§ 92. Свойства тензора кривизны

Тензор кривизны обладает свойствами симметрии, для полного выявления которых следует перейти от смешанных компонент к ковариантным:

Простыми преобразованиями легко получить для них следующее выражение:

Из этого выражения очевидны следующие свойства симметрии:

(92,2)

т. е. тензор антисимметричен по каждой из пар индексов и симметричен по отношению к перестановке этих двух пар друг с другом. В частности, все компоненты , диагональные по паре индексов или равны нулю.

Далее легко проверить, что равна нулю циклическая сумма из компонент , образованная по любым трем из их индексов, например:

(92,4)

(остальные соотношения такого рода получаются из (92,4) автоматически в силу свойств (92,2-3)).

Наконец, докажем следующее тождество Бианки:

Его удобно проверить, воспользовавшись локально-геодезической системой координат. В силу тензорного характера соотношение (92,5) будет тем самым справедливым и в любой другой системе. Дифференцируя выражение (91,4) и полагая затем в нем , находим в рассматриваемой точке:

С помощью этого, выражения легко убедиться в том, что (92,5) действительно имеет место.

Из тензора кривизны можно путем упрощения построить тензор второго ранга. Такое упрощение можно произвести только одним способом: упрощение тензора по индексам i и k или l и дает нуль в силу антисимметричности по ним, а упрощение по любым другим парам дает, с точностью до знака, одинаковый результат. Мы определим тензор (его называют тензором Риччи) как

Согласно (91,4) имеем:

(92,7)

Этот тензор, очевидно, симметричен:

Наконец, упрощая , получим инвариант

называемый скалярной кривизной пространства.

Компоненты тензора удовлетворяют дифференциальному тождеству, получающемуся упрощением тождества Бианки ;(92,5) по парам индексов

В силу соотношений (92,2-4) не все компоненты тензора кривизны независимы. Определим число независимых компонент.

Определение тензора кривизны, даваемое написанными выше формулами, относится к пространству любого числа измерений.

Рассмотрим сначала случай пространства двух измерений, т. е. обычную поверхность; обозначим в этом случае (в отличие от четырехмерных величин) тензор кривизны через , а метрический тензор — через где индексы пробегают значения 1, 2. Поскольку в каждой из пар ab и cd два индекса должны иметь различные значения, то очевидно, что все отличные от нуля компоненты тензора кривизны либо совпадают друг с другом, либо отличаются знаком. Таким образом, в этом случае имеется лишь одна независимая компонента, например . Легко найти, что скалярная кривизна при этом равна

(92,11)

Величина совпадает с так называемой гауссовой кривизной поверхности К:

где — главные радиусы кривизны поверхности в данной ее точке (напомним, что считаются имеющими одинаковые знаки, если соответствующие им центры кривизны расположены по одну сторону от поверхности, и имеющими разные знаки, если центры кривизны лежат по разные стороны от поверхности; в первом случае а во втором

Перейдем к тензору кривизны трехмерного пространства; обозначим его через , а метрический тензор через , где индексы пробегают значения 1, 2, 3. Пары индексов и пробегают всего три существенно различных набора значений: 23, 31, 12 (перестановка индексов в паре меняет лишь знак компоненты тензора). Поскольку тензор симметричен по отношению к перестановке этих пар, то имеется всего 3•2/2 = 3 независимых компоненты с различными парами индексов, а также 3 компоненты с одинаковыми парами. Тождество (92,4) не прибавляет ничего нового к этим ограничениям. Таким образом, в трехмерном пространстве тензор кривизны имеет шесть независимых компонент. Столько же компонент имеет симметричный тензор Поэтому из линейных соотношений все компоненты тензора могут быть выражены через и метрический тензор (см. задачу 1).

Если выбрать систему координат, декартову в данной точке, то надлежащим ее поворотом можно привести тензор к главным осям. Таким образом, кривизна трехмерного пространства в каждой точке определяется тремя величинами.

Наконец, перейдем к четырехмерному пространству. Пары индексов пробегают в этом случае 6 различных наборов значений: 01, 02, 03, 23, 31, 12. Поэтому имеется 6 компонент с одинаковыми и 6•5/2= 15 компонент с различными парами индексов. Последние, однако, еще не все независимы друг от друга: три компоненты, у которых все четыре индекса различны, связаны в силу (92,4) одним тождеством:

(92,13)

Таким образом, в 4-пространстве тензор кривизны имеет всего 20 независимых компонент.

Выбирая систему координат, галилееву в данной точке, и рассматривая преобразования, поворачивающие эту систему (так что значения в данной точке не меняются), можно добиться обращения в нуль шести компонент тензора кривизны (шесть есть число независимых поворотов 4-системы координат). Таким образом, в общем случае кривизна 4-пространства определяется в каждой точке 14 величинами.

