1. Найдем циркуляцию вектора В по любому замкнутому контуру $L$. Для этого надо вычислить ток намагничивания $I_{m}$, пронизывающий этот контур. Натянем на контур $L$ произвольную поверхность $S$. На рис. 151 слева изображено сечение этой поверхности и контура $L$
Рис. 151

плоскостью рисунка. Одни молекулярные токи пересекают поверхность $S$ дважды: раз в положительном и раз в отрицательном направлении. Такие токи не вносят никакого вклада в ток намагничивания через поверхность $S$. Другие молекулярные токи обвиваются вокруг контура $L$. Каждый из них пересекает поверхность только один раз противоположно направленный ток в молекуле выходит уже за пределы поверхности $S$. Такие молекулярные токи и создают макроскопический ток намагничивания $I_{m}$, пронизывающий площадь $S$.

Выразим ток $I_{m}$ через вектор намагничивания I. Для этого окружим контур $L$ бесконечно узкой трубкой (рис. 151, справа). Согласно формуле (58.7) по поверхности такой трубки циркулирует ток намагничивания с линейной плотностью $i_{m}=c I_{l}$. Он только один раз пересекает поверхность $S$. Ток, приходящийся на элемент длины трубки, равен $i_{m} d l=c I_{l} d l=c(\mathbf{I} d \mathbf{l})$. Полный ток намагничивания, пронизывающий поверхность $S$, найдется интегрированием этого выражения по всему замкнутому контуру $L$. Это дает
\[
I_{m}=c \oint_{L}(\mathbf{I} d \mathbf{l}) .
\]

Внеся это выражение в формулу (58.3), придадим ей вид
\[
\oint(\mathbf{B}-4 \pi \mathbf{I}) d \mathbf{l}=\frac{4 \pi}{3} I .
\]

В дифференциальной форме:
\[
\operatorname{rot} \mathbf{B}=\frac{4 \pi}{c}(\mathbf{j}+c \operatorname{rot} \mathbf{I}) .
\]

Сравнивая это уравнение с уравнением (58.4), находим
\[
\mathbf{j}_{m}=c \operatorname{rot} \mathbf{I} \text {. }
\]

Если намагниченность однородна, т. $\mathbf{I}$ I const, то $\mathbf{j}_{m}=0$. Если же она неоднородна, то объемная плотность тока намагничивания, вообще говоря, отлична от нуля.
2. Введем теперь вспомогательный вектор
\[
\mathbf{H}=\mathbf{B}-4 \pi \mathbf{I} .
\]

Тогда формулы (59.2) и (59.3) примут вид
\[
\begin{aligned}
\oint \mathbf{H} d \mathbf{l} & =\frac{4 \pi}{c} I, \\
\operatorname{rot} \mathbf{H} & =\frac{4 \pi}{c} \mathbf{j} .
\end{aligned}
\]

После введения вектора $\mathbf{H}$ из уравнений (59.6) и (59.7) выпадают токи намагничивания, остаются только токи проводимости. В этом смысл введения вектора $\mathbf{H}$. Вектор $\mathbf{H}$ играет в учении о магнетизме такую же вспомогательную роль, что и вектор $\mathbf{D}$ в учении о диэлектриках. Основным вектором является вектор В. Это — силовой вектор, и его следовало бы называть напряженностью магнитного поля в веществе. Однако по историческим причинам напряженностью магнитного поля в веществе называют вектор $\mathbf{H}$, а вектор В получил неудачное название магнитной индукции. Такая нерациональная терминология сложилась потому, что исторически учение о магнетизме развивалось по аналогии с электростатикой. Источниками магнитного поля считались магнитные заряды, а их, как было установлено позднее, в действительности не существует. Мы вынуждены пользоваться этой нерациональной терминологией ввиду того, что она общепринята. Впрочем, в большинстве случаев мы будем избегать употребления терминов «индукция» и «напряженность» магнитного поля, заменяя их соответственно на «вектор В» и «вектор $\mathbf{H}$ ». В вакууме векторы В и $\mathbf{H}$ тождественно совпадают.
3. Согласно определению (59.5) векторы В и $\mathbf{H}$ имеют одинаковую размерность. Они должны иметь и общую единицу. Единицей В в гауссовой системе является гаусс. Та же единица применяется и для измерения Н. Однако в этом случае ее называют эрстедом. Величину В измеряют в гауссах, а величину $\mathbf{H}$ — в эрстедах. Считается ошибкой сказать, что поле В равно стольким-то эрстедам, а поле $\mathbf{H}$ — столькимто гауссам. Мы не можем с одобрением относиться к такому соглашению, так как между гауссом и эрстедом нет абсолютно никакой разницы. Это — разные названия одной и той же единицы. Следовало бы сохранить только одно из этих названий: либо гаусс, либо эрстед.