§ 35. Тензор энергии-импульса макроскопических тел

Наряду с тензором энергии-импульса системы точечных частиц (33,5) нам понадобится в дальнейшем выражение этого тензора для макроскопических тел, рассматриваемых как сплошные.

Поток импульса через элемент поверхности тела есть не что иное, как действующая на этот элемент сила.. Поэтому есть a-я компонента силы, действующей на элемент поверхности Воспользуемся теперь системой отсчета, в которой данный элемент объема тела покоится. В такой системе отсчета имеет место закон Паскаля, т. е. давление р, оказываемое данным участком тела, одинаково по всем направлениям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно производится Поэтому мы можем написать , откуда тензор напряжений . Что касается компонент дающих плотность импульса, то для данного элемента объема тела в рассматриваемой системе отсчета они равны нулю. Компонента же как всегда, равна плотности энергии тела, которую мы обозначим здесь через ; есть при этом плотность массы, т. е. масса единицы объема. Подчеркнем, что речь идет здесь о единице собственного объема, т. е. объема в той системе отсчета, в которой данный участок тела покоится.

Таким образом, в рассматриваемой системе отсчета тензор энергии-импульса (для данного участка тела) имеет вид

Легко найти теперь выражение для тензора энергии-импульса в любой системе отсчета. Для этого введем -скорость макроскопического движения элемента объема тела. В системе покоя этого элемента Выражение для должно быть выбрано так, чтобы в этой системе он приобретал вид (35,1). Легко проверить, что таковым является

или для смешанных компонент

Этим и определяется теизор энергии-импульса макроскопического тела. Соответствующие выражения для плотности энергии W, плотности потока энергии S и тензора напряжений :

Если скорость v макроскопического движения мала по сравнению со скоростью света, то имеем приближенно:

Поскольку есть плотность импульса, то мы видим, что роль плотности массы играет в этом случае сумма (

Выражение для упрощается в случае, если скорости всех частиц, входящих в состав тела, малы по сравнению со скоростью света (скорость же макроскопического движения может быть произвольной). В этом случае в плотности энергии 8 можно пренебречь всеми ее частями, малыми по сравнению с энергией покоя, т. е. можно писать вместо , где — сумма масс частиц, находящихся в единице (собственного) объема тела (подчеркнем, что в общем случае надо отличать от точной плотности массы включающей в себя таже и массу, происходящую от энергии микроскопического движения частиц в теле и энергии их взаимодействия). Что касается давления, определяемого энергией микроскопического движения молекул, то оно в рассматриваемом случае тоже мало по сравнению с плотностью энергии покоя Таким образом, находим в этом случае:

Из выражения (35,2) имеем:

Общее свойство (34,2) тензора энергии-импульса любой системы показывает теперь, что для давления и плотности макроскопического тела всегда имеет место неравенство

Сравним выражение (35,5) с общей формулой (34,1). Поскольку мы рассматриваем сейчас макроскопическое тело, то выражение (34,1) надо усреднить, по всем значениям в единице объема. В результате находим:

(суммирование производится по частицам, находящимся в единице объема).

В ультрарелятивистском пределе правая сторона этого равенства стремится к нулю и, таким образом, уравнение состояния вещества в этом пределе:

Применим полученные формулы к идеальному газу, который мы предположим состоящим из одинаковых частиц. Поскольку частицы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, можно воспользоваться формулой (33,5), усреднив ее, Таким образом, для идеального газа

где — число частиц в единице объема, а черта обозначает усреднение по всем частицам. Если в газе нет никакого макроскопического движения, то мы имеем, с другой стороны, для выражение (35,1). Сравнение обеих формул приводит к равенствам:

Эти равенства определяют плотность и давление релятивистского идеального газа через скорости частиц; вторая из них заменяет собой известную формулу нерелятивистской кинетической теории газов.