§ 80. Рассеяние волн с большими частотами

Рассмотрим теперь рассеяние волн системой зарядов в обратном случае, когда частота а волны велика по сравнению с основными собственными частотами системы. Последние имеют порядок величины , так что со должно удовлетворять условию

Кроме того, мы будем предполагать, что скорости зарядов в системе малы .

Согласно условию (80,1) период движения зарядов в системе велик по сравнению с периодом волны. Поэтому в течение промежутков времени порядка периода волны движение зарядов в системе можно считать равномерным. Это значит, что при рассмотрении рассеяния коротких волн можно не учитывать взаимодействия зарядов в системе друг с другом, т. е. их можно считать свободными.

Таким образом, при вычислении скорости v, приобретаемой зарядом в поле падающей волны, мы можем рассматривать каждый заряд системы в отдельности и писать для него уравнение движения в виде

где — волновой вектор падающей волны.

Радиус-вектор заряда является, конечно, функцией времени. В показателе экспоненциального множителя с правой стороны этого уравнения скорость изменения первого члена со временем велика по сравнению со скоростью изменения второго (первая равна , а вторая — порядка . Поэтому при интегрировании уравнений движения можно считать в правой их части постоянным. Тогда

Для векторного потенциала рассеянной волны (на больших расстояниях от системы) имеем согласно (79,1):

где сумма берется по всем зарядам системы. Подставляя сюда (80,2), находим:

где есть разность между волновым вектором рассеянной и волновым вектором падающей волн . Значение суммы в (80,3) должно браться в момент времени , так как изменением за время можно пренебречь ввиду предполагаемой малости скоростей частиц (индекс t, как обычно, для краткости опускаем). Абсолютная величина вектора q равна

где — угол рассеяния.

При рассеянии на атоме (или молекуле) в сумме в (80,3) можно пренебречь членами, соответствующими ядрам, ввиду большой величины их масс по сравнению с массами электронов. Ниже мы будем иметь в виду именно этот случай, соответственно чему вынесем множитель за знак суммы, понимая в нем под заряд и массу электрона.

Для поля Н рассеянной волны находим согласно (66,3):

Поток энергии в элемент телесного угла в направлении равен

Разделив это на поток энергии падающей волны и вводя угол между направлением поля Е падающей волны к направлеиеи рассеяния, находим окончательно сечение рассеяния в виде

Черта обозначает усреднение по времени, т. е. усреднение по движению зарядов в системе; оно производится ввиду того, что рассеяние наблюдается в промежутки времени, большие по сравнению с периодом движения зарядов в системе.

Для длины волны падающего излучения из условия (80,1) следует неравенство . Что же касается относительной величины i и а, то возможны оба предельных случая и . В обоих этих случаях общая формула (80,6) значительно упрощается.

При в выражении (80,6) , поскольку а. Заменяя соответственно этому единицей, имеем:

т. е. рассеяние пропорционально квадрату числа Z электронов в атоме.

Перейдем к случаю . В квадрате суммы в (80,6) наряду с равными единице квадратами модуля каждого из членов имеются произведения вида . При усреднении во движению зарядов, т. е. по их взаимным расположениям в системе, разности пробегают значения в интервале порядка а. Поскольку то экспоненциальный множитель является в этом интервале быстро осциллирующей функцией, и его среднее значение обращается в нуль. Таким образом, при сечение рассеяния равно

т. е. пропорционально первой степени атомного номера. Заметим, что эта формула неприменима при малых углах рассеяния так как в этом случае и показатель невелик по сравнению с единицей.

Для определения еечевия когерентного рассеяния мы должны выделить ту часть поля рассеянной волны, которая имеет частоту Выражение (80,5) для поля зависит от времени через множитель в, кроме того, от времени зависит также сумма Эта последняя зависимость и приводит к тому, что в поле рассеянной волны содержатся наряду с частотой еще и другие (хотя и близкие к ) частоты. Та часть поля, которая обладает частотой (т. е. зависит от времени только посредством множителя получится, очевидно, если усреднить по времени сумму

Соответственно этому выражение для сечения когерентного рассеяния отличается от полного сечения тем, что вместо среднего значения квадрата модуля суммы в нем стоит квадрат модуля среднего значения суммы:

Полезно заметить, что это среднее значение суммы есть (с точностью до коэффициента) не что иное, как пространственная компонента Фурье от среднего распределения плотности электрического заряда в атоме:

При мы можем снова заменить единицей, так что

Сравнивая это с полным сечением (80,7), мы видим, что , т. е. все рассеяние является когерентным.

Если же к , то при усреднении в (80,9) все члены суммы (как средние значения быстро осциллирующих функций времени) исчезают, так что . Таким образом, в этом случае рассеяние целиком некогерентно.