§ 106. Уравнения движения системы тел во втором приближении

Как мы увидим ниже (§ 110), система движущихся тел излучает гравитационные волны, теряя при этом энергию. Эта потеря, однако, появляется лишь в пятом приближении по . В первых же четырех приближениях энергия системы остается постоянной.

Отсюда следует, что система гравитирующих тел может быть описана с помощью функции Лагранжа с точностью до членов порядка в отличие от электромагнитного поля, где функция Лагранжа существует, в общем случае, только с точностью до членов второго порядка (§ 65). Мы дадим здесь вывод функции Лагранжа системы тел с точностью до членов второго порядка. Тем самым мы найдем уравнения движения системы в приближении, следующем после ньютоновского.

При этом мы будем пренебрегать размерами и внутренней структурой тел, рассматривая их как «точечные»; другими словами, мы ограничиваемся нулевыми членами разложения по степеням отношений размеров тел а к их взаимным расстояниям l.

Для решения поставленной задачи мы должны начать с определения в соответствующем приближении слабого гравитационного поля, создаваемого телами на расстояниях, больших по сравнению с их размерами, но в то же время малых по сравнению с длиной излучаемых системой гравитационных волн .

С точностью до величин порядка поле вдали от тела лается полученными в предыдущем параграфе выражениями, обозначенными там как МУ; воспользуемся здесь этими выражениями в форме (105, 6а). В § 105 подразумевалось, что поле создается всего одним (находящимся в начале координат) телом. Но поскольку поле М представляет собой решение линеаризованных уравнений Эйнштейна, для него справедлив принцип суперпозиции. Поэтому поле вдали от системы тел получится просто суммированием полей каждого из них; сапишем его в виде

(106,2)

где

есть ньютонов гравитационный потенциал системы точечных тел — радиус-вектор тела с массой ). Выражение для интервала с метрическим тензором (106,1-2):

(106,3)

Отметим, что члены первого порядка по имеются не только в но и в ; в § 87 было уже указано, что в уравнениях движения частицы поправочные члены в приводят к величинам более высоких порядков малости, чем члены, происходящие от в связи с этим путем сравнения с ньютоновыми уравнениями движения можно было определить только

Как будет видно из дальнейшего, для получения искомых уравнений движения достаточно знать пространственные компоненты с полученной в (106,1) точностью смешанные же компоненты (отсутствующие в приближении ) необходимо иметь с точностью до членов а временную — с точностью до членов Для их вычисления обратимся снова к общим уравнениям тяготения, учтя в них члены соответствующих порядков.

Пренебрегая размерами тел, мы должны писать тензор энергии-импульса вещества в форме (33,4-5). В криволинейных координатах это выражение переписывается как

(106,4)

(появление множителя с аналогичным переходом в (90,4)); суммирование производится по всем телам в системе.

Компонента в первом приближении (галилеевы ) равна

в следующем приближении подставляем из (106,3) и после простого вычисления получаем:

(106,5)

где v — обычная трехмерная скорость — потенциал поля в точке (на наличие в бесконечной части — потенциала собственного поля частицы та — пока не обращаем внимания; о нем см. ниже).

Что касается компонент тензора энергии-импульса, то для них, в том же приближении, достаточно оставить лишь первые члены разложения выражений (106,4):

(106,6)

Далее переходим к вычислению компонент тензора Вычисление удобно производить по формуле из (92,1). При этом надо помнить, что величины содержат члены порядка не ниже — не ниже дифференцирования по в свою очередь повышают порядок малости на 1.

Главные члены в порядка наряду с ними мы должны сохранить также и члены следующего неисчезающего порядка — . Простое вычисление приводит к результату:

В этом вычислении не было еще использовано никакого дополнительного условия для величин . Пользуясь этой свободой, наложим теперь на них условие

в результате которого из полностью выпадают члены, содержащие компоненты . В остальных членах подставляем

н получаем, с требуемой точностью:

(106,8)

где мы перешли к трехмерным обозначениям.

При вычислении компонент достаточно сохранить лишь члены первого неисчезающего порядка — Аналогичным образом получим:

и затем, с учетом условия (106,7):

С помощью полученных выражений (106,5-9) составим теперь уравнения Эйнштейна:

(106,10)

Временная компонента уравнения (106,10) дает?

с помощью тождества

и уравнения ньютоновского потенциала

(106,11)

переписываем это уравнение в виде

(106,12)

После проведения всех вычислений мы заменили в правой стороне уравнения (106,12) на

т. е. на потенциал в точке поля, создаваемого всеми телами, за исключением тела исключение бесконечного собственного потенциала тел (в используемом нами методе, рассматривающем тела как точечные) соответствует «перенормировке» их масс, в результате которой они принимают свои истинные значения, учитывающие создаваемые самими телами поля.

Решение уравнения (106,12) может быть написано сразу, учитывая известное соотношение (36,9)

Таким образом, найдем:

Смешанная компонента уравнения (106,10) дает:

(106,14)

Решение этого линейного уравнения есть

где — решение вспомогательного уравнения

Учитывая соотношение находим:

и затем, после простого вычисления, окончательно получаем:

где — единичный вектор в направлении вектора .

