§ 112. Закрытая изотропная модель

Переходя к исследованию пространственно-временной метрики изотропной модели, мы должны прежде всего условиться о выборе системы отсчета. Наиболее удобна «сопутствующая» система отсчета, движущаяся в каждой точке пространства вместе с находящимся в ней веществом. Другими словами, системой отсчета является сама заполняющая пространство материя; скорость вещества в этой системе по определению равна везде нулю. Очевидно, что такой выбор системы отсчета для изотропной модели естествен: при другом выборе направленность скоростей материи создавала бы кажущуюся неэквивалентность различных направлений в пространстве. Временная координата должна быть выбрана указанным в начале предыдущего параграфа образом, т. е. так, чтобы в каждый данный момент времени метрика во всем пространстве была одинаковой.

Ввиду полной эквивалентности всех нанравлений, компоненты метрического тензора в выбранной нами системе отсчета равны нулю. Действительно, три компоненты можно рассматривать как компоненты трехмерного вектора, который, будучи отличен от нуля, создавал бы неравноценность различных направлении. Таким образом, должно иметь вид Компонента является адесь функцией только от . Поэтому можно всегда выбрать временную координату так, чтобы обратилось в 1. Обоаначая ее через , имеем:

(112,1)

Переменная является синхронным собственным временем в. каждой точке пространства.

Начнем с рассмотрения пространства положительной кривизны; ниже мы будем для краткости говорить о соответствующем решении уравнений Эйнштейна как о закрытой модели. Для dl воспользуемся выражением (111,8), в котором радиус кривизны а является, вообще говоря, функцией времени. Таким образом, пишем в виде

Функция определяется уравнениями Эйнштейна. Для решения этих уравнений удобно воспользоваться вместо времени величиной , определяемой соотношением

(112,3)

Тогда напишется в виде

(112,4)

Для составления уравнений поля надо начать с вычисления компонент тензора (координатами являются ). С помощью значений компонент метрического тензора

вычисляем величины

где штрих означает дифференцирование по (компоненты нет надобности вычислять в явном виде). С помощью этих значений но общей формуле (92,7) получим:

Из тех же соображений симметрии, которые были применены выше к заранее очевидно, что компоненты

Для вычисления же компонент замечаем, что если выделить в них члены, содержащие только (т. е. только ), то эти члены должны составить компоненты трехмерного тензора — значения которых заранее известны из (111,3) и (111,6):

где многоточие подразумевает члены, содержащие наряду с также и . В результате вычисления последних получим:

и затем

Поскольку в выбранной нами системе отсчета материя неподвижна, то и из (94,9) иуеем , где — плотность энергии материи. Подставляя полученные выражения в уравнение

получим:

(112,5)

Сюда входят две неизвестные функции и а; поэтому необходимо получить еще одно уравнение. В качестве него удобно выбрать (вместо пространственных компонент уравнений Эйнштейна) уравнение - одно из четырех уравнений (94,7), содержащихся, как мы знаем, в уравнениях поля. Это уравнение можно вывести и непосредственно с помощью термодинамических соотношений следующим образом.

Пользуясь в уравнениях поля выражением (94,9) для тензора энергии-импульса, мы тем самым пренебрегаем всеми процессами диссипации энергии, приводящими к возрастанию энтропии. Такое пренебрежение, разумеется, здесь вполне законно, поскольку дополнительные члены, которые надо было бы прибавить к в связи с диссипацией энергии, ничтожно малы по сравнению с плотностью энергии , включающей в себя энергию покоя материальных тел.

Таким образом, при выводе уравнений поля мы можем считать полную энтропию постоянной. Воспользуемся теперь известным термодинамическим соотношением — энергия, энтропия и объем системы, — давление и температура. При постоянной энтропии имеем просто Вводя плотность энергии без труда находим:

Объем пространства V пропорционален, согласно (111,9), кубу радиуса кривизны а. Поэтому , и мы можем написать:

или, интегрируя,

(112,6)

(нижний предел в интеграле постоянен).

Если связь между ей (уравнение состояния материи) известна, то уравнение (112,6) определяет в как функцию от а. Тогда из (112,5) мы можем определить в виде

Уравнения (112,6-7) решают в общем виде задачу об определении метрики в изотропной закрытой модели.

Если материя распределена в пространстве в виде отдельных макроскопических тел, то при определении создаваемого ею гравитационного поля мы можем рассматривать эти тела как материальные частицы, обладающие определенными массами, не интересуясь вовсе их внутренним строением. Считая скорости тел сравнительно малыми (малыми по сравнению с с), можно положить просто , где — сумма масс тел, отнесенная к единице объема. По той же причине давление «газа», состоящего из этих тел, крайне мало по сравнению с и им можно пренебречь (давления же внутри тел, согласно сказанному, не имеют отношения к рассматриваемому вопросу). Что касается имеющегося в пространстве излучения, то его количество относительно мало и его энергией и давлением тоже можно пренебречь.

Таким образом, для описания в терминах рассматриваемой модели современного состояния Вселенной следует пользоваться уравнением состояния «пылевидной» материи

Интегрирование в (112,6) дает тогда . Это равенство можно было бы написать и сразу, так как оно выражает собой просто постоянство суммы М масс тел во всем пространстве, как и должно было быть в рассматриваемом случае пылевидной материи.

Поскольку объем пространства в замкнутой модели равен то Таким образом,

(112,8)

Подставив (112.8) в уравнение (112,7) и произведя интегрирование, получим

где постоянная

Наконец, для связи между находим из (112,3)

(112,10)

Уравнения (112,9-10) определяют в параметрическом виде зависимость Функция возрастает от нуля при до максимального значения достигаемого при и затем снова убывает до нуля при

При имеем приближенно что

(112,11)

При этом плотность вещества

(112,12)

(численное значение коэффициента дано для плотности в при секундах). Обратим внимание на то, что в этом пределе зависимость имеет универсальный характер в том смысле, что не зависит от параметра

При плотность обращается в бесконечность. Но при давление тоже становится большим, и потому для исследования метрики в этой области надо рассмотреть противоположный случай наибольшего возможного (при данной плотности энергии ) давления, т. е. описывать материю уравнением состояния

(см. примечание на стр. 123). Из формулы (112,6) получим тогда

( — новая постоянная), после чего уравнения (112,7) и (112,3) приводят к зависимости

Поскольку это решение имеет смысл рассматривать только при очень больших значениях (т. е. малых а), то положим . Тогда так что

(112,14)

При этом

(эта зависимость снова не содержит никаких параметров).

Таким образом, и здесь при так что значение действительно является особой точкой пространственно-временной метрики изотропной модели (и то же самое относится к закрытой модели и ко второй точке, в которой Мы видим также из (112,14), что изменении знака t величина сделалась бы мнимой, а ее квадрат — отрицательным. Все четыре компоненты в (112,2) стали бы при этом положительными, так же как и определитель g. Но такая метрика физически бессмысленна. Это значит, что не имеет физического смысла аналитически продолжать метрику за особую точку.