§ 67. Дипольное излучение

Временем в подынтегральных выражениях запаздывающих потенциалов (66,1-2) можно пренебречь, если за это время распределение зарядов мало меняется. Легко найти уело осуществления этого требования. Пусть Т означает порядок величины времени, в течение которого распределение зарядов в системе меняется заметным образом. Излучение этой системы будет, очевидно, обладать периодом порядка Т (т. е. частотой порядка ). Обозначим далее посредством а порядок величины размеров системы. Тогда время Для того чтобы за это время распределение зарядов в системе не успело значительно измениться, необходимо, чтобы . Но есть не что иное, как длина волны излучения. Таким образом, можно написать в виде

(67,1)

т. е. размеры системы должны быть малы по сравнению с длиной излучаемой волны.

Заметим, что условие (67,1) можно получить и из (66,7), В подынтегральном выражении пробегает значения в интервале порядка размеров системы, так как вне системы j равно нулю. Поэтому показатель мал, и им можно пренебречь для тех волн, у которых что эквивалентно (67,1).

Это условие можно написать еще и в другом виде, заметив, что так что если v есть порядок величины скорости зарядов. Из находим тогда:

т. е. скорости зарядов должны быть малы по сравнению со скоростью света.

Будем предполагать, что это условие выполнено, и займемся изучением излучения на расстояниях от излучающей системы, больших по сравнению с длиной волны (а следовательно, во всяком случае больших по сравнению с размерами системы). Как было указано в § 66, на таких расстояниях поле можно рассматривать как плоскую волну, и потому для определения ноля достаточно вычислить только векторный потенциал. Векторный потенциал (66,2) имеет теперь вид

где время и уже не зависит от переменных интегрирования. Подставляя , переписываем (67,3) в виде

где суммирование производится по всем зарядам системы; для краткости мы будем опускать индекс t — все величины в правых сторонах равенств берутся в момент времени t. Но

где d — днпольный момент системы. Таким образом,

С помощью формул (66,3) находим, что магнитное поле равно

а электрическое поле

Отметим, что в рассматриваемом приближении излучение определяется второй производной от дипольного момента системы. Такое излучение называется дипольным.

Поскольку то . Таким образом, заряды могут излучать, только если они движутся с ускорением. Равномерно движущиеся заряды не излучают.

Это следует, впрочем, и непосредственно из принципа относительности, так как равномерно движущийся заряд можно рассматривать в такой инерциальной системе, где он покоится, а покоящиеся заряды не излучают.

Подставляя (67,5) в (66,6), получим интенсивность дипольного излучения:

где — угол между векторами d и n. Это есть количество энергии, излучаемой системой в единицу времени в элемент телесного угла отметим, что угловое распределение излучения дается множителем

Подставив и интегрируя по от 0 до получим полное излучение:

Если имеется всего один движущийся во внешнем поле заряд, то где w — ускорение заряда. Таким образом, полное излучение движущегося заряда

Отметим, что замкнутая система, состоящая из частиц, у которых отношения зарядов к массам одинаковы, не может излучать дипольно. Действительно, для такой системы дипольный момент

где есть одинаковое для всех частиц отношение заряда к массе. Но , где R — радиус-вектор центра инерции системы (напоминаем, что все скорости так что применима нерелятивистская механика). Поэтому d пропорционально ускорению центра инерции, т. е. равно нулю, так как центр инерции движется равномерно.

Наконец, выпишем формулы для спектрального разложения интенсивности дипольного излучения. Для излучения, сопровождающего столкновение, вводим количество энергии, излученной за все время столкновения в виде волн с частотами в интервале (ср. § 66). Оно получится заменой в (67,8) вектора d его компонентой Фурье и одновременным умножением на 2:

По определению компоненты Фурье, имеем:

откуда . Таким образом, получаем:

(67,10)

При периодическом движении частиц аналогичным образом найдем интенсивность излучения с частотой в виде

Задачи

1. Определить излучение диполя d, вращающегося в одной плоскости с постоянной угловой скоростью .

Решение. Выбирая плоскость вращения в качестве плоскости ху, имеем:

Ввиду монохроматичности этих функций излучение тоже монохроматично с частотой . По формуле (67,7) найдем для углового распределения среднего (по периоду вращения) излучения:

где — угол между направлением излучения и осью r. Полное излучение

Поляризация излучения определяется направлением вектора Проецируя его на направления в плоскости и перпендикулярно к ней, найдем, что излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин полуосей, равным в частности, излучение в направлении оси поляризовано

2. Определить угловое распределение излучения движущейся как целое (со скоростью v) системой зарядов, если известно распределение в системе отсчета, в которой система как целое покоится.

Решение. Пусть

есть интенсивность излучения в системе отсчета К, связанной с движущейся системой зарядов — углы сферических координат с полярной осью вдоль направления движения системы). Излучаемая в течение времени в неподвижной (лабораторной) системе отсчета К энергия связана с излучением энергия в системе К формулой преобразования

(импульс излучения, распространяющегося в заданном направлении, связан с его энергией соотношением ).

Полярные углы направления излучения в системах К я К связаны формулами (5,6) (азимуты Наконец, времени в системе К соответствует время в системе К. В результате для интенсивности ) в системе К найдем:

Так, для диполя, движущегося в направлении своей оси, , и с помощью полученной формулы находим: