Задача трех или большего числа тел считается по справедливости одной из самых знаменитых проблем в математике. Тем не менее, до недавнего времени весь интерес в этой проблеме был направлен на формальную сторону вопроса и в частности на формальное решение посредством рядов. Пуанкаре ${ }^{1}$ был первым, получившим блестящие качественные результаты, касающиеся в особенности специального предельного случая так называемой «ограниченной проблемы трех тел», рассмотренной впервые Хиллом. Что касается общей проблемы, то главные результаты, полученные Пуанкаре, следующие: во-первых, он установил существование различных типов периодических движений методом аналитического продолжения; во-вторых, он показал, что в силу самой структуры дифференциальных уравнений проблемы тригонометрические ряды могут быть полезными, и, наконец, в-третьих, он указал на пригодность этих рядов, как асимптотических. Все эти результаты остаются справедливыми не только для проблемы трех тел, но и для всякой гамильтоновой системы. К несчастью, в его исследованиях всегда имеется вспомогательный параметр $\mu$, причем при $\mu=0$ система будет специального интегрируемого типа. Таким образом, возникающие трудности (по крайней мере, отчасти) более зависят от особой природы интегрируемого предельного случая (когда два из трех тел имеют массу 0), чем присущи самой проблеме.

Можно без преувеличения сказать, что последняя работа Сундмана $^{2}$ является одной из замечательнейших работ о проблеме трех тел, которая была когда-либо сделана. Он доказал, что по крайней мере в том случае, когда момент количества движения тел относительно какойлибо оси, проходящей через центр тяжести, не равен нулю, наибольшее из трех расстояний между телами будет всегда превосходить некоторую определенную константу, зависящую от начального расположения; таким образом, доказана невозможность тройного соударения, тогда как относительно особенностей при двойном соударении показано, что
${ }^{1} \mathrm{Cm}$. его «Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste».
${ }^{2}$ Cм. Sundman, «Mémoire sur le problème de trois corps», Acta Mathematica, vol. 36, 1912; в связи с этим см. также J. Chazy, «Sur l’allure du mouvement dans le problème des trois corps», Ann. Scient. De l’École Normale Sup., 1922.

они устранимого типа. Этим путем установлена справедливость предположения Вейерштрасса о невозможности тройного соударения и получены сходящиеся ряды для координат и времени, годные для всего движения. Получив такие ряды, Сундман «решил» проблему трех тел в смысле, указанном Пенлеве ${ }^{1}$. В сущности, однако, существование таких рядов является простым отражением того физического факта, что тройное столкновение невозможно, и ничего более этого не дает относительно качественной природы решения. В этой главе я собираюсь рассмотреть проблему трех тел, стараясь приложить к ней, насколько возможно, точки зрения, развитые в предыдущих главах, и в частности показать, в чем, по-видимому, состоит истинное значение результатов, которые были получены Сундманом ${ }^{2}$.