§ 84. Расстояния и промежутки времени

Мы уже говорили, что в общей теории относительности выбор системы отсчета ничем не ограничен; тремя пространственными координатами могут являться любые величины, оаредедякащие расположение тел в пространстве, а временная координата может определяться произвольно идущими часами. Возникает вопрос о том, каким образом по значениям величин можно определить истинные расстояния и промежутки времени.

Определим сначала связь истинного времени, которое мы будем ниже обозначать посредством , с координатой этого рассмотрим два бесконечно близких события, происходящих в одной и той же точке пространства.

Тогда интеграл между этими двумя событиями есть не что иное, как где — промежуток, времени, (истинного) между обоями событиями. Полагая в общем выражении , находим, следовательно,

откуда

или для времени между любыми двумя событиями в одной и той же точке пространства

Эти соотношения и определяют промежутки истинного времени (иди, как говорят, собственного времени для данной точки пространства) по изменению координаты Заметим также, что величина как видно из приведенных формул, положительна:

Необходимо подчеркнуть разницу между смыслом условия (84,3) и смыслом, условия об определенной сигнатуре (знаках главных значений) тензора (§ 82). Тензор не удовлетворяющий второму из этих условий, вообще не может соответствовать какому бы то ни было реальному гравитационному полю, т. е. метрике реального пространства-времени. Невыполнение же условия (84,3) означало бы лишь, что соответствующая система отсчета не может быть осуществлена реальными телами; если условие о главных значениях при этом выполняется, то надлежащим преобразованием координат можно добиться того, что станет положительным (пример подобной системы представляет собой вращающаяся система координат — см. § 89).

Определим теперь элемент пространственного расстояния. В специальной теории относительности можно определять как интервал между двумя бесконечно близкими событиями, происходящими в один и тот же момент времени. В общей теории отвоеительиоети этого, вообще говоря, уже нельзя сделать, т. е. нельзя определить вроете положив Это связано с тем, что в гравитационном поле собственное время в разных точках пространства различным образом связано с координатой

Для определения поступим теперь, следующим, образом.

Пусть из некоторой точки В пространства (с координатами ) отправляется световой сигнал в бесконечно близкую к ней точку А (с координатами а затем сразу обратно по тому же пути.

Необходимое для этого время (отсчитываемое в одной и той же точке В), умноженное на с, есть, очевидно, удвоенное расстояние между обеими точками.

Напишем интервал, выделив пространственные и временную координаты:

где, как обычно, по дважды повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3. Интервал между событиями, являющимися уходом и приходом сигнала из одной точки в другую, равен нулю. Решая уравнение относительно найдем два корня:

отвечающих распространению сигнала в двух направлениях между А и В. Если есть момент прибытия сигнала в А, то моменты его отправления из В и обратного возвращения в В будут соответственно . На схематическом рис. 18 сплошные прямые — мировые линии, соответствующие заданным координатам а штриховые — мировые линии сигналов. Ясно, что полный промежуток «времени» между отправлением и возвращением сигнала в ту же точку равен

Рис. 18

Соответствующий промежуток истинного времени получается отсюда согласно (84,1) умножением на а расстояние между обеими точками — еще умножением на . В результате находим:

Это и есть искомое выражение, определяющее расстояние через элементы пространственных координат. Перепишем его в виде

где

есть трехмерный метрический тензор, определяющий метрику, т. е. геометрические свойства пространства. Соотношениями (84,7) устанавливается связь между метрикой реального пространства и метрикой четырехмерного пространства-времени.

Необходимо, однако, помнить, что зависят, вообще говоря, от так что и пространственная метрика (84,6) меняется со временем. По этой причине не имеет смысла интегрировать такой интеграл зависел бы от того, по какой мировой линии между двумя заданными пространственными точками он брался. Таким образом, в общей теории относительности теряет, вообще говоря, смысл понятие об определенном расстоянии между телами, остающееся в силе лишь в бесконечно малом. Единственным случаем, когда расстояние может быть определено и в конечных областях пространства, являются такие системы отсчета, в которых не зависят от времени, и потому интеграл вдоль пространственной кривой имеет определенный смысл.

Полезно заметить, что тензор — является тензором, обратным контравариантному трехмерному тензору Действительно, расписав в компонентах равенство имеем:

Определив из второго равенства и подставив в первое, получим:

что и требовалось доказать.

Этот результат можно сформулировать иначе, сказав, что величины — составляют контраварнантный трехмерный метрический тензор, отвечающий метрике (84,6):

Укажем также, что определители g и , составленные соответственно из величин g и связаны друг с другом простым соотношением:

(84,10)

В ряде дальнейших применений нам будет удобно вводить трехмерный вектор g, ковариантные компоненты которого определяются как

Рассматривая g как вектор в пространстве с метрикой (84,6), мы должны определить его контравариавтные компоненты как . С помощью (84,9) и второго из равенств (84,8) легко видеть, что

Отметим также формулу

(84,13)

следующую из третьего из равенств (84,8).

Перейдем теперь к определению понятия одновременности в общей теории относительности. Другими словами, выясним вопрос о возможности синхронизации часов, находящихся в разных точках пространства, т. е. приведения в соответствие друг с другом показаний этих часов.

Такая синхронизация должна быть, очевидно, осуществлена с помощью обмена световыми сигналами между обеими точками. Рассмотрим снова процесс распространения сигналов между двумя бесокнечно близкими точками А и В, изображенный на рис. 18. Одновременным с моментом в точке А следует считать показание часов в точке В, лежащее посередине между моментами отправления и обратного прибытия сигнала в эту точку, т. е. момент

Подставляя сюда (84,5), находим разность значений «времени» для двух одновременных событий, происходящих в бесконечно близких точках, в виде

(84,14)

Это соотношение дает возможность синхронизовать часы в любом бесконечно малом объеме пространства. Продолжая подобную синхронизацию из точки А дальше, можно синхронизовать часы, т. е. определить одновременность событий вдоль любой незамкнутой линии.

Синхронизация же часов вдоль замкнутого контура оказывается, вообще говоря, невозможной. Действительно, обойдя вдоль контура и вернувшись в исходную точку, мы получили бы для отличное от нуля значение. Тем более оказывается невозможной однозначная синхронизация часов во всем пространстве. Исключение составляют лишь такие системы отсчета, в которых все комопненты равны нулю.

Следует подчеркнуть, что невозможность синхронизации всех часов является свойством именно произвольной системы отсчета, а не пространства-времени как такового. В любом гравитационном поле всегда можно выбрать (и даже бесчисленным числом способов) систему отсчета таким образом, чтобы обратить три величины тождественно в нуль и, тем самым, сделать возможной полную синхронизацию часов (см. § 97).

Уже в специальной теории относительности течение истинного времени различно для движущихся друг относительно друга часов. В общей же теории относительности истинное время течет различным образом и в разных точках пространства в одной и той же системе отсчета. Это значит, что интервал собственного времени между двумя событиями, происходящими в некоторой точке пространства, и интервал времени между одновременными с ними событиями в другой точке пространства, вообще говоря, отличны друг от друга.