Выражения (106,1), (106,13), (106,15) достаточны для вычисления искомой функции Лагранжа с точностью до членов второго порядка.

Функция Лагранжа одного тела в гравитационном поле, создаваемом другими телами и рассматриваемом как заданное:

Разлагая радикал и опустив несущественную постоянную — , переписываем это выражение с требуемой точностью как

(106,16)

Значения всех А, - здесь берутся в точке при этом снова должны быть опущены обращающиеся в бесконечность члены, что сводится к «перенормировке» массы , стоящей в виде коэффициента в

Дальнейший ход вычислений состоит в следующем. Полная функция Лагранжа L системы, разумеется, не равна сумме функций для отдельных тел, но она должна быть составлена так, чтобы приводить к правильным значениям сил действующих на каждое из тел при заданном движении остальных. Для этого вычисляем силы путем дифференцирования функции Лагранжа

(дифференцирование производится по бегущим координатам, точки наблюдения в выражениях для . После этого легко составить такую общую функцию L, из которой все те же силы получаются взятием частных производных .

Не останавливаясь на простых промежуточных вычислениях, приведем сразу окончательный результат для функции Лагранжа:

где — единичный вектор в направлении , а штрих у знака суммы означает, что должен быть опущен член с или .

Задачи

1. Определить действие для гравитационного поля в ньютоновском приближении.

Решение. С помощью из (106,3) по формуле (93,3) находим , так что действие для поля

Полное действие для поля вместе с массами, распределенными в пространстве с плотностью

Легко убедиться в том, что варьирование S по приводит, как и следовало, к уравнению Пуассона (99,2).

Плотность энергии находится из плотности функции Лагранжа Л (подынтегральное выражение в ) согласно общей формуле (32,5), что сводится в данном случае (в силу отсутствия в производных от по времени) к изменению знака второго и третьего членов. Интегрируя плотность энергии по пространству, подставив при этом во втором члене и интегрируя его по частям, получим окончательно полную энергию поля и материи в виде

Следовательно, плотность энергии гравитационного поля в ньютоновской теории есть .

2. Определить координаты центра инерции системы гравитирующих тел во втором приближении.

Решение. Ввиду полной формальной аналогии между законом Ньютона для гравитационного взаимодействия и законом Кулона для электростатического взаимодействия координаты центра инерции даются формулой

аналогичной формуле, полученной в задаче 1 § 65.

3. Определить вековое смещение перигелия орбиты двух гравитирующих тел сравнимой массы (Н. Robertson, 1938).

Решение. Функция Лагранжа системы двух тел

Переходя к функции Гамильтона и исключая из нее движение центра инерции (ср. задачу 2 § 65), получим:

где — импульс относительного движения.

Определим радиальную составляющую импульса как функцию переменной и параметров М (момент импульса) и (энергия). Эта функция определяется из уравнения (при этом в членах второго порядка надо заменить его выражением из нулевого приближения):

Дальнейший ход вычислений аналогичен произведенным в § 101. Определив из написанного алгебраического уравнения производим в интеграле

преобразование переменной так, чтобы привести член, содержащий к виду .

Произведя затем в подкоренном выражении разложение по малым релятивистским поправкам, получим;

(ср. (101,6)), где А, В — постоянные коэффициенты, в явном вычислении которых нет необходимости.

В результате для смещения перигелия орбиты относительного движения получим:

Сравнивая с (101,7), мы видим, что при заданных размерах и форме орбиты смещение перигелия такое же, каким оно было бы при движении одного тела в поле неподвижного центра с массой .

4. Определить частоту прецессии шарового волчка, совершающего орбитальное движение в гравитационном поле вращающегося вокруг своей оси центрального тела.

Решение. В первом приближении искомый эффект представляется суммой двух независимых частей, одна из которых связана с неньютоновостью центрально-симметричного поля (Н. Weyl, 1923), а другая — с вращением центрального тела (L. Schiff, 1960).

Первая часть описывается дополнительным членов в функции Лагранжа волчка, соответствующим второму члену в (106,17). Представим скорость отдельных элементов волчка (с массами ) в виде , где V — скорость его орбитального движения, — угловая скорость, r — радиус-вектор элемента относительно центра инерции волчка так что интеграл по объему волчка . Опустив члены, не зависящие от , а также пренебрегая квадратичными по членами, имеем:

где — масса центрального тела, — расстояние от центра поля до элемента — радиус-вектор центра инерции волчка. При разложении (где ) интеграл от первого члена обращается в нуль, а во втором интегрирование производится с помощью формулы

где l — момент инерции волчка. В результате получим:

где — вращательный момент волчка.

Дополнительный член в функции Лагранжа, обязанный вращению центрального тела, можно было бы также найти из (106,17), но еще проще вычислить его с помощью формулы (1) из задачи 2 к § 105:

где М — момент центрального тела.

Разложив

и произведя интегрирование, получим:

Таким образом, полная добавка к функции Лагранжа

Этой функции отвечает уравнение движения

(ср. уравнение (2) из задачи 2 к § 105). Это значит, что момент волчка М прецессирует с угловой скоростью , оставаясь постоянным по своей величине.