§ 105. Гравитационное поле вдали от тел

Рассмотрим стационарное гравитационное поле на больших расстояниях от создающего его тела и определим первые члены его разложения по степеням .

Вдали от тела поле слабое. Это значит, что метрика пространства-времени здесь почти галилеева, т. е. можно выбрать такую систему отсчета, в которой компоненты метрического тензора почти равны своим галилеевым значениям:

(105,1)

Соответственно этому представим в виде

(105,2)

где — малые поправки, определяющие гравитационное поле.

Оперируя с тензором условимся в дальнейшем поднимать и опускать его индексы с помощью «невозмущенной» метрики: и т. п. При этом необходимо отличать от поправок в контравариантных компонентах метрического тензора Последние определяются решением уравнений

так, с точностью до величин второго порядка малости находим:

С той же точностью определитель метрического тензора

(105,4)

где

Сразу же подчеркнем, что условие малости отнюдь не фиксирует однозначного выбора системы отсчета.

Если это условие выполнено в какой-либо одной системе, то оно будет выполнено и после любого преобразования , где — малые величины. Согласно (94,3) тензор переходит при этом в

где (ввиду постоянства коварнантные производные в (94,3) сводятся в данном случае к обычным производным).

В первом приближении, с точностью до членов порядка , малые добавки к галилеевым значениям даются соответствующими членами разложения центрально-симметричной метрики Шварцшильда. В соответствии с отмеченной неопределенностью в выборе (галиеевой на бесконечности) системы отсчета, конкретный вид зависит при этом от спосчба определения радиальной координаты . Так, если шварцшильдова метрика представлена в виде (100,14), первые члены ее разложения при больших даются выражением (100,18). Перейдя в нем от сферических пространственных координат к декартовым (для чего надо заменить , где — единичный вектор в направлении ), получим следующие значения:

(105,6)

где

Среди членов второго порядка, пропорциональных имеются члены двоякого порисхождения. Часть членов возникает в результате нелинейности уравнений Эйнштейна из членов первого порядка. Поскольку последние зависят только от массы (но не от каких-либо других характеристик) тела, то только от нее же зависят и эти члены второго порядка. Ясно поэтому, что и эти члены можно получить путем разложения шварцшильдовой метрики. В тех же координатах найдем:

(105,7)

Остальные члены второго порядка возникают как соответствующие решения линеаризованных уравнений поля. Имея в виду также и дальнейшие применения, произведем линеаризацию уравнений, выписывая сначала формулы в более общем виде, чем понадобится здесь, — не учитывая сразу стационарности поля.

При малых величины , выражающиеся через производные от тоже малы. Пренебрегая степенями выше первой, мы можем оставить в тензоре кривизны (92,1) только члены в первой скобке:

Для тензора Риччи имеем с той же точностью:

или

Выражение (105,9) можно упростить, воспользовавшись оставшимся произволом в выборе системы отсчета. Именно, наложим на четыре (по числу произвольных функций ) дополнительных условия

(105,10)

Тогда последние три члена в (105,9) взаимно сокращаются и остается

В интересующем нас здесь стационарном случае, когда не зависят от времени, выражение (105,11) сводится к , где — оператор Лапласа по трем пространственным координатам. Уравнения же Эйнштейна для поля в пустоте сводятся, таким образом, к уравнениям Лапласа

(105,12)

с дополнительными условиями (105,10), принимающими вид

(105,13)

Обратим внимание на то, что эти условия все еще не фиксируют вполне однозначного выбора системы отсчета.

Легко убедиться в том, что если удовлетворяют условиям (105,13-14), то таким же условиям будут удовлетворять и если только удовлетворяют уравнениям

(105,15)

Компонента должна даваться скалярным решением трехмерного уравнения Лапласа. Такое решение, пропорциональное имеет, как известно, вида , где а — постоянный вектор.

Но член такого вида в всегда может быть ликвидирован путем простого смещения начала координат в члене первого порядка по . Таким образом, наличие такого члена свидетельствовало бы лишь о неудачном выборе начала координат и потому не представляет интереса.

Компоненты даются векторным решением уравнения Лапласа, т. е. должны иметь вид

где — постоянный тензор. Условие (105,14) дает

откуда следует, что должны иметь вид где — антисимметричный тензор. Но решение вида может быть исключено преобразованием (105,5) , (удовлетворяющими условию (105,15)). Поэтому реальным смыслом обладает лишь решение

Наконец, аналогичными, хотя и более громоздкими рассуждениями можно показать, что надлежащим преобразованием пространственных координат всегда можно исключить величины даваемые тензорным (симметричным по ) решением уравнения Лапласа.

Что касается тензора , то он связан с тензором полного момента и окончательное выражение для имеет вид

(105,16)

Покажем это путем вычисления интеграла (96,17).

Момент связан только с , и потому при вычислении все остальные компоненты можно считать отсутствующими. С точностью до членов первого порядка по имеем из (96,2-3) (замечаем, что отличается от 1 лишь на величины второго порядка)

При подстановке сюда (105,16) второй член под знаком производной исчезает, а первый дает

С помощью этого выражения находим, производя интегрирование в (96,17) по поверхности сферы радиуса

Аналогичное вычисление дает:

Складывая обе величины, получим требуемое значение .

Подчеркнем, что в общем случае, когда поле вблизи тела может не быть слабым, есть момент импульса тела вместе с гравитационным полем. Лишь если поле слабо на всех расстояниях, его вкладом в момент можно пренебречь.

