1. Как выяснено в § 11, влияние диэлектрика на электрическое поле сводится к действию поляризационных зарядов. Поэтому к диэлектрикам можно применить соотношение (5.5), добавив при этом к свободным зарядам $q$ поляризационные заряды $q_{\text {пол }}$ :
\[
\oint E_{n} d S=4 \pi\left(q+q_{\text {пол }}\right) .
\]

Подставив сюда значение $q_{\text {пол }}$ из формулы $(12.3)$, получим
\[
\oint\left(E_{n}+4 n P_{n}\right) d S=4 n q .
\]

Введем новый вектор
\[
\mathbf{D}=\mathbf{E}+4 \pi \mathbf{P},
\]

называемый вектором электрической индукции, или электрического смещения. Тогда
\[
\oint D_{n} d S=4 \pi q .
\]

Это и есть теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Мы видим, что поток вектора $\mathbf{D}$ через замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами. Этим и оправдывается введение вектора D. В вакууме векторы $\mathbf{D}$ и $\mathbf{E}$ совпадают.
2. В дифференциальной форме соотношение (13.4) имеет вид
\[
\operatorname{div} \mathbf{D}=4 \pi \rho,
\]

где $\rho$ – объемная плотность свободных зарядов. Нелишне напомнить, что теоремы (13.4) и (13.5) справедливы не только в электростатике. Они постулируются также для переменных во времени полей. Эти теоремы входят как составные части в систему фундаментальных электродинамических уравнений Максвелла.
Подставив в (13.5) выражение (13.3), получим
\[
\operatorname{div} \mathbf{E}=4 \pi(\rho-\operatorname{div} \mathbf{P}) .
\]

Но для той же величины можно написать
\[
\operatorname{div} \mathbf{E}=4 \pi\left(\rho+\rho_{\text {пол }}\right) .
\]

Следовательно,
\[
\rho_{\text {пол }}=-\operatorname{div} \mathbf{P} \text {. }
\]
3. Теорема Гаусса для вектора электрического смещения в диэлектрике имеет такой же вид, как и для напряженности электрического поля в вакууме. Поэтому все математические соотношения, полученные из нее для вакуума, сохраняют силу и для однородного диэлектрика. Надо только вектор $\mathbf{E}$ заменить вектором $\mathbf{D}$. Таким путем из формул

(6.1)-(6.3) и (6.5) получаем, например,
\[
\begin{array}{c}
D=2 \pi \sigma, \\
D=\left\{\begin{array}{ll}
4 \pi \rho x & \text { внутри пластинки, } \\
4 \pi \rho a & \text { вне пластинки, }
\end{array}\right. \\
D=\left\{\begin{array}{ll}
(4 \pi / 3) \rho r & \text { внутри шара, } \\
(4 \pi / 3) \rho a^{3} / r^{2} & \text { вне шара. }
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Электрическое смещение точечного заряда в однородном диэлектрике определяется выражением
\[
\mathbf{D}=q \mathbf{r} / r^{3} .
\]