ГЛАВА IX. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

§ 66. Поле системы зарядов на далеких расстояниях

Рассмотрим поле, создаваемое системой движущихся зарядов на расстояниях, больших по сравнению с ее собственными размерами.

Выберем начало координат О где-либо внутри системы зарядов. Радиус-вектор из О в точку наблюдения поля Р. обозначим посредством а единичный вектор в этом направлении — через . Радиус-вектор элемента заряда пусть будет , а радиус-вектор от в точку Р обозначим как R; очевидно, что

На больших расстояниях от системы и приближенно имеем:

Подставим это в формулы (62,9-10) для запаздывающих потенциалов. В знаменателе подынтегральных выражений можно пренебречь по сравнению с . В аргументе же этого пренебрежения, вообще говоря, сделать нельзя; возможность такого пренебрежения определяется здесь не относительной величиной а тем, насколько меняются сами за время Учитывая, что при интегрировании является постоянной и потому может быть вынесено за знак интеграла, находим для потенциалов поля на большом расстоянии от системы зарядов следующие выражения:

На достаточно больших расстояниях от системы иоле в малых участках пространства можно рассматривать как плоскую волну. Для этого надо, чтобы расстояния были велики не только по сравнению с размерами системы, но и по сравнению с длиной излучаемых системой электромагнитных волн. Об этой области поля говорят как о волновой зоне излучения.

В плоской волне поля Е и Н связаны друг с другом соотношением (47,4) .

Поскольку , то для полного определения поля в волновой зоне достаточно вычислить только векторный потенциал. В плоской волне имеем (ср. (47,3)), где точка над буквой означает дифференцирование по времени. Таким образом, зная А, найдем Н и Е по формулам:

Отметим, что поле на далеких расстояниях оказывается обратно пропорциональным первой степени расстояния от излучающей системы. Следует также заметить, что время t входит в выражения (66,1-3) везде в комбинации с расстоянием

Для излучения, создаваемого одним произвольно движущимся точечным зарядом, бывает удобно пользоваться потенциалами Лиенара—Вихерта. На далеких расстояниях можно заменить в формуле (63,5) переменный радиус-вектор R постоянной величиной а в условии (63,1), определяющем надо положить — радиус-вектор заряда). Таким образом,

где t определяется из равенства

Излучаемые системой электромагнитные волны уносят с собой определенную энергию. Поток энергии дается вектором Пойнтинга, равным в плоской волне

Интенсивность излучения в элемент телесного угла определяют как количество энергии, протекающей в единицу времени через элемент шаровой поверхности с центром в начале координат и с радиусом

Это количество равно плотности потока энергии S, помноженной на т. е.

Поскольку поле Н обратно пропорционально то мы видим, что количество энергии, излучаемой системой в единицу времени в элемент телесного угла одинаково для всех расстояний (при одинаковых для них значениях разности ). Так, разумеется, и должно быть, поскольку излучаемая системой энергия распространяется в окружающем пространстве со скоростью с, нигде не накопляясь и не исчезая.

Выведем формулы для спектрального разложения излучаемых системой волн. Они могут быть получены непосредственно из формул § 64. Подставляя в (64,2) (причем в знаменателе подынтегрального выражения можно ограничиться подстановкой ), получим для компоненты Фурье векторного потенциала:

(где ). Компоненты На и EM определяются по формулам (66,3). Подставляя в них вместо Н, Е, А соответственно и сокращая затем на , получим:

Говоря о спектральном распределении интенсивности излучения, необходимо различать разложения в интеграл и ряд Фурье. С разложением в интеграл Фурье приходится иметь дело для излучения, сопровождающего столкновения заряженных частиц. При этом представляет интерес полное количество энергии, излученной за время столкновения (и соответственно потерянной сталкивающимися частицами). Пусть есть энергия, излученная в элемент телесного угла в виде волн с частотами. в интервале Согласно общей формуле (49,8) доля полного излучения, приходящаяся на интервал частот получается из обычного выражения для интенсивности заменой квадрата поля на квадрат модуля его компоненты Фурье и одновременным умножением на 2. Поэтому имеем вместо (66,6):

Если заряды совершают периодическое движение, то поле излучения должно быть разложено в ряд Фурье. Согласно общей формуле (49,4) интенсивность отдельной компоненты разложения в ряд Фурье получается из обычного выражения для интенсивности заменой поля на его компоненту Фурье и одновременным умножением на 2.

Таким образом, интенсивность излучения с частотой в элемент телесного угла равна

(66,10)

Наконец, выпишем формулы, определяющие компоненты Фурье поля излучения непосредственно по заданному движению излучающих зарядов. При разложении в интеграл Фурье имеемг

Подставляя это в (66,7) и переходя затем от непрерывного распределения токов к точечному заряду, движущемуся по траектории получим:

Поскольку , то , и эту формулу можно написать также и в виде контурного интеграла, взятого вдоль траектории заряда:

(66,12)

Компонента Фурье магнитного поля согласно (66,8) имеет вид

Если заряд совершает периодическое движение по замкнутой траектории, то поле разлагается в ряд Фурье. Компоненты разложения получаются заменой в формулах (66,11-13) интегрирования по всему времени усреднением по периоду Т движения (см. определения в § 49). Так, для компоненты Фурье магнитного поля с частотой имеем:

(66,14)

Во втором интеграле интегрирование производится по замкнутой орбите частицы.

Задача

Получить четырехмерное выражение для спектрального разложения из лучаемого 4-импульса при движении заряда по заданной траектории.

Решение. Подставив (66,8) в (66,9) и учитывая, что в силу условия Лоренца (62,1) , находим:

Представив 4-потенциал в виде, аналогичном (66,12), получим;

где обозначает 4-вектор

в котором интегрирование производится вдоль мировой линии частицы. На конец, переходя к четырехмерным обозначениям (в том числе к элементу 4-объема в - пространстве, ср. (10,1а)), получим для излучаемого 4-им пульса следующее выражение: