятся потоки через остальные две пары противоположных граней, а затем и выражение для дивергенции:
$$\mathrm{div}\mathbf{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2{A}_r\right)+\frac{1}{r\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }(\sin \vartheta A_{\vartheta })+\frac{1}{r\sin \vartheta }\frac{\partial A_{\phi }}{\partial \phi }.$$

Если вектор $\mathbf{A}$ направлен по $\mathbf{r}$ и зависит только от расстояния $r$, то это выражение переходит в (7.4).

Приведем другой пример на применение формулы Гаусса-Остроградского. Согласно (5.5) $\oint \mathbf{E}d\mathbf{S}=4\pi q$, или для бесконечно малого объема $\oint \mathbf{E}d\mathbf{S}=$ $=4\pi \rho V$. Подставив это значение в (8.4), получим $\mathrm{div}\mathbf{E}=4\pi \rho$, т. е. теорему Гаусса в дифференциальной форме.
ЗАДАЧА
Электрическое поле в электростатике всегда перпендикулярно к поверхности проводника (см. § 11, п.4). Пользуясь этим, доказать, что вблизи искривленной поверхности заряженного проводника электрическое поле удовлетворяет соотношению
$$\frac{\partial E}{\partial n}=-E(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}),$$

где производная берется по направлению внешней нормали к поверхности проводника, а $R_1$ и $R_2$ — главные радиусы кривизны этой поверхности (они считаются положительными для выпуклых и отрицательными для вогнутых сечений поверхности).