1. Для равновесия системы точечных электрических зарядов необходимо и достаточно, чтобы сила, действующая на каждый заряд, обращалась в нуль. Примером, где это условие соблюдается, может служить система двух одинаковых точечных зарядов $q$ и $q$, посередине между которыми помещен заряд противоположного знака $-q / 4$ (рис. 28). Другие примеры приводятся в задаче к этому параграфу. На вопрос об устойчивости такого равновесия дает ответ теорема Рис. 28 Ирншоу. Согласно этой теореме всякая равновесная конфиеурация покоящихся точечных

электрических зарядов неустойчива, если на них, кроме кулоновских сил притяэсения и отталкивания, никакие другие силы не действуют.

Теорема Ирншоу является следствием теоремы Гаусса. Допустим, что какая-то система неподвижных точечных зарядов находится в устойчивом равновесии. Рассмотрим произвольный заряд $q$ этой системы, находящейся в равновесии в положении $A$ (рис. 29). Предположим для определенности, что заряд $q$ положителен (в случае отрицательного заряда доказательство аналогично). Если заряд $q$ сместится в бесконечно близкую точку $A^{\prime}$, то ввиду предположенной устойчивости равновесия должна возникнуть сила, направленная к точке $A$ и стремящаяся вернуть заряд снова в ту же точку. Пусть $\mathbf{E}$ – электрическое Рис. 29 поле, создаваемое всеми зарядами, за исключением заряда $q$. В точке $A^{\prime}$ оно должно быть направлено к $A$, каково бы ни было направление смещения $A A^{\prime}$. Окружим заряд $q$ произвольной замкнутой поверхностью $S$ и притом такой, чтобы все прочие заряды были расположены во внешнем пространстве по отношению к этой поверхности. На поверхности $S$ поле $\mathbf{E}$ направлено к точке $A$, а потому поток вектора $\mathbf{E}$ через поверхность $S$ отрицателен. Но это противоречит теореме Гаусса. Последняя требует, чтобы указанный поток был равен нулю, поскольку он создается зарядами, расположенными вне $S$. Получившееся противоречие и доказывает теорему Ирншоу.

Если помимо электрических сил в системе действуют какие-либо другие силы, то равновесие может оказаться устойчивым. Возьмем, например, три одинаковых и одинаково заряженных шарика. Два из них закрепим на концах цилиндрической трубки из изолятора, а третий поместим посередине между ними (рис. 30). Пусть средний шарик может скользить внутри трубки без трения. Тогда в среднем положении он будет находиться в устойчивом равновесии.
2. Теорема Гаусса справедлива и для гравитационных полей. Однако в этом случае все силы являются силами притяжения. Равновесных конфигураций материальных точек, притягивающихся по закону всемирного тяготения Ньютона, не существует, и теорема Ирншоу лишена содержания. Это очевидно для системы из двух материальных точек. Если в некоторый момент времени обе точки находятся в покое, то силы притяжения между ними приведут их в движение, пока обе точки не сольются в одном месте. Рассмотрим теперь произвольное число материальных точек (рис. 31). В любой момент времени в системе можно найти такую крайнюю точку $A$, что все прочие материальные
Рис. 30
Рис. 31
точки окажутся расположенными по одну сторону какой-то плоскости, проходящей через $A$. Сила $\mathbf{F}$, действующая на $A$, будет направлена в сторону пространства, в котором расположены эти материальные точки. Если точка $A$ в рассматриваемый момент времени находится в покое, то под действием силы $\mathbf{F}$ она придет в движение, т.е. равновесие будет нарушено. Возможность равновесных конфигураций неподвижных электрических зарядов связана с тем, что имеются заряды обоих знаков, встречаются как силы притяжения, так и силы отталкивания.
3. Атомы химических элементов состоят из положительно заряженных атомных ядер и окружающих их отрицательно заряженных электронов. Размеры атомов порядка $10^{-8}$ см. Размеры атомных ядер и электронов примерно в $10^{5}$ раз меньше, т. е. пренебрежимо малы по сравнению с размерами атомов. Таким образом, атом с большой точностью может рассматриваться как система, состоящая из точечных электрически заряженных частиц. К такой системе применима теорема Ирншоу. Атомы, несомненно, являются устойчивыми системами. Поэтому электроны и атомные ядра, из которых они состоят, не могут находиться в покое. Для объяснения устойчивоcтu атомных систем в классической физике была введена планетарная модель атома. По этой модели электроны вращаются вокруг ядра подобно планетам, вращающимся вокруг Солнца. Однако планетарная модель атома оказалась также неустойчивой. Электрон, вращающийся вокруг ядра, движется ускоренно. А по законам классической электродинамики ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны. Непрерывно растрачивая энергию на излучение, вращающийся электрон в конце концов должен был бы упасть на ядро. Классическая физика оказалась неспособной объяснить устойчивость атома. Объяснение было дано только квантовой механикой.

ЗАДАЧА

Одинаковые (по величине и по знаку) точечные заряды помещены в вершинах правильного 1) треугольника; 2) четырехугольника; 3) шестиугольника. Какой заряд $q$ противоположного знака надо поместить в центре системы, чтобы она находилась в равновесии?

Ответ. 1) $Q=-q / \sqrt{3}$; 2) $Q=-(1 / 2)(\sqrt{2}+1 / 2) q$; 3) $Q=-(5 / 4+$ $+1 / \sqrt{3}) q$.