§ 100. Центрально-симметричное гравитационное поле

Рассмотрим гравитационное поле, обладающее центральной симметрией. Такое поле может создаваться любым центрально-симметричным распределением вещества; при этом, конечно, центрально-симметричным должно быть не только распределение, но и движение вещества, т. е. скорость в каждой точке должна быть направлена по радиусу.

Центральная симметрия поля означает, что метрика пространства-времени, т. е. выражение для интервала ds, должна быть одинакова во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии от центра.

В евклидовом пространстве это расстояние равно радиус-вектору; в неевклидовом же пространстве, каким оно является при наличии гравитационного поля, нет величины, которая обладала бы всеми свойствами евклидова радиус-вектора (одновременно равного расстоянию до центра и деленной на длине окружности). Поэтому выбор «радиус-вектора» теперь произволен.

Если пользоваться «сферическими» пространственными координатами то наиболее общим центрально-симметричным выражением для является

(100,1)

где a, h, k, l — некоторые функции от «радиус-вектора» и «времени» t. Но, ввиду произвольности в выбоце системы отсчета в общей теории относительности, мы можем еще подвергнуть координаты любому преобразованию, не нарушающему центральной симметрии это значит, что мы можем преобразовать координаты и t посредством формул

где — любые функции от новых координат .

Воспользовавшись этой возможностью, выберем координату и время t таким образом, чтобы, во-первых, коэффициент а при в выражении для обратился в нуль и, во-вторых, коэффициент был равен просто — Последнее означает, что радиус-вектор определен таким образом, чтобы длина окружности с центром в начале координат была равна (элемент дуги окружности в плоскости равен ). Величины нам будет удобно писать в экспоненциальном виде, соответственно как и сгеу, где k и v — некоторые функции от Таким образом, получим для следующее выражение:

(100,2)

Подразумевая под соответственно мы имеем, следовательно, для отличных от нуля компонент метрического тензора выражения

Очевидно, что

С помощью этих значений легко вычислить по формуле (86,3) величины Вычисление приводит к следующим выражениям (штрих означает дифференцирование по , а точка над буквой — дифференцирование по ):

Все остальные компоненты (кроме тех, которые отличаются от написанных перестановкой индексов к и I) равны нулю.

Для составления уравнений надо вычислить по формуле (92,7) компоненты тензора Простые вычисления приводят в результате к следующим уравнениям:

(100,4)

(остальные компоненты уравнения (95,6) тождественно обращаются в нуль). Компоненты тензора энергии-импульса могут быть выражены с помощью формулы (94,9) через плотность энергии материи , ее давление и радиальную скорость v.

Уравнения (100,4-7) могут быть проинтегрированы до конца в очень важном случае центрально-симметричного поля в пустоте, т. е. вне создающих его масс. Полагая тензор энергии-импульса равным нулю, получим следующие уравнения:

(100,8)

(четвертое уравнение, т. е. уравнение (100,5), можно не выписывать, так как оно является следствием трех остальных уравнений).

Из (100,10) мы видим, что не зависит от времени. Далее, складывая уравнения (100,8-9), находим , т. е.

(100,11)

где f(t) — функция только от времени. Но, выбрав интервал . В виде (100,2), мы оставили за собой еще возможность произвольного преобразования времени вида . Такое преобразование эквивалентно прибавлению к v произвольной функции времени, и с его помощью можно всегда обратить f(t) в (100,11) в нуль. Итак, не ограничивая общности, можно считать, что . Отметим, что центрально-симметричное гравитационное поле в пустоте автоматически оказывается статическим.

Уравнение (100,9) легко интегрируется и дает:

Как и следовало, на бесконечности , т. е. вдали от гравитирующих тел, метрика автоматически оказывается галилеевой. Постоянную легко выразить через массу тела, потребовав, чтобы на больших расстояниях, где поле слабо, имел место закон Ньютона. Именно, должно быть , где потенциал равен своему ньютоновскому выражению (99,4): — полная масса создающего поле тела). Отсюда видно, что . Эта величина имеет размерность длины; ее называют гравитационным радиусом тела :

(100,13)

Таким образом, окончательно находим пространственно-временную метрику в виде

(100,14)

Это решение уравнений Эйнштейна было найдено Шварцшильдом (К. Schwarzschild, 1916). Им полностью определяется гравитационное поле в пустоте, создаваемое любым центральносимметричным распределением масс.

