§ 90. Уравнения электродинамики при наличии гравитационного поля

Уравнения электромагнитного поля специальной теории относительности легко обобщить так, чтобы они были применимы в любой четырехмерной криволинейной системе координат, т. е. в случае наличия гравитационного поля.

Тензор электромагнитного поля в специальной теории относительности определялся как Очевидно, что теперь он должен быть соответственно определен как Но в силу (86,12)

так что связь с потенциалом не меняется. Вследствие этого первая пара уравнений Максвелла (26,5)

тоже сохраняет свой вид.

Для того чтобы написать вторую пару уравнений Максвелла, надо предварительно определить в криволинейных координатах -вектор тока. Это мы сделаем аналогично тому, как мы поступали в § 28. Пространственный элемент объема, построенного на элементах пространственных координат есть где у — определитель пространственного метрического тензора (84,7), (см. примечание на стр. 302). Введем плотность зарядов согласно определению где — заряд, находящийся в элементе объема Умножив это равенство с обеих сторон на имеем:

(мы использовали формулу — Произведение есть инвариантный элемент -объема, так что -вектор тока определяется выражением

(величины — скорости изменения координат со «временем» — сами не составляют -вектора!). Компонента -вектора тока, умноженная на есть пространственная плотность зарядов.

Для точечных зарядов плотность выражается суммой -функций аналогично формуле (28,1). При этом, однако, надо уточнить определение этих функций в случае криволинейных координат.

Мы будем понимать по-прежнему как произведение вне зависимости от геометрического смысла координат тогда равен единице интеграл по (а не по . С таким определением -функций плотность зарядов

а 4-вектор тока

Сохранение заряда выражается уравнением непрерывности, которое отличается от (29,4) лишь заменой обычных производных ковариантными:

(использована формула (86,9)).

Аналогичным образом обобщается вторая пара уравнений Максвелла (30,2); заменяя в них обычные производные ковариантными, находим:

(использована формула (86,10)).

Наконец, уравнения движения заряженной частицы в гравитационном и электромагнитном полях получаются заменой в (23,4) 4-ускорения на :

Задача

Написать уравнения Максвелла в заданном гравитационном поле в трехмерной форме (в трехмерном пространстве с метрикой ), введя 3-векторы Е, D и антисимметричные 3-тензоры согласно определениям

Решение. Введенные указанным образом величины не независимы. Раскрывая равенства

введя при этом трехмерный метрический тензор (g и h — из (88,11)) и воспользовавшись формулами (84,9) и (84,12), получим:

Введем векторы В, Н, дуальные тензорам согласно определению

(ср. примечание на стр. 327; знак минус введен для того, чтобы в галилеевых координатах векторы Н и В совпадали с обычной напряженностью магнитного поля). Тогда (2) можно записать в виде

Вводя определения (1) в (90,2), получим уравнения:

или, перейдя к дуальным величинам (3):

( определение операций rot и div в примечании на стр. 327). Аналогичным образом из (90,6) находим уравнения

или в трехмерных векторных обозначениях:

где s — вектор с компонентами .

Выпишем для полноты также и уравнение непрерывности (90,5) в трехмерной форме:

Обратим внимание на аналогию (конечно, чисто формальную) уравнений (5), (6) с уравнениями Максвелла для электромагнитного поля в материальных средах. В частности, в статическом гравитационном поле в членах с производными по времени выпадает , а связь (4) сводится к Можно сказать, что в отношении своего воздействия на электромагнитное поле статическое гравитационное поле играет роль среды с электрической и магнитной проницаемостями