§ 47. Плоские волны

Рассмотрим частный случай электромагнитных волн, когда поле зависит только от одной координаты, скажем х (и от времени). Такие волны называются плоскими. В этом случае уравнения поля принимают вид

где под f подразумевается любая компонента векторов Е или Н. Для решения этого уравнения перепишем его в виде

и введем новые переменные

так что

Тогда

и уравнение для

Очевидно, что его решение имеет вид

где — произвольные функции. Таким образом,

Пусть, например, так что Выясним смысл этого решения. В каждой плоскости поле меняется со временем; в каждый данный момент поле различно для разных х. Очевидно, что поле имеет одинаковое значение для координат х и моментов времени t, удовлетворяющих соотношениям , т. е.

Это значит, что если в некоторый момент в некоторой точке х пространства поле имело определенное значение, то через промежуток времени t то же самое значение поле имеет на расстоянии вдоль оси х от первоначального места. Мы можем сказать, что все значения электромагнитного поля распространяются в пространстве вдоль оси х со скоростью, равной скорости света с.

Таким образом, представляет собой плоскую волну, бегущую в положительном направлении оси Очевидно, что представляет собой волну, бегущую в противоположном, отрицательном, направлении оси х.

В § 46 было показано, что потенциалы электромагнитной волны можно выбрать так, чтобы причем Выберем потенциалы рассматриваемой теперь плоской волны именно таким образом. Условие дает в этом случае

поскольку все величины не зависят от у и . Согласно (47,1) будем иметь тогда и . Но производная определяет электрическое поле, и мы видим, что отличная от нуля компонента означала бы в рассматриваемом случае наличие постоянного продольного электрического поля. Поскольку такое поле не имеет отношения к электромагнитной волне, то можно положить

Таким образом, векторный потенциал плоской волны может быть всегда выбран перпендикулярным к оси х, т. е. к направлению распространения этой волны.

Рассмотрим плоскую волну, бегущую в положительном направлении оси х; в такой волне все величины, в частности и А, являются функциями только от Из формул

мы находим поэтому:

где штрих обзначает дифференцирование по а n — единичный вектор вдоль направления распространения волны. Подставляя первое равенство во второе, находим:

Мы видим, что электрическое и магнитное поля Е и Н плоской волны направлены перпендикулярно к направлению распространения волны. На этом основании электромагнитные волны называют поперечными. Из (47,4) видно, далее, что электрическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны друг к другу и одинаковы по абсолютной величине.

Поток энергии в плоской волне

и поскольку , то

Таким образом, поток энергии направлен вдоль направления распространения волны. Поскольку — есть плотность энергии волны, то можно написать:

в согласии с тем, что поле распространяется со скоростью света.

Импульс единицы объема электромагнитного поля есть Для плоской волны это дает Обратим внимание на то, что соотношение между энергией W и импульсом электромагнитной волны оказывается таким же, как для частиц, движущихся со скоростью света (см. (9,9)).

Поток импульса поля дается максвелловским тензором напряжений (33,3).

Выбирая по-прежнему направление распространения волны в качестве оси х, найдем, что единственная отличная от нуля компонента есть

Как и следовало, поток импульса направлен по направлению распространения волны и равен по величине плотности энергии.

Найдем закон преобразования плотности энергии плоской электромагнитной волны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Для этого в формулу

(см. задачу к § 33) надо подставить

где — угол (в системе К) между осью х (вдоль которой направлена скорость V) и направлением распространения волны. В результате находим:

Поскольку то абсолютные величины напряженностей поля волны преобразуются как .

Задачи

1. Определить силу, действующую на стенку, от которой отражается коэффициентом отражения R) падающая на нее плоская электромагнитная волна.

Решение. Сила f, действующая на единицу площади стенки, дается потоком импульса через эту площадь, т. е. есть вектор с составляющими

где N - вектор нормали к поверхности стенки, а и — компоненты тензоров напряжений падающей и отраженной волн. Учитывая (47,6), получим:

По определению коэффициента отражения имеем: . Введя также угол падения (и равный ему же угол отражения) и переходя к компонентам, найдем нормальную силу (световое давление)

и тангенциальную силу

2. Методом Гамильтона — Якоби определить движение заряда в поле плоской электромагнитной волны.

Решение. Уравнение Гамильтона — Якоби, записанное в четырхмерной форме:

Тот факт, что поле представляет собой плоскую волну, означает, что являются функциями одной независимой переменной, которую можно представить в виде где № — постоянный 4-вектор с равным нулю квадратом, следующий параграф). Потенциалы подчиним лоренцеву условию

для переменного поля волны это условие эквивалентно равенству . Ищем решение уравнения (1) в виде

где — постоянный вектор, удовлетворяющий условию — решение уравнения Гамильтона — Якоби для свободной частицы с 4-импульсом . Подстановка в (1) приводит к уравнению

где постоянная Определив отсюда F, получим:

Переходя к трехмерным обозначениям с фиксированной системой отсчета, выберем направление распространения волны в качестве оси х. Тогда , а постоянная Обозначив двухмерный вектор через х, получим из условия

Выберем потенциалы в калибровке, в которой а А (5) лежит в плоскости После этого выражение примет вид

Согласно общим правилам (см. I § 47) для определения движения надо приравнять производные некоторым новым постоянным, которые можно обратить в нуль соответствующим выбором начала координат и начала отсчета времени. Таким образом получим параметрические формулы ( — параметр):

Обобщенный импульс и энергия определяются дифференцированием действия по координатам и времени; это дает:

Если усреднить эти величины по времени, то члены с первой степенью периодической функции обратятся в нуль. Пусть система отсчета выбрана таким образом, что в ней частица в среднем покоится, т. е. ее средний импульс равен нулю. При этом будет

Тогда окончательные формулы для определения движения примут вид