1. При движении заряженной частицы в неоднородном магнитном поле или при изменении самого магнитного поля ларморовский радиус частицы $\rho$, а также ее поперечная скорость $v_{\perp}$ изменяются. Исследуем характер этого изменения, предполагая, что магнитное поле слабо неоднородно и меняется во времени медленно.
Рассмотрим сначала случай, когда частица движется перпендикулярно к магнитному полю $\mathbf{B}$, а само поле $\mathbf{B}$ однородно и меняется только во времени. Предположим, что электрического поля нет, за исключением поля, обусловленного изменениями В во времени. В этих условиях дрейф частицы отсутствует, как это видно из формулы (87.5). Если бы магнитное поле было постоянно, то частица двигалась бы по окружности радиуса $\rho=v / \omega$. При изменении магнитного поля траектория частицы перестает быть замкнутой. Однако если магнитное поле меняется медленно, то за циклотронный период $T=2 \pi / \omega$ отклонения траектории от окружности будут малы. Переменное магнитное поле индуцирует поле электрическое. Вследствие этого ларморовский радиус $\rho$ и скорость частицы $v$ изменяются в соответствии с уравнением $m \dot{v}=e E_{s}$, где $E_{s}-$ проекция электрического поля $\mathbf{E}$ на направление траектории. Изменениями величины $E_{s}$ за циклотронный период можно пренебречь, а ввиду незначительности отклонения траектории от ларморовской окружности вместо $E_{s}$ можно взять проекцию вектора $\mathbf{E}$ на направление ларморовской окружности (последняя на рис. 203 изображена штриховой линией). Тогда $E_{s}$ определится из уравнения
\[
\oint E_{s} d s=\frac{1}{c} \frac{d \Phi}{d t}=\frac{\pi \rho^{2}}{c} \frac{d B}{d t} .
\]
Рис. 203
Здесь производная $d \Phi / d t$ взята с плюсом, а не с минусом, так как речь идет о проекции на направление движения частицы, а оно при $e>0$ противоположно положительному направлению обхода контура. Написанное уравнение дает
\[
E_{s}=\frac{\rho}{2 c} \frac{d B}{d t}=\frac{m v}{2 e B} \frac{d B}{d t} .
\]
Уравнение движения частицы переходит в
\[
m \frac{d v}{d t}=\frac{m v}{2 B} \frac{d B}{d t} .
\]
Отсюда после интегрирования получим
\[
v^{2} / B=\text { const. }
\]
Таким образом, величина $v^{2} / B$ при движении частицы сохраняется неизменной. Однако это справедиво только при медленных изменениях магнитного поля, т. е. величина $v^{2} / B$ является не точным интегралом движения, а адиабатическим инвариантом.
Если у частицы есть продольная скорость $v_{\|}$, то эта скорость не окажет никакого влияния на поперечное движение. В нашем рассуждении полную скорость $v$ надо просто заменить ее поперечной составляющей $v_{\perp}$, что дает
\[
v_{\perp}^{2} / B=\text { const. }
\]
Адиабатическим инвариантом будет величина $v_{\perp}^{2} / B$.
2. Рассмотрим теперь случай, когда магнитное поле, в котором движется частица, постоянно, но слабо неоднородно. Допустим, что дрейф в боковом направлении отсутствует, т. е. ведущий центр частицы движется вдоль магнитной силовой линии. Последнюю ради простоты будем считать прямолинейной (она на рис. 204 изображена штриховой линией). Частица может двигаться как в сторону схождения, так и в сторону расхождения магнитных силовых линий. При движении на частицу действует сила Лоренца $\mathbf{F}=(e / c)[\mathbf{v B}]$. Она имеет слагающую вдоль центральной силовой линии. Эта слагающая будет замедлять продольное движение частицы, если оно происходит в направлении схождения магнитных силовых линий, и ускорять в противоположном случае. А так как полная кинетическая энергия частицы сохраняется, то возрастание продольной скорости $v_{\|}$будет сопровождаться убыванием поперечной $v_{\perp}$, и наоборот. Покажем, что при этом соотношение (88.1) остается справедливым. Для этого достаточно перейти к системе отсчета, движущейся со скоростью $\mathbf{v}_{\|}$. Поступательная сила инерции $-m \dot{\mathbf{v}}_{\|}$, появляющаяся в этой системе, параллельна магнитному полю $\mathbf{B}$, а потому не оказывает никакого влияния Рис. 204 на скорость дрейфа. Однако в движущейся системе отсчета магнитное поле В становится переменным, и к нему полностью применимы рассуждения, которыми мы пользовались при доказательстве формулы (88.1).
