§ 23. Тензор электромагнитного поля

В § 17 мы вывели уравнения движения заряда в поле, исходя из функции Лагранжа (16,4), написанной в трехмерном виде. Выведем теперь те же уравнения непосредственно из действия (16,1), написанного в четырехмерных обозначениях.

Принцип наименьшего действия гласит

Замечая, что находим (пределы интегрирования а и b мы будем ниже для краткости опускать):

Первые два члена в подынтегральном выражении проинтегрируем по частям. Кроме того, в первом члене введем 4-скорость . Тогда

Второй член этого равенства равен нулю, так как интеграл варьируется при заданных значениях координат на пределах. Далее,

и поэтому

Напишем в первом члене во втором и третьем Кроме того, в третьем члене поменяем местами индексы i и k (это ничего не изменит, так как по значкам i и к производится суммирование). Тогда

Ввиду произвольности отсюда следует, что подынтегральное выражение равно нулю:

Введем обозначение

этот антисимметричный тензор называется тензором электромагнитного поля. Тогда полученное уравнение напишется в виде

Это — уравнение движения заряда в четырехмерной форме.

Смысл отдельных компонент тензора легко выяснить, подставив значения в определение (23,3). Результат можно записать в виде таблицы, в которой индекс , нумерует строки, а индекс k — столбцы:

Короче, можно написать (см. § 6):

Таким образом, компоненты напряженностей электрического и магнитного полей являются компонентами одного 4-тензора электромагнитного поля.

Переходя к трехмерным обозначениям, легко убедиться в том, что три пространственные компоненты 3) уравнения (23,4) тождественны с векторным уравнением движения (17,5), а временная компонента — с уравнением работы (17,7). Последнее есть следствие уравнения движения; тот факт, что из четырех уравнений (23,4) только три независимы, можно легко обнаружить также и непосредственно, умножив обе стороны (23,4) на . Тогда левая сторона равенства обратится в нуль ввиду ортогональности 4-векторов , а правая сторона — ввиду антисимметричности тензора

Если рассматривать в вариации 65 только истинные траектории, то первый член в (23,2) тождественно обратится в нуль. Тогда второй член, в котором верхний предел рассматривается как переменный, дает дифференциал действия как функции координат. Таким образом,

Отсюда

4-вектор — есть 4-вектор обобщенного импульса частицы . Подставляя значения компонент , найдем, что

Как и следовало, пространственные компоненты 4-вектора образуют трехмерный вектор обобщенного импульса (16,5), а Ьременная компонента есть , где — полная энергия заряда в поле.