§ 49. Спектральное разложение

Всякую волну можно подвергнуть так называемому спектральному разложению, т. е. представить в виде наложения монохроматических волн с различными частотами. Эти разложения имеют различный характер в зависимости от характера зависимости поля от времени.

К одной категории относятся случаи, когда разложение содержит частоты, образующие дискретный ряд значений. Простейший случай такого рода возникает при разложении чисто периодического (хотя и не монохроматического) поля. Это есть разложение в обычный ряд Фурье; оно содержит частоты, являющиеся целыми кратными «основной» частоты , где Т — период поля. Напишем его в виде

— какая-либо из величин, описывающих поле). Величины определяются по самой функции интегралами

Ввиду вещественности функции f(t) очевидно, что

В более сложных случаях в разложении могут присутствовать частоты, являющиеся целыми кратными (и их суммами) нескольких различных, несоизмеримых друг с другом основных частот.

При возведении суммы (49,1) в квадрат и усреднении по времени произведения членов с различными частотами обращаются в нуль ввиду наличия в них осциллирующих множителей. Останутся лишь члены вида . Таким образом, средний квадрат поля (средняя интенсивность волны) представится в виде суммы интенсивностей монохроматических компонент:

(подразумевается, что среднее по периоду значение самой функции равно нулю, так что ).

К другой категории относятся поля, разлагающиеся в интеграл Фурье, содержащий непрерывный ряд различных частот. Для этого функции f(t) должны удовлетворять определенным условиям; обычно речь идет о функциях, обращающихся в нуль при . Такое разложение имеет вид

причем компоненты Фурье определяются по самой функции f(t) интегралами

При этом аналогично (49,3)

Выразим полную интенсивность волны, т. е. интеграл от по всему времени, через интенсивности компонент Фурье, С помощью (49,5-6) имеем:

или, учитывая (49,7),