3. Допустим теперь, что есть дрейф в поперечном направлении со скоростью $\mathbf{v}_{\text {д }}$. Этот дрейф может вызываться либо электрическим полем, либо неоднородностями магнитного поля, либо и тем и другим. Он может вызываться и любыми другими силами. Для последующего изложения все это не имеет значения. Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью $\mathbf{v}_{\text {д }}$. Силой инерции $-m \dot{\mathbf{v}}_{\text {д }}$ в этом случае можно пренебречь, как величиной второго или высшего порядка малости. После этого рассматриваемый случай сведется к уже рассмотренным. Отсюда следует, что адиабатическим инвариантом будет величина $\mathbf{v}_{\perp}^{\prime 2} / B$, где $\mathbf{v}^{\prime}$ – скорость частицы в движущейся системе отсчета. Но $v_{\perp}^{\prime}$ есть скорость вращения частицы по ларморовской окружности, если отвлечься от дрейфового движения последней и от движения вдоль магнитной силовой линии. Таким образом, адиабатическая инвариантность $v_{\perp}^{2} / B$ сохраняется, если понимать под $v_{\perp}$ скорость вращения частицы по ларморовской окружности в только что указанном смысле.
4. Частица, вращающаяся по ларморовскому кружку, обладает магнитным моментом $\mathfrak{M}$, величина которого, как легко вычислить, равна $m v_{\perp}^{2} /(2 B)$. Этот момент направлен против поля независимо от знака заряда частицы, а потому в векторной форме
\[
\mathfrak{M}=-\frac{m v_{\perp}^{2}}{2 B} \mathbf{h} .
\]
Аналогично, магнитный поток через ларморовский кружок равен
\[
\Phi=\pi \frac{m^{2} c^{2} v_{\perp}^{2}}{e^{2} B} .
\]
С учетом соотношения (88.1) отсюда следует, что обе величины $\mathfrak{M}$ и $\Phi$ являются адиабатическими инвариантами.
5. С адиабатической инвариантностью величины (88.1) связано явление отражения заряженных частиц от областей сильного магнитного поля. Пусть магнитное поле не меняется во времени, а частица движется в сторону схождения магнитных силовых линий. Тогда, как было выяснено в п. 2 , ее продольная скорость будет уменьшаться, а поперечная – увеличиваться. Если $\mathbf{v}$ – полная скорость, а $\alpha$ – угол наклона ее к магнитной силовой линии, то $v_{\perp}=v \sin \alpha$. А так как при движении в постоянном магнитном поле числовое значение скорости $\mathbf{v}$ не изменяется, то из (88.1) следует
\[
\frac{\sin ^{2} \alpha}{B}=\frac{\sin ^{2} \alpha_{0}}{B_{0}}=\text { const. }
\]
Здесь индексом нуль обозначены значения $B$ и $\alpha$ в каком-либо положении частицы, условно принимаемом за исходное. Из полученного соотношения следует, что в область, определяемую условием $B>$ $>B_{0} / \sin ^{2} \alpha_{0}$, частица проникнуть не может, так как в противном случае $|\sin \alpha|$ должен был бы превзойти единицу. По мере продвижения в область более сильного поля угол $\alpha$ будет возрастать. Если при этом он все время остается меньше $90^{\circ}$, то частица будет продолжать движение вперед. Это будет тогда, когда для всех точек траектории выполняется условие
\[
\sin \alpha_{0}<\sqrt{B_{0} / B} .
\]
Если же угол $\alpha$ в некоторой точке достигает $90^{\circ}$, то частица начнет двигаться в обратном направлении, т. е. отразится. Явление напоминает полное отражение света в оптике. Точка, где произойдет отражение, определяется уравнением
\[
\sin \alpha_{0}=\sqrt{B_{0} / B} .
\]
