§ 76. Торможение излучением в релятивистском случае

Выведем релятивистское выражение для торможения излучением (для одного заряда), применимое и при движении со скоростями порядка скорости света. Эта сила будет теперь 4-вектором которым надо дополнить уравнение движения заряда, написанное в четырехмерном виде:

Для определения заметим, что при с его три пространственные компоненты должны перейти в компоненты вектора f/с (75,8). Легко видеть, что этим свойством обладает 4-вектор . Он, однако, не удовлетворяет тождеству , которое имеет место для компонент всякого 4-вектора силы.

Для того чтобы удовлетворить этому условию, надо прибавить к написанному выражению некоторый дополнительный 4-вектор, составленный из 4-скорости и ее производных. Три пространственные компоненты этого вектора должны обращаться в предельном случае v = 0 в нуль так, чтобы не изменить правильного значения f, которое уже дается выражением . Этим свойством обладает -вектор и потому искомый дополнительный член должен иметь вид Скаляр а надо выбрать так, чтобы удовлетворить соотношению . В результате находим:

Полученную формулу можно переписать в другом виде, выразив согласно уравнениям движения производные через тензор действующего на частицу внешнего электромагнитного поля:

При подстановке надо иметь в виду, что произведение антисимметричного по индексам , k тензора на симметричный тензор дает нуль. Итак,

Интеграл от 4-силы взятый по мировой линии движения заряда, пролетающего через заданное поле, должен совпасть (с обратным знаком) с полным излучением зарядом -импульса (подобно тому как среднее значение работы силы f в нерелятивистском случае совпадает с интенсивностью дипольного излучения — см. ). Легко убедиться в том, что это действительно так. Первый член в (76,2) при интегрировании обращается в нуль, поскольку на бесконечности частица не имеет ускорения, т. е. . Второй член интегрируем по частям и получаем:

что в точности совпадает с (73,4).

Когда скорость частицы приближается к скорости света, s пространственных компонентах 4-вектора (76,3) наиболее быстро возрастает часть, происходящая от члена, содержащего тройные произведения компонент 4-скорости.

Сохраняя поэтому лишь этот член в (76,3) и учитывая связь (9,18) между пространственными компонентами 4-вектора и трехмерной силой f, находим для последней:

где — единичный вектор в направлении v. Следовательно, в этом случае сила f направлена против направления скорости частицы; выбирая последнее в качестве оси х и раскрывая четырехмерные выражения, получим:

(везде, за исключением знаменателя, положено v = c). Мы видим, что для ультрарелятивистской частицы сила торможения пропорциональна квадрату ее энергии.

Обратим внимание на следующее интересное обстоятельство. В предыдущем параграфе было показано, что полученные выражения для торможения излучением применимы лишь в таких полях, величина которых в системе покоя частицы (система Ко), мала по сравнению с . Пусть F есть порядок величины внешнего поля в системе отсчета К, в которой частица движется со скоростью у. Тогда в системе Ко поле имеет порядок величины (см. формулы преобразования в § 24). Поэтому F должно удовлетворять условию

Между тем, отношение силы торможения (76,4) к внешней силе по порядку величины есть

и мы видим, что соблюдение условия (76,5) не препятствует тому, что сила торможения может оказаться (при достаточно большой энергии частицы) большой по сравнению с обычной лоренцевой силой, действующей на заряд в. электромагнитном поле.

Таким образом, для ультрарелятивистской частицы может иметь место случай, когда торможение излучением является основной действующей на нее силой.

В этом случае потерю энергии (кинетической) частицей на единице длины ее пути можно считать равной одной только силе торможения имея в виду, что последняя пропорциональна квадрату энергии частицы, напишем:

где посредством обозначен зависящий от координаты х коэффициент, выражающийся согласно (76,4) через поперечные компоненты поля. Интегрируя это дифференциальное уравнение, найдем:

где обозначает начальную энергию частицы (энергия при ). В частности, конечная энергия частицы (после пролета частицы через поле) определяется формулой

Мы видим, что при конечная энергия стремится к постоянному, не зависящему от пределу . Померанчук, 1939). Отсюда следует, что после пролета через поле энергия частицы не может превышать значения определяемого равенством

или, подставляя выражение для ,

Задачи

1. Определить предельную энергию, которой может обладать частица после пролета через поле магнитного диполя т; вектор и направление движения лежат в одной плоскости.

Решение. Выбираем плоскость, проходящую через вектор m и направление движения, в качестве плоскости причем частица движется параллельно оси на расстоянии от нее. Для действующих на частицу поперечных компонент поля магнитного диполя имеем (см. (44,4)):

( — угол между и осью z). Подставляя в (76,6) и производя интегрирование, получим:

2. Написать трехмерное выражение для силы торможения в релятивистском случае.

Решение. Вычисляя пространственные компоненты 4-вектора (76,3), получим.