Если то в произвольной системе координат тензор кривизны имеет всего 10 независимых компонент. Надлежащим преобразованием координат можно тогда привести тензор (в заданной точке 4-пространства) к «каноническому» виду, в котором его компоненты выражаются в общем случае через 4 независимые величины; в особых случаях это число может оказаться даже меньшим.

Если же , то все то же самое будет относиться к тензору кривизны после выделения из него определенной части, выражающейся через компоненты . Именно, составим тензор

(92,14)

Легко видеть, что этот тензор обладает всеми свойствами симметрии тензора , а при свертывании по паре индексов или дает нуль.

Покажем, каким образом строится классификация возможных типов канонической формы тензора кривизны при (А. В. Петров, 1950).

Будем считать, что метрика в данной точке -пространства приведена к галилеевому виду. Совокупность 20 независимых компонент тензора представим как совокупность трех трехмерных тензоров, определенных следующим образом:

(92,15)

( — единичный антисимметричный тензор; поскольку трехмерная метрика декартова, нет необходимости делать при суммировании различие между верхними и нижними индексами). Тензоры по определению симметричны; тензор , вообще говоря, несимметричен, а его след равен нулю в силу (92,13). Согласно определениям (92,15) имеем, например:

Легко видеть, что условия эквивалентны следующим соотношениям между компонентами тензоров (92,15):

(92,16)

Далее введем симметричный комплексный тензор

(92,17)

Такое объединение двух вещественных трехмерных тензоров в один комплексный тензор как раз соответствует объединению (в § 25) двух векторов Е и Н в комплексный вектор F, а возникающая в результате связь между и 4-тензором соответствует связи между F и 4-тензором Отсюда следует, что четырехмерные преобразования тензора эквивалентны трехмерным комплексным поворотам, производимым над тензором

По отношению к этим поворотам могут быть определены собственные значения и собственные векторы (вообще говоря, комплексные) как решения системы уравнений

(92,18)

Величины к являются инвариантами тензора кривизны. Поскольку след то равна нулю также и сумма корней уравнения (92,18):

В зависимости от числа независимых собственных векторов мы приходим к следующей классификации возможных случаев приведения тензора кривизны, — к каноническим типам Петрова I—III.

I) Имеются три независимых собственных вектора. При этом их квадраты папа отличны от нуля и соответствующим поворотом тензор а с ним и приводятся к диагональному виду:

(92,19)

В этом случае тензор кривизны имеет 4 независимых инварианта

Комплексные инварианты выражаются алгебраически через комплексные скаляры

где звездочка над буквой означает дуальный тензор:

Вычислив с помощью (92,19), получим:

(92,21)

Эти формулы позволяют вычислить , исходя из значений в любой системе отсчета.

II) Имеются два независимых собственных вектора. Квадрат одного из них при этом равен нулю, в связи с чем он не может быть принят за направление координатной оси. Можно, однако, принять его лежащим в плоскости ; тогда . Соответствующие уравнения (92,18) дают:

откуда

Комплексная величина является скаляром и не может быть изменена. Величине же . путем различных комплексных поворотов может быть придано любое (отличное от нуля) значение; можно поэтому без ограничения общности считать ее вещественной. В результате получим следующий канонический тип вещественных тензоров :

В этом случае имеется всего два инварианта и . При этом согласно (92,21) , так что .

III) Имеется всего один собственный вектор с равным нулю квадратом. Все собственные значения к при этом одинаковы, а потому равны нулю. Решения уравнения (92,18) могут быть приведены к виду , так что

(92,23)

В этом случае тензор кривизны вовсе не имеет инвариантов, и мы имеем дело со своеобразной ситуацией: 4-пространство искривлено, но не существует инвариантов, которые могли бы являться мерой его кривизны.

Задачи

1. Выразить тензор кривизны трехмерного пространства через тензор 2-го ранга .

Решение. Ищем в виде

удовлетворяющем условиям симметрии; здесь — некоторый симметричный тензор, связь которого с определяется путем упрощения написанного выражения по индексам .

Таким путем находим:

и окончательно:

2. Вычислить компоненты тензоров и для метрики, в которой тензор диагонален.

Решение. Представим отличные от нуля компоненты метрического тензора в виде

Вычисление по формуле (92,1) приводит к следующим выражениям для отличных от нуля компонент тензора кривизны:

(по повторяющимся индексам нет суммирования!). Индексы после запятой означают простое дифференцирование по соответствующей координате. Упрощая тензор по двум индексам, получим: