§ 48. Монохроматическая плоская волна

Важный частный случай электромагнитных волн представляют волны, в которых поле является простой периодической функцией времени. Такая волна называется монохроматической. Все величины (потенциалы, компоненты полей) в монохроматической волне зависят от, времени посредством множителя вида , где а — циклическая частота (или просто частота) волны.

В волновом уравнении вторая производная от поля по времени равна теперь , так что распределение поля по пространству определяется в монохроматической волне уравнением

В плоской волне (распространяющейся вдоль оси х) поле является функцией только от . Поэтому если плоская волна монохроматична, то ее поле является простой периодической функцией от .

Векторный потенциал такой волны удобнее всего написать в виде вещественной части комплексного выражения:

Здесь — некоторый постоянный комплексный вектор. Очевидно, что и напряженности Е и Н в такой волне будут иметь аналогичный вид с той же частотой . Величина

называется длиной волны, это есть период изменения поля с координатой х в заданный момент времени t.

Вектор

(где n — единичный вектор в направлении распространения волны) называется волновым вектором. С его помощью можно представить (48,2) в виде

не зависящем от выбора осей координат. Величину, стоящую с множителем i в показателе, называют фазой волны.

До тех пор, пока мы производим над величинами лишь линейные операции, можно опускать знак взятия вещественной части и оперировать с комплексными величинами как таковыми. Так, подставив

в (47,3), получим связь между напряженностями и векторным потенциалом плоской монохроматической волны в виде

Рассмотрим подробнее вопрос о направлении поля монохроматической волны. Будем для определенности говорить об электрическом поле

(все сказанное ниже относится, разумеется, в той же мере и к магнитному полю). есть некоторый комплексный вектор. Его квадрат есть некоторое, вообще говоря, тоже комплексное число. Если аргумент этого числа есть —2а (т. е. ), то вектор , определенный согласно

будет иметь вещественный квадрат . С таким определением напишем:

Представим b в виде

где — два вещественных вектора. Поскольку квадрат должен быть вещественной величиной, то , т. е. векторы взаимно перпендикулярны. Выберем направление в качестве оси у (ось х — по направлению распространения волны). Тогда из (48,8) имеем:

где знак плюс или минус имеет место в зависимости от того, направлен вектор в положительном или отрицательном направлении оси z. Из (48,9) следует, что

(48,10)

Мы видим, таким образом, что в каждой точке пространства вектор электрического поля вращается в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, причем его конец описывает эллипс (48,10). Такая волна называется эллиптически поляризованной. Вращение происходит в направлении по или против направления винта, ввинчиваемого вдоль оси соответственно при знаке плюс или минус в (48,9).

Если то эллипс (48,10) превращается в круг, т. е. вектор Е вращается, оставаясь постоянным по величине. В этом случае говорят, что волна поляризована по кругу. Выбор направлений осей у и z при этом становится, очевидно, произвольным. Отметим, что в такой волне отношение у- и z-составляющих комплексной амплитуды равно

(48,11)

соответственно для вращения по и против направления винта (правая и левая поляризации).

Наконец, если или равно нулю, то поле волны направлено везде и всегда параллельно (или антипараллельно) одному и тому же направлению. Волну называют в этом случае линейно поляризованной или поляризованной в плоскости. Эллиптически поляризованную волну можно рассматривать, очевидно, как наложение двух линейно поляризованных волн.

Вернемся к определению волнового вектора и введем четырехмерный волновой вектор

Тот факт, что эти величины действительно составляют 4-вектор, очевиден хотя бы из того, что при умножении на 4-вектор х он дает скаляр — фазу волны:

(48,13)

Из определений (48,4) и (48,12) видно, что квадрат волнового 4-вектора равен нулю:

(48,14)

Это соотношение следует также и непосредственно из того, что выражение

должно быть решением волнового уравнения (46,10).

Как у всякой плоской волны, в монохроматической волне, распространяющейся вдоль оси х, отличны от нуля лишь следующие компоненты тензора энергии-импульса (см. § 47):

С помощью волнового 4-вектора эти равенства можно записать в тензорном виде как

(48,15)

Наконец, используя закон преобразования волнового 4-вектора, легко рассмотреть так называемый эффект Доплера — изменение частоты волны испускаемой источником, движущимся по отношению к наблюдателю, по сравнению с «собственной» частотой того же источника в системе отсчета , в которой он покоится.

Пусть V — скорость источника, т. е. скорость системы отсчета Ко относительно К. Согласно общим формулам преобразования 4-векторов имеем:

(скорость системы К относительно Ко есть . Подставив сюда а, где а — угол (в системе К) между направлением испускания волны и направлением движения источника, и выражая через получим;

(48,16)

Это и есть искомая формула. При она дает, если угол а не слишком близок к

(48,17)

При имеем:

(48,18)

в этом случае относительное изменение частоты пропорционально квадрату отношения V/с.

Задачи

1. Определить направление и величину осей эллипса поляризации по комплексной амплитуде

Решение. Задача заключается в определении вектора с вещественным квадратом. Имеем из (48,7):

или

где введены обозначения

для абсолютных значений и разности фаз (б) между ними. Отсюда

чем и определяются величины полуосей эллипса поляризации.

Для определения их направления (относительно произвольных исходных осей у, z) исходим из равенства

в котором легко убедиться, подставив . Раскрывая это равенство в координатах , получим для угла 0 между направлением и осью у:

Направление вращения поля определяется знаком компоненты вектора Написав из (1)

мы видим, что направление вектора (по или против положительного направления оси ), а тем самым и знак вращения (по или против направления винта, ввинчиваемого вдоль оси ) дается знаком мнимой части отношения (плюс в первом и минус во втором случае). Это правило обобщает правило (48,11) при круговой поляризации.

2. Определить движение заряда в поле плоской - монохроматической линейно поляризованной волны.

Решение. Выбирая направление поля Е в волне в качестве оси у, пишем:

По формулам (3—4) задачи 2 § 47 находим (в системе отсчета, в которой частица в среднем покоится) следующее параметрическое (параметр представление движения:

Заряд движется в плоскости по симметричной -образной кривой с продольной осью вдоль оси у. Периоду движения отвечает изменение параметра от 0 до

3. Определить движение заряда в поле поляризованной по кругу волны. Решение. Для поля в волне имеем:

Движение определяется формулами:

Таким образом, заряд движется в плоскости по окружности радиуса с постоянным по величине импульсом; направление импульса в каждый момент противоположно направлению магнитного поля Н волны.