§ 9. Энергия и импульс

Импульсом частицы называется, как известно, вектор символическое обозначение вектора, компоненты которого равны производным от L по соответствующим компонентам v). С помощью (8,2) находим:

(9,1)

При малых скоростях или в пределе при это выражение переходит в классическое При импульс обращается в бесконечность.

Производная от импульса по времени есть сила, действующая на частицу. Пусть скорость частицы изменяется только по направлению, т. е. сила направлена перпендикулярно скорости. Тогда

Если же скорость меняется только по величине, т. е. сила направлена по скорости, то

Мы видим, что в обоих случаях отношение силы к ускорению различно.

Энергией частицы называется величина

(см. I § 6). Подставляя выражение (8,2) и (9,1) для L и , получим:

Эта очень важная формула показывает, в частности, что в релятивистской механике энергия свободной частицы не обращается в нуль при а остается конечной величиной, равной

Ее называют энергией покоя частицы.

При малых скоростях имеем, разлагая (9,4) по степеням

т. е. за вычетом энергии покоя классическое выражение для кинетической энергии частицы.

Подчеркнем, что хотя мы говорим здесь о «частице», но ее «элементарность» нигде не используется. Поэтому полученные формулы в равной степени применимы и к любому сложному телу, состоящему из многих частиц, причем под надо понимать полную массу тела, а под v — скорость его движения как целого. В частности, формула (9,5) справедлива и для любого покоящегося как целое тела. Обратим внимание на то, что энергия свободного тела (т. е. энергия любой замкнутой системы) оказывается в релятивистской механике вполне определенной, всегда положительной величиной, непосредственно связанной с массой тела. Напомним в этой связи, что в классической механике энергия тела определена лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной, и может быть как положительной, так и отрицательной.

Энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц и энергию их взаимодействия друг с другом. Другими словами, не равно сумме (та — массы частиц), а потому и не равно . Таким образом, в релятивистской механике не имеет места закон сохранения массы: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместо этого имеет место только закон сохранения энергии, в которую включается также и энергия покоя частиц.

Возводя выражения (9,1) и (9,4) в квадрат и сравнивая их, найдем следующее соотношение между энергией и импульсом частицы:

Энергия, выраженная через импульс, называется, как известно, функцией Гамильтона

При малых скоростях и приближенно

е. за вычетом энергии покоя получаем известное классическое выражение функции Гамильтона.

Из выражений (9,1) и (9,4) вытекает также следующее соотношение между энергией, импульсом и скоростью свободной частицы:

При импульс и энергия частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике, однако, могут существовать частицы с массой, равной нулю, движущиеся со скоростью света. Из (9,8) имеем для таких частиц:

Приближенно такая же формула справедлива и для частиц с отличной от нуля массой в так называемом ультрарелятивистском случае, когда энергия частицы велика по сравнению с ее энергией покоя .

Выведем теперь все полученные соотношения в четырехмерном виде. Согласно принципу наименьшего действия

Раскроем выражение для . Для этого замечаем, что и потому

Интегрируя по частям, находим:

Как известно, для нахождения уравнений движения сравниваются различные траектории, проходящие через два заданных положения, т. е. на пределах Истинная траектория определяется из условия Из (9,10) мы получили бы тогда уравнение , т. е. постоянство скорости свободной частицы в четырехмерном виде.

Для того чтобы найти вариацию действия как функцию от координат, надо считать заданной лишь одну точку а, так что Вторую же точку надо считать переменной, но при этом рассматривать только истинные, т. е. удовлетворяющие уравнениям движения траектории. Поэтому интеграл в выражении (9,10) для равен нулю. Вместо пишем просто и, таким образом, находим:

4-вектор

называется -импульсом. Как известно из механики, производные — три компоненты вектора импульса частицы , а производная — есть энергия частицы Поэтому ковариантные компоненты 4-импульса, ), а контравариантные компоненты

Из (9,11) видно, что компоненты 4-импульса свободной частицы равны

Подставив сюда компоненты 4-скорости из (7,2), убедимся в том, что для и действительно получаются выражения (9,1) и (9,4).

Таким образом, в релятивистской механике импульс и энергия являются компонентами одного 4-вектора. Отсюда непосредственно вытекают формулы преобразования импульса и энергии от одной инерциальной системы отсчета к другой. Подставив в общие формулы (6,1) преобразования 4-вектора выражения (9,13), находим:

где — компоненты трехмерного вектора р.

Из определения 4-импульса (9,14) и тождества имеем для квадрата 4-импульса свободной частицы:

Подставив сюда выражения (9,13), мы вернемся к соотношению (9,6).

По аналогии с обычным определением силы 4-вектор силы можно определить как производную:

Его компоненты удовлетворяют тождеству .

Компоненты этого -вектора выражаются через обычный трехмерный вектор силы согласно

Временная компонента оказывается связанной с работой силы.

Релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби получается подстановкой в (9,16) производных — вместо .

или, если написать сумму в явном виде:

Переход к предельному случаю классической механики в уравнении (9,20) совершается следующим образом. Прежде всего необходимо учесть, как и при соответствующем переходе в (9,7), что в релятивистской механике энергия частицы содержит член которого нет в классической механике. Поскольку действие S связано с энергией выражением , то при переходе к классической механике надо вместо S ввести новое действие S согласно соотношению

Подставляя его в (9,20), находим:

В пределе при со это уравнение переходит в известное классическое уравнение Гамильтона — Якоби.