§ 38. Поле равномерно движущегося заряда

Определим поле, создаваемое зарядом , движущимся равномерно со скоростью V. Неподвижную систему отсчета будем называть системой ; систему отсчета, движущуюся вместе с зарядом, — системой К. Пусть заряд находится в начале координат системы К; система К движется относительно К параллельно оси х; оси у и z параллельны у и z. В момент времени начала обеих систем совпадают. Координаты заряда в системе К, следовательно, . В системе К мы имеем постоянное электрическое поле с векторным потенциалом и скалярным где . В системе К согласно формулам (24,1) с

Мы должны теперь выразить R через координаты х, у, z в системе К. Согласно формулам преобразования Лоренца

и отсюда

Подставляя это в (38,1), находим:

где введено обозначение

Векторный потенциал в системе К равен

В системе магнитное поле Н отсутствует, а электрическое

По формулам (24,2) находим:

Подставляя сюда выраженные через , находим:

где R — радиус-вектор от заряда к точке наблюдения х, поля (его компоненты равны ).

Это выражение для Е можно написать в другом виде, введя угол между направлением движения и радиус-вектором R. Очевидно, что и потому можно написать в виде

Тогда для Е имеем:

При заданном расстоянии R от заряда величина поля Е возрастает с увеличением от нуля до (или при уменьшении от до ). Наименьшее значение поле имеет в направлении, параллельном направлению движения ); оно равно

Наибольшим же является поле, перпендикулярное к скорости ), равное

Отметим, что при увеличении скорости поле падает, а возрастает. Можно сказать наглядно, что электрическое поле движущегося заряда как бы «сплющивается» по направлению движения. При скоростях V, близких к скорости света, знаменатель в формуле (38,8) близок к нулю в узком интервале значений вокруг значения . Ширина этого интервала порядка величины

Таким образом, электрическое поле быстро движущегося заряда, на заданном расстоянии от него заметно отлично от нуля лишь в узком интервале углов вблизи экваториальной плоскости, причем ширина этого интервала падает с увеличением V как .

Магнитное поле в системе К равно

(см. (24,5)). В частности, при электрическое поле приближенно дается обычной формулой закона Кулона и тогда магнитное поле

Задача

Определить силу взаимодействия системе К) между двумя зарядами, движущимися с одинаковыми скоростями V.

Решение. Искомую силу F вычисляем как силу, действующую на один из зарядов в поле, создаваемом вторым зарядом Имеем с помощью (38,9):

Подставив сюда из (38,8), волучим для составляющих силы в направлении движения (Fx) и перпендикулярно к нему (Fy):

где R — радиус-вектор от а — угол между R и V.