Подчеркнем, что это решение справедливо не только для покоящихся, и для движущихся масс, если только движение тоже обладает должной симметрией (скажем, центрально-симметричные пульсации). Отметим, что метрика (100,14) зависит только от полной массы гравитирующего тела, как и в аналогичной задаче ньютоновской теории.

Пространственная метрика определяется выражением для элемента пространственного расстояния:

(100,15)

Геометрический смысл координаты определяется тем, что в метрике (100,15) длина окружности с центром в центре поля равна . Расстояние же между двумя точками на одном и том же радиусе дается интегралом

(100,16)

Далее мы видим, что . В связи с формулой (84,1) , определяющей истинное время, отсюда следует, что

(100,17)

Знак равенства имеет место на бесконечности, где t совпадает с истинным временем. Таким образом, на конечных расстояниях от масс происходит «замедление» времени по сравнению со временем на бесконечности.

Наконец, приведем приближенное выражение для на больших расстояниях от начала координат:

(100,18)

Второй член представляет собой малую поправку к галилеевой метрике . На больших расстояниях от создающих поле масс всякое поле центрально-симметрично. Поэтому (100,18) определяет метрику на больших расстояниях от любой системы тел.

Некоторые общие соображения можно высказать и по поводу центрально-симметричного гравитационного поля внутри гравитирующих масс. Из уравнения (100,6) видно, что при должно тоже обращаться в нуль, по крайней мере как в противном случае правая часть уравнения обратилась бы при в бесконечность, т. е. имело бы в особую точку.

Интегрируя формально уравнение (100,6) с граничным условием получим:

(100,19)

Поскольку в силу (94,10) , то отсюда видно, что

(100,20)

Далее, вычитая уравнение (100,6) почленно из уравнения К 100,4), получим:

т. е. . Но при (вдали от масс) метрика переходит в галилееву, т. е. . Поэтому из следует, что во всем пространстве

(100,21)

Поскольку , то отсюда следует, что , т. е.

(100,22)

Полученные неравенства показывают, что указанные выше свойства (100,16-17) пространственной метрики и хода часов в центрально-симметричном поле в пустоте относятся в той же мере и к полю внутри гравитирующих масс.

Если гравитационное поле создается сферическим телом «радиуса» а, то при имеем Для точек с формула (100,19) поэтому дает:

С другой стороны, здесь можно применить относящееся к пустоте выражение (100,14), согласно которому

Сравнивая оба выражения, найдем формулу

(100,23)

определяющую полную массу тела по его тензору энергии-импульса.

В частности, для статического распределения вещества в теле имеем , так что

(100,24)

Обратим внимание на то, что интегрирование производится по , между тем как элемент пространственного объема в метрике (100,2) есть причем, согласно (100,20), Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела.

Задачи

1. Найти инварианты тензора кривизны для метрики Шварцшильда (100,14).

Решение. Вычисление по (92,1) с из (100,3) (или по формулам, полученным в задаче 2 § 92) приводит к следующим значениям отличных от нуля компонент тензора кривизны:

Для инвариантов h и находим:

(произведения с участием дуального тензора равны нулю тождественно). Тензор кривизны относится к типу D по Петрову (с вещественными инвариантами ) Отметим, что инварианты кривизны имеют особенность лишь в точке но не при .

2. Для той же метрики определить пространственную кривизну, Решение. Компоненты пространственного тензора кривизны могут быть выражены через компоненты тензора (и тензор ) так что достаточно вычислить только (см. задачу 1 § 92). Тензор выражается через так же, как выражается через . Со значениями из (100,15) получим после вычисления:

и при . Отметим, что .

