§ 109. Сильная гравитационная волна

В этом параграфе будет рассмотрено решение уравнений Эйнштейна, представляющее собой обобщение слабой плоской гравитационной волны в плоском пространстве-времени (J, Robinson, Н. Bondi, 1957).

Будем искать решение, в котором все компоненты метрического тензора оказываются, при надлежащем выборе системы отсчета, функциями лишь одной переменной, которую назовем (не предопределяя, однако, ее характера). Это условие допускает еще преобразования координат вида

(109,1)

где — произвольные функции.

Характер решения существенно зависит от того, можно ли тремя преобразованиями (109,1) обратить все в нуль. Это можно сделать, если определитель Действительно, при преобразовании (109,1) (где точка означает дифференцирование по при система уравнений

определяет осуществляющие требуемое преобразование. Такой случай будет рассмотрен в § 117; здесь же нас будет интересовать решение, в котором

(109,3)

В таком случае системы отсчета, в которой бы все не существует. Вместо этого, однако, четырьмя преобразованиями (109,1-2) можно добиться того, чтобы было

(109,4)

Переменная имеет при этом «световой» характер: при интервал выбранную таким образом переменную будем обозначать ниже как . Элемент интервала при условиях (109,4) можно представить в виде

(109,5)

Здесь и ниже в этом параграфе индексы пробегают значения можно рассматривать как двухмерный тензор, а две величины — как компоненты двухмерного вектора. Вычисление величин приводит к следующим уравнениям поля:

Отсюда следует, что или . Преобразованием можно поэтому привести рассматриваемую метрику к виду

(109,6)

Определитель — g этого метрического тензора совпадает с определителем из всех символов Кристоффеля отличны от нуля лишь следующие:

где мы ввели двухмерный тензор Из всех компонент тензора Риччи не обращается тождественно в нуль лишь так что имеем уравнение

(109,7)

Таким образом, три функции должны удовлетворять всего одному уравнению. Поэтому две из них могут быть заданы произвольно. Удобно представить уравнение (109,7) в другом виде, написав величины в виде

(109,8)

Тогда определитель и подстановка в (109,7) дает после простого преобразования

(109,9)

( — двухмерный тензор, обратный тензору ). Если задать произвольные функции (связанные друг с другом соотношением этим уравнением определится функция

Мы приходим, таким образом, к решению, содержащему две произвольные функции. Легко видеть, что оно представляет собой обобщение рассмотренной в § 107 слабой плоской гравитационной волны (распространяющейся в одном направлении). Последняя получается, если произвести преобразование

и положить — малые величины, подчиненные условию ; постоянное значение удовлетворяет уравнению (109,9), если пренебречь в нем малыми членами второго порядка.

Пусть через какую-либо точку х пространства проходит слабая гравитационная волна конечной протяженности («волновой пакет»). До начала прохождения имеет после конца прохождения снова , но учет членов второго порядка в уравнении (109,9) приведет к появлению отличного от нуля отрицательного значения

(интеграл берется по времени прохождения волны). Поэтому после прохождения волны будет и по истечении конечного промежутка времени изменит знак. Но обращение 1 в нуль есть обращение в нуль метрического определителя g, т. е. особенность в метрике. Эта особенность, однако, не имеет физического характера; она связана лишь с недостатками системы отсчета, «испорченной» проходящей гравитационной волной, и может быть устранена надлежащим ее преобразованием; после прохождения волны пространство-время оказывается в действительности снова плоским.

В этом можно убедиться непосредственным образом. Если отсчитывать переменную от ее значения, соответствующего особой точке, то так что

После преобразования

получаем:

и падстановка — окончательно приводит метрику к галилеевой форме.

Это свойство гравитационной волны возникновение фиктивной особенности — не связано, конечно, с ее слабостью и присуще также общему решению уравнения (109,7); как и в рассмотренном примере, вблизи особенности

Задача

Найти условие, при котором метрика вида

является точны» решением уравнений Эйнштейна для поля в пустоте (A. Petes, 1960).

Решение. Тензор Риччи вычисляете вроше всего в координатах , в которых

Помимо , отличны от нуля лишь следующие компоненты метрического тензора: ; при этом , а определитель . Прямое вычисление по дает для отличных от нуля компонент тензора кривизны.

Единствеиная отличная от пула компонента тензора Риччи: , где — оператор Лапласа по координатам . Таким образом, уравнение Эйнштейна: , т. е. функция должна быть гармонической по переменным .

Ест функция f не зависит от или линейна по этим переменным, поле отсутствует-пространство-время плоское (тензор кривизны обращается в нуль). Квадратичная по у, z функция

отвечает плоской волне, распространяющейся в положительном направления оси действительно, тензор кривизны в таком поле зависит только от

В соответствии с двумя возможными поляризациям волны метрика содержит в этом случае две произвольные функции .