§ 45. Теорема Лармора

Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внешнем постоянном однородном магнитном поле.

Средняя (по времени) сила, действующая на систему,

обращается в нуль как среднее значение производной по времени от всякой величины, меняющейся в конечных пределах. Среднее же значение момента сил

отлично от нуля. Его можно выразить через магнитный момент системы, для чего пишем, ракрывая двойное векторное произведение:

При усреднении второй член обращается в нуль, так что

(последнее преобразование аналогично произведенному при выводе (44,3)), или окончательно

Обратим внимание на аналогию с формулой (42,6) электрического случая.

Функция Лагранжа системы зарядов во внешнем постоянном однородном магнитном поле содержит дополнительный (по отношению к функции Лагранжа замкнутой системы) член

(мы воспользовались выражением (19,4) для векторного потенциала однородного поля). Вводя магнитный момент системы, имеем:

Обратим внимание на аналогию с электрическим полем: в однородном электрическом поле функция Лагранжа системы с равным нулю полным зарядом и дипольным моментом содержит член

являющийся в этом случае потенциальной энергией системы зарядов, взятой с обратным знаком (см. § 42).

Рассмотрим систему зарядов, совершающих финитное движение (со скоростями ) в центрально-симметричном электрическом поле, создаваемом некоторой неподвижной частицей.

Перейдем от неподвижной системы координат к системе, равномерно вращающейся вокруг оси, проходящей через неподвижную частицу. Согласно известной формуле скорость v частицы в новой системе координат связана с ее же скоростью v в старой системе соотношением

где — радиус-вектор частицы, a — угловая скорость вращающейся системы координат. В неподвижной системе функция Лагранжа системы зарядов есть

где U — потенциальная энергия зарядов во внешнем электрическом пале вместе с энергией их взаимодействия друг с другом. U является функцией от расстояний зарядов до неподвижной частицы и от их взаимных расстояний; при переходе к вращающейся системе координат она остается, очевидно, неизменной. Поэтому в новой системе функция Лагранжа будет

Предположим, что у всех частиц отношение зарядов к массам одинаково, и положим

Тогда при достаточно малых Я (когда можно пренебречь членами с ) функция Лагранжа приобретает вид

Мы видим, что она совпадает с функцией Лагранжа, которой описывалось бы движение рассматриваемых зарядов в неподвижной системе координат при наличии постоянного магнитного поля (ср. (45,2)).

Таким образом, мы. приходим к результату, что в нерелятивистском случае поведение системы зарядов с одинаковыми отношениями совершающих финитное движение в центрально-симметричном электрическом поле и в слабом однородном магнитном поле Н, эквивалентно поведению этой же системы зарядов в том же электрическом поле в системе координат, равномерно вращающейся угловой скоростью (45,4). Это утверждение составляет содержание так называемой теоремы Лармора, а угловая скорость называется ларморовой частотой.

К этому же вопросу можно подойти с другой точки зрения. При достаточно слабом магнитном поле Н ларморова частота мала по сравнению с частотами финитного движения данной системы зарядов, и можно рассматривать относящиеся к этой системе величины, усредненные по временам, малым по сравнению с периодом . Эти величины будут медленно (с частотой ) меняться со временем.

Рассмотрим изменение среднего механического момента системы М. Согласно известному уравнению механики производная М равиа моменту действующих на систему сил К. Поэтому имеем, с помощью формулы (45,1):

Если отношение для всех частиц в системе одинаково, то механический и магнитный моменты пропорциональны друг другу, и с помощью формул (44,5) и (45,4) находим:

Это уравнение означает, что вектор М (а с ним и магнитный момент ) вращается с угловой скоростью — вокруг направления поля, сохраняя при этом свою абсолютную величину и угол, образуемый им с этим направлением (так называемая ларморова прецессия).