По формуле, полученной в задаче 1 § 92, найдем:

Отсюда следует (см. примечание на стр. 341), что для «плоскостей», перпендикулярных к радиусам, гауссова кривизна

(это значит, что для небольших треугольников, проведенных на участке «плоскости» вблизи ее пересечения с перпендикулярным к ней радиусом, сумма углов больше чем я). Для «плоскостей» же, проходящих через центр, гауссова кривизна это значит, что сумма углов, проведенных в «плоскости» небольших треугольников, меньше чем я (подчеркнем, однако, что последнее свойство не относится к треугольникам, охватывающим центр, — сумма углов в таком треугольнике больше чем я).

3. Определить форму поверхности вращения, на которой геометрия была бы такой же, как на проходящей через начало координат «плоскости» в центрально-симметричном гравитационном поле в пустоте.

Решение. Геометрия на поверхности вращения (в цилиндрических координатах) определяется элементом длины

Сравнивая с элементом длины (100,15) в «плоскости»

находим:

откуда

При эта функция имеет особенность — точку разветвления. Это обстоятельство связано с тем, что пространственная метрика (100,15) в противоположность пространственно-временной метрике (100,14) действительно имеет особенность при

Указанные в предыдущей задаче общие свойства геометрии на проходящих через центр «плоскостях» можно найти также и путем рассмотрения кривизны полученной здесь наглядной модели.

4. Преобразовать интервал (100,14) к координатам, в которых пространственная метрика имела бы конформно-эвклидов вид (т. е. пропорционально своему евклидову выражению).

Решение. Полагая

получим из (100,14):

Координаты называют изотропными сферическими координатами; вместо них можно ввести также и изотропные декартовы координаты .

В частности, на больших расстояниях () имеем приближенно:

5. Получить уравнения центрально-симметричного гравитационного поля в веществе в сопутствующей системе отсчета.

Решение. Двумя возможными преобразованиями координат r, t в элементе интервала (100,1) воспользуемся для того, чтобы, во-первых, обратить в нуль коэффициент a(r,t) при dr dt и, во-вторых, обратить в каждой точке в нуль радиальную скорость вещества (остальные компоненты скорости вообще отсутствуют в силу центральной симметрии). После этого координаты могут еще быть подвергнуты произвольному преобразованию вида .

Обозначим выбранные таким образом радиальную координату и время посредством R и , а коэффициенты h, k, l — соответственно — ( — функции R и ). Тогда для элемента интервала имеем:

Компоненты тензора энергии-импульса равны в сопутствующей системе отсчета:

Вычисление приводит к следующим уравнениям поля:

(штрих означает дифференцирование , а точка — по ),

Некоторые общие соотношения для могут быть легко найдены, если исходить из содержащихся в уравнениях поля уравнений . Воспользовавшись формулой (86,11), получим следующие два уравнения

Если известно как функция , то уравнения (6) интегрируются в виде

где функции могут быть выбраны произвольным образом ввиду указанной выше возможности произвольных преобразований вида

6, Найти уравнения, определяющие статическое гравитационное поле в пустоте вокруг неподвижного аксиально-симметричного тела (Н. Weyl, 1917),

Решение. Статический элемент интервала в Цилиндрических пространственных координатах ищем в виде

где — функции такое представление фиксирует выбор координат с точностью до преобразования , умножающего квадратичную форму лишь на общий множитель.

Из уравнении

(где индексы означают дифференцирование по ), взяв их сумму, находим:

где обозначено

Таким образом, — гармоническая функция переменных . Со гласно извегтным свойствам таких функций это значит, что существует сопряженная гармоническая функция такая, что где f — аналитическая функция комплексной переменной . Если теперь выбрать в качестве новых координат, то в силу конформности преобразования будет

где - некоторая новая функция. В то же время обозначив и опустив далее все штрихи, напишем в виде

Составив для этой метрики уравнения , найдем:

Отметим, что (2) имеет вид уравнения Лапласа в цилиндрических координатах (для функции, не зависящей от ). Если это уравнение решено, то функция целиком определяется уравнениями (2—3), Вдали от создающего поле тела функции должны стремиться к нулю.