Формулы (105,6-7) и (105,16) решают поставленный вопрос с точностью до членов порядка . Коварнантные компоненты метрического тензора:

(105,17)

При этом, согласно (105,3), контравариантные компоненты с той же точностью равны

Формула (105,16) может быть переписана в векторном виде как

(105,19)

где М — вектор полного момента тела. В задаче 1 § 88 было показано, что в стационарном гравитационном поле на частицу действует «кориолисова сила», такая же, какая действовала бы на частицу в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью:

Поэтому можно сказать, что в поле вращающегося тела на удаленную частицу действует кориолисова сила, отвечающая угловой скорости:

(105,20)

Наконец, применим выражения (105,6) для вычисления полной энергии гравитирующего тела по интегралу (96,16). Вычислив нужные компоненты по формуле (96,2-3), получим с требуемой точностью (оставляем члены — :

Интегрируя теперь в (96,16) по сфере радиуса , получим окончательно:

(105,21)

— результат, который естественно было ожидать. Он является выражением факта равенства, как говорят, «тяжелой» и «инертной» масс («тяжелой» называют массу, определяющую создаваемое телом гравитационное поле, — это та масса, которая входит в метрический тензор в гравитационном поле или, в частности, в закон Ньютона; «инертная» же масса определяет соотношение между импульсом и энергией тела и, в частности, энергия покоя тела равна этой его массе, умноженной на ).

В случае постоянного гравитационного поля оказывается возможным вывести простое выражение для полной энергии материи вместе с полем в виде интеграла только по пространству, занятому материей.

Получить его можно, например, исходя из следующего выражения, справедливого, когда все величины не зависят от :

Интегрируя по (трехмерному) пространству и применив трехмерную теорему Гаусса, получим:

Взяв достаточно удаленную поверхность интегрирования и воспользовавшись на ней выражениями (105,6) для , получим после простого вычисления:

Замечая также, что, согласно уравнениям поля,

получаем искомую формулу:

(105,23)

Эта формула выражает полную энергию материи и постоянного гравитационного поля (т. е. полную массу тела) через тензор энергии-импульса одной только материи (R. Tolman, 1930). Напомним, что в случае центральной симметрии поля мы имели для той же величины еще и другое выражение — формулу (100,23).

Задачи

1. Показать, что формула (105,16) остается справедливой для поля во всем пространстве вне вращающегося сферического тела при условии медленности вращения (момент ), но без требования слабости центрально-симметричной части поля (А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков, 1965; В. Гурович, 1965).

Решение. В сферических пространственных координатах формула (105,16) записывается как

Рассматривая эту величину как малую поправку к шварцшильдовой метрике (100,14), надо проверить выполнение линеаризованного уравнения (в остальных уравнениях поля поправочные члены выпадают тождественно). Роз можно вычислить по формуле (4) из задачи к § 95, причем линеаризация сводится к тому, что трехмерные тензорные операции должны производиться по «невозмущенной» метрике (100,15). В результате получается уравнение

которому выражение (1) действительно удовлетворяет.

2. Определить систематическое (вековое) смещение орбиты частицы, движущейся в поле центрального тела, связанное с вращением последнего (J. Lense, Н. Thirring, 1918).

Решение. Ввиду малости всех релятивистских эффектов они накладываются друг на друга линейно, и при вычислении эффектов, происходящих от вращения центрального тела, можно пренебречь рассмотренным в § 101 влиянием неньютоновости центрально-симметричного силового поля; другими словами, можно производить вычисления, считая из всех А; отличными от нуля лишь

Ориентация классической орбиты частицы определяется двумя сохраняющимися векторами: моментом импульса частицы и вектором

сохранение которого специфично для ньютонова поля масса центрального тела, — масса частицы); см. § 15. Вектор М перпендикулярен к плоскости орбиты, а вектор А направлен вдоль большой полуоси эллипса в сторону перигелия (и по величине равен , где — эксцентриситет орбиты). Искомое вековое смещение орбиты можно описывать как изменение направления этих векторов.

Функция Лагранжа частицы, движущейся в поле (105,19):

(момент центрального тела обозначаем здесь посредством М в отличие от момента частицы М). Отсюда функция Гамильтона (ср. I (40,7))

Вычисляя производную с помощью уравнений Гамильтона , получим:

Интересуясь вековым ходом изменения М, мы должны усреднить это выражение по периоду Т обращения частицы.

Усреднение удобно произвести с помощью параметрического представления зависимости от времени при движении по эллиптической орбите в виде

( — большая полуось и эксцентриситет эллипса; см. § 15)

Таким образом, вековое изменение М дается формулой

т. е. вектор М вращается вокруг оси вращения центрального тела, оставаясь неизменным по величине.

Аналогичное вычисление для вектора А дает:

Усреднение этого выражения производится аналогично тому, как это было сделано выше; при этом из соображений симметрии заранее очевидно, что усредненный вектор направлен вдоль большой полуоси эллипса, т. е. вдоль направления вектора А. Вычисление приводит к следующему выражению для векового изменения вектора А:

( — единичные векторы в направлении М и М), т. е. вектор А вращается с углов скоростью , оставаясь неизменным по величине; последнее обстоятельство означает, что эксцентриситет орбиты не испытывает векового изменения.

Формулу (3) можно написать в виде

с тем же , что ив (4); другими словами, есть угловая скорость вращения эллипса «как целого». Это вращение включает в себя как дополнительное (по отношению к рассмотренному в § 101) смещение перигелия орбиты, так и вековое вращение ее плоскости вокруг направления оси тела (последний эффект отсутствует, если плоскость орбиты совпадает с экваториальной плоскостью центрального тела).

Для сравнения укажем, что рассмотренному в § 101 эффекту соответствует